FORCiNG ET SEMANTIQUEDE KRIPKE-JOYAL exemples coment se propose de montrer par divers Ce travail de Kripke-Joya1 perrnet de rendre compte de certains dans le cadre de la théorie : celles cations des rnodèles. qui utilisent apparaît introduits grossière et donc 1es pré- une analyse plus 1oca1e et se basent en conséquence sur des topologies non triviales. tique de Kripke-Joyal 1a sérnantique I1 comporte der-x types d'appli- la topologie et ce11es qui nécessitent faiscearx forcings Dans tous ces cas, la séman- conrne une généralisation convenable de 1a notion de forcing. 1. Sénantique de Kripke-Joya1. Dans ce paragraphe, nous introduisons 1a suite certaines et fixons seront citées les concepts qui seront utilisés notations. dans Quelques importantes propriétés sans démonstration. 1.1. Définitions et rappels. c possédant des limites à gauche finies mu"z@orie i.e. pour chaque objet A de C, on S'est recouvrement, de notion nie d'une de morphismes de C de but A te11e que donné gne classe Cov(A) de fanilles ur, a. h (idA) € Cov(A) (A se recouvre lui-même) Si (Ai - A)iet Alors c . si (Ai i € Cov(A) et f : B - A B - B)i€I € Cov(B) (Ai - n)'iel € cov[A) et (Aij Alors (Aij 'A)iet Ai);e-1, € cov(Ai) € Cov[A). j€J., Si F : CoP -IEns est^un foncteur, par le lenrne de Yoneda, on identifi.e les ensembles FA et Hom(A,F) où A est f inrage de A par le prolongenent de Yoneda. d'écrire o € Fa, on écrira souvent cl : A - F. Dans cette for- Agssi au lieu nulation si f : B + A est un morphi-smede la catégorie C, ct o f corres'pond à lf élément Ff (cr) de FB. I,In faiseeau tions sur un site de séparation 1. o, B € F(A) et (Ai Si (oi)iei suivantes 1es condi- : € cov(A) lA)iei = I o f, Si pour tout i € I, o o fi Alors cr = B. 2. Soit (Ai F : CQ - IEns vérifiant C est un foncteur et de recollement f. 1 A)ier € Cov(A). est une famille cri o rTi = cri " nj Virj que cli € F(Ai) et telle € I ^ n. ,r A. x[. tA J t\ "i,/ ,/ \ti \A, \,/ 'j\^/fi J alors on trouve r.m cl (nécessairement unique par 1) te1 que 0i = o " f, Pour tout i € I. Or:rnote Sh(çrJ) la catégorie des faisceaux sur C, J étant 1a tooologie associée à la notion de recouvrement utilisée. on écrira habituelle effet, pltts simplement Préf(!). Si J est 1a topologie grossière, Si X est un espace topologique, de recouvrement faj.t de l'espace des ouverts de X r-rnsite. les conditions (a-c) signifient 1a notion En respectivennent : - tout ouvert se recouvre lui-même, - 1a restriction à un sous-ouvert d'rm recouvrement est encore un recouvrenent, - si chaque U, est recouvert par des U.. et si 1a famille vre U, alors la famille La notion de faisceau sur 1e site 1a définition des Ui recou- des U.. recouvre également U. des"ouverts de X corresnond exactement à de faisceau sur X classique t3l. 4 Remarque. qui précèdent, 1a catégorie sous-jacente C du site Dans les définitions considéré a êtê supposée petite. de petitesse, cette restriction Cependant, i1 est parfois utile corilrne cela est signalé dans [4], de lever au chapitre IV, remarque 1.3. En effet, l-ise wre topologie canonique sur un topos non nécessairement petit. suite, dans le théorème de Giraud par exemple, on uti- nous rencontrerons une situation Dans 1a semblable (voir 2.2.2.). 1.2. Langage et interprétation. Soi-t L un langage du premier ordre (éventuellement nulti-sorte). prétation Une inter- M de L dans Sh(!.,J) est défini-e par la donnée pour chaque sorte s, d'un faisceau Ms; pour chaque symbole opérationnel Mf : Ms, x * k., pour chaque synbole relationnel R de tlpe s, IN Ces données pemettent tout couple (t,x) drinterpréter un terme et une formule dont les variables suite de varj.ables sans répétition x. de la définition de " Nlsn. de M pour 1es termes et formules se fait d" k ...tn)) = M(f(tr ...tn),X) ... nf est autre que 1e produit tr)) ou (ç,x) où t,e sont sont contenues dans la Si x est une suite de n variables par induction sur leur longueur : = t'I(xr,x) = pi, i9me projection \(xr) k(R(tr libres sn, on écrira llx pour l.{s, x ... sortes respectives s, et lk(f(tr rr,. d'Lrn sous-objet MR xltls deMs x... La prolongation tr, - r, d'un morphisme f : t, - Ms dans Sh(Ç,J); vers lr{s' = l{f o <t\k(tr), ..., fibré \(trr)r. des morphismes MR <k(tr), Irl,r La stmcture ..., k(tn)> I Ir,ls, " . . . x lt{srn. de topos de 1a catégorie Sh(C,J) permet d'interpréter signes logiques Â, V, -, l, V, 3. Nous renvoyons le lecteur tous les désireux de plus de détails aux ouvrages [12] et t6l. 1.3. Forcing de Kripke-Joya1. Le forcing qui lie de Kripke-Joya1, également appelé sémantique, est une relation 1es objets de 1a catégorie C, consi-dérés conrneconditions, aux formu- 5 les du langage I donné par I'intermédiaire d'une interprétation M convenable- ment choisie. Supposons ute suite x = <Xr ... *rrt de variables On définit X ll_ tp [a, ... u.r] où ar: X-l.tKi fixée une fois pour toute. (i=l,...,n) par induction sur X 1a longueur de tp. - les !grug_1g:-e!9grt9g9: x lF a tâl ssi â e ç(o)(x). - 1a Çgliggsliet x lF a ^ {, [â] ssi x lF a tâl et x lF U tâ1. - t. pi:igtçlie! i1 y a un recouvrement Cxij x lF e v û [â] ssi pour tout i € I, r. x) iaI tel que on ait Xi ts a [â o frl ouxi lF U tâ. fi]. - 1'Iryliselie! ç - ù [â] ssi X lF - ra Nggeligl -lç X lF tâl pour tout f : y - X Y lF a [â . fJ implique y ll-U ta . f]. pour tout f : Y -+ X, s i v l l - ç [â . f] al ors Q € C ov[y). ssi - 1aQse!grfrçetisl_9ri:!9!!te.11e x h- lx 9(x) [â] ssi iI y a un recouvrernent (xij (bi r Xi - Nfi) famille xi IF e [â " fi, ie t r. x)ier et une vérifiant bj]. - 1aQgetlifisetigl_gtiygr:e1_1ç XIF : y-+Xettoutb: y on a bien lF ç [â " f, b]. Vxç(x) [â] ssi pourtoutf Corrne le montrent les définitions donne à la notion de vérité conrne suit ci-dessus, la sémantique de Kripke-Joya1 Lrt caractère local. Ce dernier peut srénoncer : Proposition. Soit r-urrecouvrement txi. j f. X)ier y-tuF c1eX dans C. m X I F a tel ssi pour tout i de I, X. lF a [ â . f ] . l - X X De p1us, 1e forcing possède une propriété de fonctorialité, à savoir : Proposition. sixlF e râl X ;\lors pour tout vll= a f : Y - X morphisme de C, on a encore [â x f]. " d'une formule est établie Ainsi., si la véracité e1le le restera pour toute condition conditions cadre, on appe1-1-e = {",... \to(x) qui 1ie la validité effet, les objets de C. an lai€Mx.(X) ^-'1X sous wle certaine (1 <i<n) condi-tion, Rappelons que dans ce "plus forte". ûn démontre facilement que etxl|- drune formule pour f interprétation on dira que M est r.rr modèLede gr ce qui s'écrit tousXetâ:X-lrfi,ona ela, arrl}, ce M au forcing. M F x En ç, ssi pour Itr a tâl ssiiW-o=Ir'k. des démonstrations des faits Les détails qui précèdent peuvent être trouvés dans t121. 2. Exenples utilj-sant la topologie grossière. Dans ce paragraphe, nous a11ons montrer comnent, pâT la sémantique de KripkeJoyal, quatre situations de forcing classique peuvent être regroupées dans un cadre catégorique en tne seule notion de forcing. 1e caractère 1oca1 qui fait est absent. adoptée. viatx 1'originalité Dans ces situations, de la sémantique de Kripke-Joyal C'est la raison pour laquelle la topologie grossière y a êté Pour cette topologie, 1es seuls recouvïements aônis sont les tri- et tous 1es préfaisceaux sont des faisceaux. Nous verrons plus loin conrnent certains des topologies non triviales. forcings classiques donnent lieu à / 2.1. Forcing de Kripke. Le forcing de Kripke [8) a étê introduit sémantique intui-tiorrriste. par S. Kripke dans son étude de 1a Nous ferons aussi référence à t1Ol. 2.1.1. Rappel. On se donne un quadn-rp1e (H,R, ô,[H est un ensemble (celui R une relation ) où des états de connaissance), d'ordre partielle sur H, ô est une application de H dans 1es ensembles qui associe à chaque état p € H lrensemble ô(p) des objets constmits jusqu'à 1'état p, de manière à ce que pRq implique ô (p) c ô (q) et F- est rtrre relation entre états de connaissance et formules. Ces dorurées sont de plus astreintes à vérifier = â d'éléments de n-uple (ar ô (n) "r,) oun - p lF a tâl - p lF e tal pour tous p,q € H et tout impliqueâcô(p). - p F ç ^ U Iâl - p lF e v û tâl -p ll-ç-û [â] -l,p - p tâ] [- p lx ç [â] ll- p q [â] vx lF et pRq impliquent q lF e tâl (fonctoriali-té). ssi ssi ssi p lF e tâl et p lF V Iâ1. p lF ç IâJ ou p lF U tâ1. p o u rt o u t q t e l q u e p R q ,q l F ç t â l i m p l i q u e q lF u Iâ1. ssi pour tout q te1 que pRq on n'a pas q [- ç tâ]. i1 existe un b € ô (p) te1 que p lf to tâ,bJ. ssi ssi pour tout q te1 que pRq et tout b e ô (q) q lF e [e,b]. Dans ce contexte, une formule A tâl est valide si pour tout p te1 oue â c ô (p) on a bien p lF q tâ1. 2.1 .2. Notts a11ons voir que le forcing ainsi défini est un cas par-ticulier de sémantique de Kripke-Joyal. Conrnesite de base H, prenons 1'ensemble H préordonné par la relation R grossière. Ainsi il v a trre flèche de p dans q ssi et mrrni de 1a topologie pRq. L'application ô peut alors se comprendre corme un préfaisceau ô : HoP-lEns à ô (q) chaque fois que pRq c'est-à-dire ssi i1 y a une flèche de q vers p. On interprète alors le langage unisorte de 1a logique car ô (p) est inclus intuitionniste dans le topos des préfaisceaux ensemblistes sur H. L'wrique sorte s'interprète par ô . Si R est un symbole relationnel K ( R )( p ) = { u , . . . fonctoriel on définit n-aire, € ô (p) et n lf- nta, "i car pRq impfique que ô (p) est inclus arrli et K(R) est bien an | a,rJ entraîne q lf Rla, . . . .ur,l. p h- Rlar Ceci termine la description de f interprétati.on à ô (q) et que K. Remarquonsque dans le point 2.1. 1e forcing des formules atomiques n'apas C'est pourquoi i1 a fa11u définir K à I'aide de ce forcing. été défini. de KriDke [8] où pour 11 y a tne version de "modèles avec quantification" n-aire tout symbole relationnel n n O (R,p) de ô"(p;. R et tout p de I'1, on se donne une partie --- Dans ce cas, on définira KR(p) = 0 (R,p) sans utiliser le forcing. 11 est bien clair que sur le site H 1a sémantique de Kripke-Joyal coÎncide exactement avec le forci,ng de Kripke. 2.2. Forcing infi-ni de Robinson. Nous faisons référence pour les définitions au texte de Robinson [13]. 2.2.1. Rappel. -1, 3 Considérons un langage L du premier ordre ayant comrneconnecteurs ^, v, et I une classe de structures pour L. M ll- ç [a,... urr] où lr{est une structure pour L et ar, ..., des éléments de l'{ par induction sur 1a longueur des formules ç : ûn définit ç atornique e=V^X -lrf e = M lf ,o ta, . . . ur,l Mll-ûnxla, lvl lF -l Ù lar ssi "r,l urr] ssi M lf to ta, Mlfr!ta, ur,l' M lf x ta, u.,1. M lf :x rf.r[x) [u, ... ur,] ssi il ur,l. y a un b € It4tel que M lf rf ta, 2.2.2. Regardons (I,ç) arrJet vN ) M on n'a pas ssi N ll- rl ta, ç = 3x rl(x) ân arr,bl. corrrnetm préordre I. 11 y a wr foncteur évident de EoP vers lEns, c'est 1e foncteur ensemble sous-jacent noté l-1. ConrneI est rme classe de structures de L dans chaque it{ de I. pour L, i1 y a une interprétation i", lulunissons I de la topologie grossière; ment petit (voir remarque en 1.1). On définit alors I'interprétationR nous obtenons un site non nécessaire- de L dans 1a catégorie des préfaisceaux sur I. L'tmique sorte s'interprète par l-l . n_n lRf est 1e morphisme de l-ln vers l-l défini au niveau M par i,,,(f). n _ n' R.(R) est Ie sous-foncteur de l-ln aefini au niveau l{ par iM(R). A ce stade, i1 apparaît que la sémantique de Kripke-Joyal associée à f interprétation R ainsi définie"ntest autre que le forcing infini de Robinson. hn En effet, M lf Rla, ... (ar ... ssi € R . ( i i )( M ) "r,l "r,) n (ar .:. rr,) € iM(R) ssi n ssi l,l F Rla .. . .rrl nl ssi M fi- Rla, rrrl. Pour les autres connecteurs, tout se passe normalement, 1a topologie grossière ayant effacé le caractère local. 2.3. Forcing de Keisler. Le forcing certaines (forcing de Keisler notions fini) [7] se présente lui-nême conrne une généralisation de forcing parmi lesquelles se trouvent celles de de Robinson et de Barwise. 2.3.1. Rappels. Soit L un langage du premier ordre avec éga1ité et ayant V, l, 3 pour connec(Les autres connecteurs sont des abréviations des trois connecteurs de base). teurs. On construta tr,. oi:t dit en permettant les disjonctions eue Lo est un fragment d" [r,, infinies si 1es quatre points dénombrables. suivants sont vérifiés (1) ç€ L impliqueo€ Lo (2) p(x) € tO inplique -le(x) et 3x to(x) dans tO (3) ç(x) € LO et t un terrne, alors tO(t) € tO (a) ç € LO inplique que toute sous-formule de e est dans LO. LO est dénombrable par hlpothèse. Soit C un ensemble dénombrable de constantes et K le langage L enrichi constantes de C. des 10 Soit KO le fragment de K obtenu en remplaçant dans r.rne formule tp de lA * ensemble fini de variables par des constantes de C. On dira que (P, (, f) est uTrcpropriété de foncing pour L si (i) (ii) (iii) (P, S est un ordre partiel avec plus petit élérnent 0, associant à chaque p € P un ensemble de forrmrles f est une fonction atomiques closes de K, si p ( q, alors f(p) . f(q), (iv) si- s,t sont des tennes de K sans variables libres, alors - s=t e f(p) entraîne t=s € f(q) pour un q > p - t=s et ç(s) e f (p) entraîne ,r(t) € f (q) pour un q > p - i1 y a un c € C et un q>p te1 que c=t e f(q). 0n définit alors p lF ç pour une sentence de KO : - si tp est atomieue, p lF ç ssi O € f(p) - p IFTç ssi Vq ) p on n'a pasq lF ç - p 'o lF v0 ssi iL y aunç € 0 tel que p l|_ - p lF 3x s ssi i\ y aun c € C tel que p lF ç(c). au langage L finitaire. 2.3.2. On se restreint De La, obtenu en compl6tant L par les constantes de C, dans le topos cles préfaisceaux sur 1e préordre (P, SoP, on définit une interprétationll(o de 1a manière suivante : - 1'r.rnique sorte a pour interprétation le préfaisceau constant CKo eui à chaque p € P fait correspondre l'ensemble des terrnesr.,clos de la; - 1'opérationKo(f) se définit parKo(fl(tr tr,) = f(tr ... tn); n - quant au préfaisceau Ko(R) sous-objet de (CKo)", i1 est défini nar n tn)}; .., I p lF R(t, x o ( R )( n ) = { t , - enfin chaque constante c € C donne 1i-eu à trne transformation naturelle Koc : 1 - CKo qui. vaut au niveau p ( X(oc)o(*) = c. A nouveau, il K apparaît clairement que le forci-ng de Kripke-Joya1 associé à coîncide avec le forcing de Keisler. Etuclions 1e cas des formules atomi- IJ ques. On sai-t que n [- n1t, tn) tÔl ssi 1e produit (CKo)n(p) et de f injection fibré du morphisrne de Ko(n) (p) dans (cKo)n (p) est 1e plus grand sous-objet de 1 (p), ou encore ssi <t, de itr ...t. i n lf n1t, t r r ) ) e t J o n cs s i p l f R [ t ' t > est élément n tnj ' 11 2.3.3. Dans l'analyse sance du forcing qui précède, nous n'avons pas utilisé toute la puisde Keisler. llne interprétation plus fine K, oeut être donnée comne suit. Ûn définit tout d'abord une relation c-d ssi Les conditions Vq€P 3p€p d'équivalence sur les constantes de C : p)-etel queplf c=d. (iv) de propriété de forcing font bien de - 1rr1€équivalence. e, on sait que vq € p, 3p'| € p tel que p' lF . = d.; pour ce p', il y a un p" ) pr te1 que p" = e. Donc, au niveau p", les formules lF d c= detd=esont f o r c é e s . E n c o n s é q u e n c e p a(ri v 2 ) , i r y a u n p2p"2p')q tel que p lF c = e. La relation- €st donc transitive. si c - d et d- Ceci entraîne p'll-.=d son caractère (iv3) réflexif; et donc3p")p'tel Vq € p Jp, 2 q tel que partransiquep"F- d=c (iv1). =. (iv z). La classed'équivalence en effet tivité, ilya'np>qtel quep lF. de c sera notée E. on définit alors f interprétation K, : - 1'r-tnique sorte s'interprète conrne1e préfaisceau constant y . - 1a transformation naturelle K. (b ," définit à l,aide de (iv 3). r ,4. Kr(t)o[c, .rr) = c ou c est la constante dont I'existence est assurée par (iv 3) : lqlz p tel que c - f(cr ... .r,). La classe E est indépendante des représentants .rrr... c' choisis grâce à (iv 2). - le sotrs-faisceau (C./ \rt est pct caractérisé au x, K (Ît) fR) de (c/ cq?rrr6r; au niveau p par )n n K r ( R )( p ) = { E , . . . iI existe c, € E, c , . ,€ 8 . , t e t s q u e % | p lF R(c, crr) ). Le caractère fonctoriel ae'x, (Ri aeri.r* du caractère fonctoriel du forcing. Remarquonsque contrairement à cf _,K,qR; n'est pas un préfaisceau constant. - à toute constante, on associe la transformation naturelle évidente K, (.)p(*) = E. 2.3.4. Un sous-ensemble G c p est génér,ique s'il satisfait aux trois tions suivantes : 1. si p € G alors tout q =<p est dans G; 2. si p,q € G alors i1 y aunr€Gavecrlpetrlq; 3. pour 1-oute sentence (9 de Kg, il condi- rr a irn p € G te1 que PFaoup[-Tç. Le modè1e M (au sens habituel) est engendré p a r L ' e n s e m b L e g é n é r , i q u e G s i srinterprète surjectivement dans M et pour t o u t e s e n t e n c e o de Ko, sril y un p € G tet que p lF ç, alors M F ç. Considérons le foncteur L restreignant L, d les préfaisceaux sur (P, ()oP au site 12 (grossier) (c, SoP. de 1a définition La prernière condition d'ensemble généri-que fait de L r"rr que L respecte CI. foncteut, Logique. Voyonsl par exemple, le fait 'lEns} p € G = avec (P, Lcrn(n) {sous-objets de p : SoP = {sous-objets a" i , (G, SoP -lEns} = na(P). des ensenbles par l'égalité La seconde êga].rtê se justifie {q I qe p et f(q) I O} et iq I q € G et ;(q) I 0} dans 1e cas oùp € G. Le foncteur L permet donc de restreindre f interprétation K, décri-te plus haut. On pose K, = L Kr. On a 1e résultat suivant : Tout ensembLegénértque G engendre un modèLe. Cela signi-fie qu'il y a un modèle canonique l'l tel par un quelconque é1érnent de G soit vraie que toute sentence forcée M avec Kt On pose tU(ft1(p) = dans Ir4. Ûn identifie des symboles relationnels. sauf pour f interprétation = {d, ... En I it existe c, € E, .n € E, et q € G tels que a I n(cr ... crr)]. f"ï(t) M ts ,Q ssi ssi donc constant. 11 est bien clair alors que "rt (par définition) p lF tpt$l Vp € G (carMestconstant) p l F ç t Ô l æ€G ssi L'interprétationM construite 3p€G plFa. est donc bien un modèle au sens annoncé. 2. 4. Forcing ensernbliste. Dans ce point, fut introduit nous considérerons brièvement le forcing ensembliste te1 qu'i1 Pour plus de détai1s, par Cohen et repris par Shoenfield. voir par exemple [9J. 2.4.1. RapPels. Soit M un rnodèle de ZF. ûn se donne gn ensemble C de M ordonné avec plus grand élément et on définit <a,q> € b, trois formules du langage de ZF : on écrit a €o b pour 1q.2 p = c) et p lF a € b pour 3c(c €O b n P lF u vdt(d€o u-lr(q(r lF d€b)) n (d€qb-3r(q p lF a=bpourvq<p (r lF d € a))1. On constate que ces définitj-ons sont fonctorielles q ( p et a €n b entraînent a €q b: q < p et p lF a € b entraînent q ll- u € b et en P, c'est-à-dire q (p = b entraînent p lF " et q [- a = b' coflllneun préordre muni c1ela topologie grossièconrne r"ne sérnantique r€, le forcing ensernbliste peut également se décrire S du interprétation une définir I1 suffit pour cela de de Kripke-Joyal. lieu donne Lrunique sorte langage de zF dans les préfaisceaux sur (c, s. res= ont pour interprétation au préfaisceau constant M' Les s1'mboles€ et 2.4.2. Si on regarde (c, s pective au niveau P sie)(p) = {ab I p lF a € b} 3. Le forcing et s(=)(p) = {ab I p lF a = b}' faj-ble de Robinson' une notion t13l déjà cité plus haut, A. Robinson introduit notion que cette Nous a11ons voir atténuée de forcing : le forcing faible. est liée à la topologie de la double négation' Dans son article 3.1. RapPels. Considérons un langage L et une classe I de stmctures pour L conrne au point 2.2.1, Soient Q une sentence de L et N{ une structure de I' ssi i1 n'y a pas ûn dit que I{ fo,ce faibLement Q, ce qui se note M Ë t, sachant que 1e syrnbole lid,extension M' de M dans I te11e que M' ll-lç, estceluiduforcinginfinideRobinsondéfinien2.Z.1. I{' de d'avantage, on voit que frl fl1 O ssi pour toute extension En explicitant 11,y a une extension M" de l,'t' dans I telle M dans I; autrement dit on voit ssi I{ lt--1-1ç. naturellement donc apparaître que M' fl- to, ia double négation dans 1a définition or i1 est bien cormu (voir t6l) que 1a double négation que 1a sémantique de est une. topologie dans uu.rtopos. Nous allons voir faible' Kripke-Joyal associée à cette topologie permet de retrouver 1e forcing la topoloà relatifs faits quelques Mais avant ce1a, rappellons rapidement du forcing faible. gie de 1a double négation. si G est un préfaisceau sous-objet faisceatx sur une catégorie C, la -11G, se définit point tion, notée -l -lG(A) = tx € FA ] pour tout g : de F dans la catégorie Préf(Q des pré- fermeture de G dans F pour la double négaconrnesuit : existe r.rnh : C - B tel par point B - A il que (x) € GC). " tr) - Sh(c'-l-l) ûn sait qu'il y a un foncteur "faisceai.r assocj.é" a : Préf(c) F(g 14 exact à gauche. voir que aG n'est Si G est un sous-objet d'wr faisceau F, i1 est facile -l -lG. autre que 3.2. soit r 1a catégorie de préordre associée à r (cfr. allons définir une interprétationR* f interprétation Nous en prolongeant lR de L dans Préf(I) si ç est trne sentence, on sait final z.z.?.). de I dans Fais(l,ff), de par le foncteur "faisceau associé". que JRç est un sous-objet du préfaisceau qui est en fait ci-dessurs, on sait ivlais alors fournit trn faisceau. Or conne 1R*9 vaut a lRp, par 1a remarque que IR*tpnrest autre que -l-llRç. la sémantique de Kripke-Joyal 1a suite I{ ll- el$l d'équivalence que voici associée à f interprétation ssi n*(,p) (M) est non vide, ssi r lR(ç) (M) est non vide, ssi pour toute extension M' de M dans I, M' de M' dans I telle lR* : i1 y a une extension que IR(tp)g{") soit ssi pour toute extension Mt de M dans I, M" de Mr dans I te11e que Ir{" [- e il non vide, y a une extension ssiMËr. Le résultat annoncé est donc établi. 4. Topos des ensembles valués par r:ne algèbre de Hevting conplète H. Pour pouvoir étudier conrnent 1e forcing booléo-valué (voir [5], par exemple) peut rentrer dans le cadre d'une sémantique de Kripke-Joya1 associée à une topologie non triviale, il nous semble nécessaire de faire quelques rappels concernant les catégories de faisceaux sur une algèbre de Heyting complète. 'l 4. . Théoràne de Higgs. Fixons wre fois pour toute une a1gèbre de Heyting complète H. Cette algèbre de Heyting donne lieu à un préordre H sur 1equel on peut définir 1a topologie canoniquement associée à 1a structure complète en disant qurune fanille (hi)iet couvre h€H ssi v h. - h. Les axiomes de topologies étant triviI i€I alement vérifiés, on obtient Ie topos Sh( H). Le théorèrne de Higgs fournit rme autre description de cette catégorie de faisceaux. 0n appelle ensembLeH-uaLué 1es couples (x,ô ) où x est un ensemble et ô : x x x + H une application ensembliste sor.-unisearx conditions 15 - ô (xx') = ô (x' ,x) (s1rnétrie) - ô(xx') n ô(x',x") (ô(x,x") (transitivité). H tJn morphismede (X,ô) uers (Y,e) est décrit par rne application f: XxY-Hvérifiant - f (xl) n ô (xx'; ( f (x',y) H - f (x,v) ^ e (W') ( f (x,y') H - f(xy) n f(xy') (e[y-v') H - ô(rx) = u f(x.v) y€Y Intuitivement, té. lrapplication (substitutivité en x) (substitutivité en y) ensembliste (fonctionalité) (caractère partout défini) . ô peut se comprendre corrne 1e domaine d'égali- est 1e plus grand é1émentde H où x et x' sont égaux. Ainsi ô(x,x') ô (xx) est 1e plus grand élérnent de H sur lequel x soit En particulier Semblablement, f(x,y) défini. se comprend alors cornnele plus grand é1érnent de H sur 1eque1 y est f image de x par f. Si g est un morphisne de (Y,e) vers (Z,B), 1a composéeg o f de (X,ô) vers (Z,B) est définie par g o f (x,z) = V tf ({r) n g(y,z)). La composition y€Y H ainsi définie admet ô commeneutre, ce qui fait de 1a collection des ensembles H-valués r.me catégorie notée JEnsrr. Le théorèrne suivant est un important résultat, dû à D. Higgs. &Éelème. Toc nqt6o^.ies IEns' et Sh( II) sont équivalentes. Voici trre courte esquisse de la démonstration. \ l ^ 1 I (Pour plus de détai1s, se r . 1 \ r e t e r e r a L / . Jo u L r r j J . Au faisceau . F, on associe v Ll = V { h I 'pni (. x- ) = p i ( x ' ) i , n de H où les restrictions 1e couple (X,ô) où X = c'est-à-dire LL F(h) h€H et ô(xx') = que ô (xx'l est le plus grand élérnent de x et x' coîncident. Dans l'autre sens, on fait correspondre au H-ensemble (X,ô) le faisceau associé au préfaiscear.r séparé par P(h) = {Ïh € X I ô (xx) ) }r} sachant que Ïh = iy € X | ô (x,y) ) ) h] est 1'ensemble des éléments qui sont égar-x à x au moins sur h. P défini Ceci décrit 1'éouivalence annoncée. 11 s'ensuit 1e tr 16 Corollaire. htH Pour plus de clarté, est un topos. rendons explicite la structure de topos dont JBnsnest munie. a. les produits fibrés. soient f : (x,6) - (Y,e) et g : (z,g) Leur produit fibré a((xz),(x'z')) [y,e) der.rxmorphismesde lEnsn. est 1e couple (X x Z,c) où = ô(xx') V I B(zz,) | H Hy€y (f(Ir) n g(zy)) n V H Hy€y (f(x,y) n H ^ g(z',I)). H Les projections de (x x Z,o) sur (X,ô) et (z,g) sont claires. b. la notion de sous-objet. Le morphisme f est nonomorphiquessi f(xy) n f(x',y) < ô(xx'). De plus, on a la proposition suivante, dont 1a démonstrHtion sera esquissée : Proposition. 17 y a bijection entre 1es sous-objets de (Y,e) et les aoplications ensemblistes s : Y - H satisfaisant les deux inégalités s(y) I e(11r') ( s(y') et s(y) < e(yy) dans H. H Esquisse de la dénpnstration. * soit f : (x,ô) - (y,e) un nonomorphisme de lEnsr. ûn lui associe s, : y - H en posant sr(f) = Y- f(4r). x€X * Soit s : Y - H une te1le application. f, : (X,e) - (Y,e) où e(yy') = e(y."') 1a bijection rttl correspondre définie par â f , ( r , r ' ) = e( y , y ' ). Ceci fournit Oir 1ui. fait prérme. E c. 1'objet Q du topos lEnsn. I1 n'est pas difficile d a n sI E n s , e s t , t , ; Si f : (X,ô) - de vérifier que 1'objet classifiant 1es soris-obiets n' = h - n' n' * h. ;> û ), sachant que n (Y,e) est un mono, i1 est classifié ef ' (Y,e)- (H, *), os(y,h) = X t,xr, = sç(V) * ^HH î n û par e(y,y) h n e(y,y). 17 4.2. Les obiets cornplets de ]Ensn. Noris a11ons considérer une certaine sous-catégorie encore équivalente : cel1e des objets complets. 4.?..1. Définitions et propriétés. de JEnsnqui lui sera IJn singLeton de (X,ô) est une application s : X - H répondant aux conditions - s(x) (injectivité) t(*') <ô(xx') t - s(x) U(t*') (s(x') (substitutivité). û I1 est évident que tout élément a de X donne lieu (X,ô); il suffit de poser â1x; = ô (x,a). La réciproque n'est pas en général satisfaite. H-valué (X,ô) est cornplet stIIy a bijection à un singleton â de On dira qu'wl ensemble entre ses éléments et ses singletons. Prooosition. Tout ensernble H-ualué sentble H-ualué (X,ô) peut être cornpLété et est isomorphe cotmne en- à son cornpLété. la construction de 1a complétion (X,ô ) de (X,ô ) . ô(s,t) = V (s(x) I on définit i = {s I s : X - H singleton de (x,ô)} "t H x€X t(x)) ; i1 est clair que fÎ,Âl est un H-ensemble. Voyons sa structure Voici = V â(x) a. s(x) = H x€X ( s(a) et s(a) = s(a) n ô(aa) ( = s(a) car ô(xa) = V ô(x,a) A s(x) ^ s(x) x€XHHH complète. Pour ce1a, calculons d'abord ôG,t) < V s(x) n ô(x,a). H x€X Si o : Î - H est un singleton sur (X,ô), il s'agit naintenant de lui associer ce un élément so € Î t"f que Ço = o. On pose tout simplement so(x) = ofi;, qui fournit le résultat attendu. nous a1lons exhiber un isomorphisme i de lEnsn entre (X,ô ) et û,ôl . En tant qu'applicati-on ensenblj.ste i a pour domaine X x X et pour codomaine H. Onpose i(x,s) = s(x). Enfin, Cette défj.nition satisfait 1es conditions imposées aux morphismes : 18 - i(x,s) n ô(nc') < i(x',s) H - i(x,s) I t(r,t) H = s ( x -) H I = (s(x) A s(x') A t(x)) V H H x'€X l-l x,€X - i(x,s) 1i(x,t) H (s(x') | t(x')) V H x'€X = s(x) A t ( x ) < V s ("xH) I t ( x ) = ô ( s , t ) H x€X - ô(x,x) = V i(x,s) s€X en effet V i ( x , s ) = V s ( x )= V S ( s , i )= ô G , T )= T ( x )= ô ( x , x ) . s€Î De plt-rs, i vérifie s€X s€X 1es propriétés de mono et épimorphisme, à savoir i(x,s) 4 i(x',s) = s(x) A s(x') (ô(x,x') HH r/ V i(x,s)= x€X et f / V s(x)=ô(s,s). x€X I Soient (X,ô) et (Y,e) deux objets de JEnsr. (resp. (6,e)-totaLe) ensenbliste f : X - Y est (ô, e)-stticte si e(f (x), f (x)) < ô (x,x) (resp. e(f (x), f (x)) = ô (x,x)). Cette application ( e s t ( ô , e ) - e æ t e n s i o n n e L Lsei ô ( x , x ' ) e(f(x), f(x')). N o u sn o t e r o n s Une application Homr^ c\ (X,Y) 1'ensemble des applications c-l Lv (ô,e)-totales et extensionnelles r de X vers Y qui vérifie la Proposition. ((X,ô) , [y,e)) = Ho*1ô,e; (X,y) . Sl [y,e) est complet, Hom Ensn Démonstration. 1. Soit f : (X,O) - (Y,e) m morphisme de lEnsr. indexée par X de singletons A chaque singleton conplet. f* On lui associe une famille = f(x,y). : Y - H en posant simplement f"(I) f* correspond un unique é1ément f* de Y puisque Y est I1 yadonct-rre application f : X-Yqui facilernent que f est bien un é1ément d" *to*(U,.) 2. Si g est une application (ô,e)-totale associef*àx. Onvoit (X,Y). et extensionnelle, on 1ui associe Q : X x Y - H; (x,y) ^ e(f(x), g). Les correspondances ainsi établies sont bien inverses lfune de ltautre. E 19 4.2.2. Nouvelle descriptj-on des faisceaux sur H. Nous a11ons associer à chaque faisceau r.rnH-ensemble complet. Soit F wr faisceau. Notons IF I'ensemble l1 F(h) et définissons E : tr -+ II en posant = E(x) h ssi x € F(h); l'applicâ€lorl e décrit le domaine d'existence de que lron note chaque éIément de tr. On construit aussi une restriction 1 : IF x H -+IF et qui associe à un cotrple (x,h) 1'élément *ih = Ff(x) orl f est 1'unique morphismedu préordre H décrit par f inéga1ité h n E(x) < E(x). Les propriétés de préfaiscealD( de F impliquent que (1) *181*; = * (x16)15'= *1 (h ^ h') H Q) elxrn) = Ex n h (3). Soient a, b deux éléments de IF. On dit que b est une eætension de a si u = blE(a). lJne partie fait X de IF est cornpatible si tout couple d'éléments x, x' de X satis- 1'éga1ité *1E*,= *'1E*. L'union d'une partie petite X de tr (si el1e existe) est, par définition, extension UX de tous les élérnents de X. Vx€X si Si F est r:n faisceau, Vx € X UX vérifie 1a plus donc UX.,U*=x b1E* = * alors btf lrX; ( tr, E, 1) possède la propriété = UX. que tout sous-ensemble compatible de IF a une r.:nion unique. Ceci nous permet d'avancer une nouvelle définition surHestuntriple ( X , E , 1 )o ù E : X-Het de faisceau : un faisceau 1 : XxH*Hsont desapplica- (1), (2) et (3) et te1 eue toute Daïtie cornpatible cle X tions vérifiant admet une wrion unioue. Cette nouvelle définition est bien équivalente à 1'ancierme. nous allons associer à tout faisceau (fonctoriel)wr tout ensernble complet un tripte satisfaisant Pour le voir, H-ensemble complet et à 1a nouvelle définiti"on. L'équivalence se dédui-t alors du théorèrne de Higgs. 1 . ( t r , E , 1 ) d o n n e l i e u a u l l - e n s e m b l ec o m p l e t ( t r , ô ) o ù ô ( x , x ' ) = =V{h I = *'1h}. "-,r, ( F,ô) est complet car si s est wr singleton, la partie 20 X = {*1r(*) n'est | * € tri est compatible et admet donc wre union tnique qui autre que l'élénent wrique associé à s. 2. Si (X,ô) est un ensemble complet, on définit E(x) = ô(x,x) et x.,h cormne l'unique élément associé au singleton s : X -+ H; x' ^ ô(x,x') n. Le û (X,8,1) ainsi défini est bien un faisceau. triple 5. Forcing Heytingo-valué. Dans ce paragraphe, nous a11ons étudier ce que devient la sénantique de associée à Sh( H) dans le topos lEnsn. Or dans ce dernier topos, y a trne notion de forcing valué par H qui apparaît naturellenent. Kripke-Joyal il Notts verrons que ces deux définitions coincident. L'application de ce résulaux modèles booléo-va1ués du paragraphe 6 permettra alors de prouver que la sémantique de Kripke-Joyal rend également compte des langages de tat forcing tels qu'introduits par Jech, par exemple (voir t5l). 5.1. Traduction danslEns, de la sémantique de Kripke-Joval sur Sh(H). Soient L r.rn langage multisorte du 1er ordre et M une interprétation de L dans Sh(H). Nous allons opérer 1a traduction dans lEnsn de 1a sémantique de Kripke-Joyal associée à cette situation. Grâce au théorème de Hi-ggs, f interprétation Continuons de lrappeler M se transporte dans 1Ensr. M. Dans 1e point 4 .2.2. , or a rennrqué que le H-ensemble associé à r.n faisceau est automatiquement complet. L'interprétation M est donc cornpLète, c'est-à-dire catégorie pleine de lEnsn constituée à valeur dans la sous- des objets complets. Considérons 1'é- noncé p h- tptal. Nous supposerons - et ceci sans perte de généra1ité encore un sens s'i1 à la situation - que cet énoncé a y a irn q ) p tel que â.I"k-(q). décrite antérieurenent En effet, en restreignant on se ramène â à p. En conséquence, si I'on note 0I1,ô) l,interprétation de 1a suite x dans EnsH' l'énoncé p lF çtâl aura un sens à 1a condition que la suite â d'éléments de lvlx-soit définie au moins au-dessus de p, c'est-à-dire p (ô (â e) = E;(â) (domaine d'existence de ta suite â). Dire que p lF n(x) [aJ signifie que la restriction de a à p est un élément de MR. si on regarde MR et l'lx conrnedes H-ensembles, soit le monomorphismed' inclusion. i : (MRre) - [rtr,ô) , 21 de a à p soit que la restriction Le fait un élément de MR se traduit alors par I'existence dans MR d'un é1ément b 1ui aussi défini au moins sur p (e(b,b) = EOO) > n) et dont f image par i coincide avec a au-dessus d " p , a u t r e m e n dt i t V c x € I ' T x 6 ( a , o ) ^ p = i ( b , o ) ^ p c a r ô ( a , - ) n p HHH est 1e singleton associé à a restreint à p et i(b,-) | p est le singleton H associé à f image de b restreinte à p. La traduction de la conjonction est claire. L'énoncé p lF a v Utal signifie qu'il Voyons la disjonction. y a un recouvrement (n1)1., de n (i.e. .!_ n1 = n) tel quen' lptâl ou pi lF Vtat. La traduction i€I se fait tout aussj- facilement pour 1es autres connecteurs; ceci nous amène à la définition de 5.2. Sémantique de Kripke-Joya1 pourlEnsn. complète de L dans JEnsn. Nous allons définir Soit M une inteqnrétation K] p ll _ p[â] avec â e lfi et \(a) x - formule atomique : 2 p par induction sur la longueur de ç. K] p il y a un b € M, tel que l|;. e[â] ssi x - E , ^ ( b )> p a' - vcr € ]r{x ô-(â,cr) ^ p = i(b,o) n p. ..HH - conjonction : KJ KJ KI p lÊ e ^ Vtâl ssi p ll_- çtâl et p ll_ qrtâ1. X - disjonction : K] p ll= a v {jtâl ssi il xKlKl y a un recouvrement (n1)1a, de p pour lequel ç[â] ou pi ||;- !.,tal. Pi lÊ XX - implication : KI p lÊQ-!;[â] K] o l[-otâl ssivq(p X - quantificateur K] p lÊ 3x ç(x)[â] x existentiel KJ i m p l i q u eq l l - U t â ] . : ssi i1 y a un recouvrement (p,).,-, .1-1el de p , et pour chaque 22 i de I * bi € lvtotel que E*(b1) ) p. et K] Pi F o[â'bti' X,X - quantificateur universel : KI p l- Vx A(x) [â] ssi pour tout q < p et tour b € l,tx te1 que KI E x G) ) q o n a q l ts a [a ,b ]. XrX 5.3. Forcing Heytingo-valué. considérons toujours une interprétation premier ordre dans 1Ensr. complète M d'wr langage L du Nor.rsa11ons associer une notion de forci.ng et dans un stade ultérieur, cide avec 1a sémantique de Kripke-Joyal A tout couple (o,Ï; un sous-objet }tf où Ï contient suivante 1es variables interprétation constater qurelle coîn- en S.2. de g, M associe libres de Ivlx et donc une unique application Iufi - H qui classifie classifiant définie à cette notée llqll, : ce sous-objet dans lEnsn, puisque (H, les sous-objets. est l'objet î) aisément la suite-d'égalités On vérifie : ilenpllr(a) = t l e l l n ( a )n l l r p l l n ( a ) llç v tilH(a) = llelln(a) v llpllr(a) ||e - rplr(a) = lltollH(u) nrpiln(a) il -l ll lelln(a) = tt,pttr(a) = llolln(a) Og ; llrxtp(x)ll (a) = V ilçllrr(a,b) bo,{x llvx e(x)ll (a) = A (E_(b) + llçlln(a,b)) t1a). ^ ; H b€l\,k On définit alors plËçtâl où âe rfi et \(â)>n le forcing Heytingo-valué comrnesuit : ssi p ( llellHG). 5.4. Théorème de correspondance. La sémantique de Kripke-Joyal La démonstration se fait et 1e forcing Heytingo-valué coîncident. par induction sur 1a longueur de e. z3 Nous en indiquerons trois étapes essentielles. 1. Le cas des formules atomiques. Pour fixer KI 1es idées, montrons que R(x)[a] ssi n fi- n(x1131 . P l- K] 1.a. Si p ll- R(x)tal, on sait qu'i1 y a wr b € Mx tel que Ex(b) > p e t V c r€ h , 6 ( o , a ) ^ p = i [ b , o ) n p . M a i s a l o r s HH p = p,r ô (a,a) = p ^ i(b,a) < i(b,a) (Y i(g,.) = tlR(x)||r(a) HHB si on se souvient que le morphisme classifiant un nono i est donné par i(8,-) )-/H (cfr. s.1.c.) 1.b. Si p lF R(x)[a], on sait que p ( llR(x)lln(a). 11 s'agit de trouver un b € M dont f image par i soit a au moins au-dessus de p. Puisque i est un mono, I'application tm singleton. t : MR- H qui associe i(B,a) à B est La complétude de MR assure alors tmique élément représentant ce singleton t, ltexistence c'est d'un 1e point b cherché. En effet (*) Eo&) = âit,t; =V i(B,a) = l|R(x)iln(a) 2 p par hypothèse. p De plus, conneMRet tr4xsont complets, i1s sont isomorphesà leur conpléti-on et le diagranrne , 0À ,;) [MR ,e ) ïl ti lî tl Qtlx,ô) i t û - , trtî*,ôl conrrute, sachant que - ûc est 1'application 1â,ô1-totale et extensionnelle (3.2.1.) s sur (MR,e) associe 1e singleton î(s) sur (rvlx,ô) défini par î(s) (o) = V (i(B,cr) ^ s(g)). BH La condition i(b,cl) ^ p = ô(a,cl) ^ p pourtout cr revient donc HH î(t)[cx) ^ p = ô(a,a) n p pui-sque b est déterminée entièrement par le HH singleton t. qui au singleton or V Y (i (B,a) H ,,(B,cr) H i [B,a)) < ô (a,o) et donc i(B,a)) p(ô(a,o) H np. H 24 De plus ô (a,o) ^ p < ô (a,cr) ,. V i(B,a) H HB (par (*) (hypothèse) =V (o(a,a) n i(B,a)) <V BHBH Lrégalité attendue est donc vérifiée tt(B,a) n i(B,a)). et les notions coincident au niveau atomique. 2. Le cas des form:les disjonctives. K] 2.a. Strpposonsp e v Utâ]. [-on sait donc qu'il y a un recouvrernent (n1)1a1 de p tel que KI KI pi [- p[â] ou pi [- ûtâ]. En conséquence, par l'hlpothèse d' j-nduction, pour ce recouvrernent HH on a pi [- qlât ou pi [- q,fât, crest-à-dire pi ( llollr@) ou p1< lrPtlrG). I1 est donc clair que pour tout i de I = llro v rptln(â). En passant au supremum, on < llplln(â) llUllHG) Pi .1 tr H obtient la thèse à savoir p=Vpi([evifilHG). i^H 2.b. Supposonsp ll- e v Utel. 0n sait donc que p ( llgllH(â) (p ^ ilallrr6), llvllH(â). It est bien clair alors que ,y H p A llpllH(e)) constitue un recouvrement de p pour 1eque1, HHII par induction, la condition cherchée est satisfaite. 3. Le cas des forrmrles tmiverselles. KI 3.a. Sr.pposonsp ll- vx tp(x)[â]. On sait, pâr définition, eu€ pour tout q ( p et tout b € I\,k K] tel que Exft) ) q on a q lF q[â,b] ou encore, par induction q ( [eltH(â,b). Pour un b € l\tx quelconque, prenons q = O On a donc O U*(b) < ExG) . û u * ( b ) < l l t o l l n ( â , b )d ' o ù â llelln(â,b). p(Ex(b): n 25 Cette inégalité à E*G), x',- il étant valable pour tout b € Mx et p étant inférieur que est clair (Ex(b) + llellH(â,b)l n E-t'â) = llvx e(x)llH(e), p - <, A ^ n x'' bêl,Ix H H ce qu'i1 fallait démontrer. H 3.b. Sr-rpposons p lF v* e(x)tal. ûn sait, conrneon vient ( -' p (E*(b) llpllr_,(â,b))et donc pour tout b A b€l\h que de le voir, rr H p A E*(b) < llqll,_,(a,b)ce qui entraîne par induction À.H'' H Ki p n E-(b) h- çtâ,b1. H Mais alors pour tout q ( p et tout b € l.4x te1 que q < Exft), clair que q * p Ex(b); donc par fonctorialité du forcing I Kln q lF ç[â,b]. Ceci achève 1a démonstration. i1 est E 6. Les modèles booléo-valués de ZF et la sémantique de Kripke-Joyal. 6.'l . Rappel (voir par exemple Jech I5l). Considérons un ensemble M, modèle transitif de ZF. on peut considérer M conrneun r.rrivers au sens de Bourbaki [4, annexe à l'exposé I]. Nous noterons lEns(M) 1a catégorie des ensembles engendrée par lrunivers Cette catégorie applications a pour objet M. les ensembles de M et pour rnorphismes les ensemblistes décrites à f intérleur de M. (P, $ pour M. L'ensemble p engendre une algèbre de Boole B de M dont les éléments sont les ouverts réguliers de P. cette argèbre de Boole est complète et p s'y plonge par considérons de plus une notion de forcing trte application on définit de M notée e et définie par e(n) = {q I q < p}. alors M(B), classe des ensemblesbooléens, de lananière vante : = {x 'M(B) = ô. M(B) € M I x^ est t" v J L une ulv rvrru fonction Llvll V f "g+ b 1 et à valeurs dans B), M et finalement M(B) = u lt^[B). o€lul . . . M^(B)- u 4ul v B€cr sui- de domaine uvllr4lllg inclus IIf\-ILfJ à C f MtB) uç si cr est un ordinal 0 limite de 11 es-t-clair que M(B) n'est plus r-m ensemble de M - bien qu'à chaque niveau rp\ o, MJ"' le soit. Cependant, l'axiome des univers nous permet de considérer /^ un Lmivers U qui contienne tous 1es éléments de M et U(B) .on*e é1éments. p(x) - 1e rang de x - conrne étant te plus petit ordinal o de M te1 que lt . tj:]. si x est un é1ément de rv(B), on définit Par induction sur 1e rang, on peut alors définir I'interprétation booléenne des formules atomiques a € b et a = b où a et b sont des éléments a eu ( B ) . V [a€bn= b(z)n[a=zn, z€dom b [ac51 = B -r[z=b]) ( a ( z ) ^ z€dom a B , [a=bn=[acbnn[bcan. On vérifie alors que [a = an = 18 [a=b]=[b=al [ a = b n n [ [ = c n< [ a = c n B [a € bnn [a = a'l â n O= b ' n < [ a ' € b ' n . Lrinterprétation booléenne[-n s'étend naturellement à 1a collection de toutes les formules. On procède comrne suit : ar r ) n= [p (a , fi ton i p ( a, u .,)n [û (a i a r r)n , â ar r ) n= [ ç (a r fl tpv û (ar a n )n v [û (a , a rr)n , [ ç - V ( a r . . . u . , ) n= [ ç ( a r .1 arr)n = [e(ar [-1,9(ar [=x ç[x ) ( a, a r r ) n, lrqr(ar "n)n i arr)n , ar r ) n= Y .r* ., [tp (a , a r rr \"/ a rr)n , ad\{ fivx o(x) (a, arr)n = [ e ( a , a r . . . a r r ) n. ;$tn) Ceci étant fait, on associe à lrinterprétation p h- a(ar 6.2. On sait par ailleurs Ens (M)u est équivalente ur,) ssi [-n le forcing défini e(p) < l[ç(ar ... par arr)n. (voir [1]) que à lEnsftG) ) . Malheureusement, M(B) ne peut être considéré conrneun "ensemb1e,,B-va1ué pour cela, prenons delEns(M)g. I1 faut donc élargir cette catégorie. Ens(u)u. )'i Nous a11ons montrer que f interprétati-on interprétation booléennc [-l donne 1i.eu l) une catégorique dans llns(u)gr ce qui permet de décrire 1e forcing a-.socié à ll-11 comneun forcing he,vti-ngo-r.a1lrésur B alr sens clc ( 5 . - 1 " ) e t d o n c c o n r n eu n e s é m a n t i q u ed e K r i p k e - , J o v a 1p e r ( , q . 4 . 1 . 'Iout doabord. dôcrivons f interpréttion du langage de ZF associi:e à t ll dans IEns(Ul ^. ' tJ L'r'rrique sorte aura poul /F., r { ' ' ' 1 u i - - m ê m ea l . e l - l a v a l u a t i ' r n réalisation rléfini"e par ô qa.b) = [3 = bl " Les prcl.riôtôs einoncôes pius bien de g.1(B),0) un ensemble B-valué iians 1'unrtrers u. conrne le sous-objet s'interprète L'égalité 1a proposition 4.1.b. par le sous-objet De même, f que E(a,b) = [a € bl . Le forcing heytingo H h lF x = y[a,bJ valué sur B associô haut {'lnt " 11(ts) associé t')ô par du symbole € est donnée Ae lt(B) interprétation t , ' u ( B ) , J , 1 ( t s -) par l'application décrit é à cette Il tclle interprétation : est h ( [a = bl ssi t ! h < [a € bl] ssi h lF * € yla,bJ II it lF ç ^ ùlar ... "n] et alnsr H lF r* de suite pour ssi a n )i l n [ , J(, a , l l t o f aI 1es connecteut's rr,] ç(x) lar h ( v, -, B, l, an)n, h ssi a n )n a€N{'"' H arrl ssi II- VX ç i x l [ a , h lr€lt{ \" -+ [ç[a" ' a, . a,_,) 11) B a ) l l c a r f l a = a l=l 1 , , . n-t) r rÉ - \ l\ ' - ' II Fn n r r f - çi eI Ur u' l^i rov rr f ' P | | * ' * . * n , ll-- tOfa a Le cas des modèles booléo-valués quatement logie décrite non tri-vi-alc des recouvrcments ) ssi cipi lF,ptr, cle -| founrit donc ure situat.ion par une sémantiqr-rc cle Kriphe-.Ioval * . ; r r r1 ' a l g è b r e par union ie llooie il choisie, quel.conque. a l. nadô- assc-rciée à unc topoa savoir'la topologic I l8 Bi b l i o g r a p h i e . t1 I Boileau A. , l,es mirltiples splendeurs clu forcing (mémoire, Univei-sité d e l ' t o n t r ô a t1 1 g 7 3 . i-l -'. ill t.;l [t ] i-l F o u r n r a n ] 1 . P . c t S c o t t D . S . , S h e a v e sa n d l o g i c , L e c t u r e s N o t e s i n ) l a t h e r n a t i c s7 5 3 , S p r i n g e r - V e r l a q l g 7 7 . ( ' o u e m e n ,t ! . , T o p o l o q i c a l e é b r i q u e e t t h é o r - i e c i e s faisceaux, Actualitôs Scienti f iclues et Inclustriel les j2SZ, Hermanrr1973. G r o t h e n d i e c kA . e t V e r c l i e r J . L . , T h é o r i e c . l e st o p o s e t c o h o m o l o g i e étale des schénas, Lecture Notes in lvlathemaTics269, Springer-Verlag 1972. J e c h T . , S e t t h e o r y , A c a d e m i cp r e s s 1 g 7 g . Jolnstone P.T. , Topos theory, Academic press 1977. Keisler H.,J., Forcing and omitting types theorem dans Ir4AA studies in l l a t h e r n a t i c s , v o l . B , M . 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