M1 Analyse Fonctionnelle Une introduction au cours

Universit´e de Nantes
D´epartement de Math´ematiques
Maˆıtrise de Math´ematiques
M1
Analyse Fonctionnelle
Une introduction au cours
Ann´ee 2000-2001
A. Morame et X. P. Wang
E.Mail : [e-mail] et [e-mail]
R´esum´e
Ce manuel n’est pas le polycopi´e du cours d’Analyse Fonctionnelle de M1.
Il a pour but de rappeler les notions essentielles vues en D.E.U.G. et en Licence de
Math´ematiques qui interviennent couramment dans le cours de Maˆıtrise d’Analyse
Fonctionnelle et dans les Exercices du mˆeme cours.
Les parties de ce cours qui ont un lien imm´ediat avec ces rappels seront juste
´evoqu´es, quand leur d´efinition ne n´ecessite que ce qui a ´et´e d´ej`a acquis en Licence.
Les d´emonstrations des r´esultats vues par tous les ´etudiants issus de la Licence
1999/2000 de Nantes, o`u qui seront sˆurement vues dans le cours de M1 cette ann´ee,
ne seront pas d´ev´elopp´ees.
Seules les d´emonstrations des cours optionnels de la Licence de Math´ematiques
de Nantes seront esquiss´ees.
Le manuel de r´ef´erence du Cours de M1 est le livre de H. Brezis [3] et [4], on
peut consulter aussi celui de W. Rudin [9] dont le niveau est entre la Licence et la
Maˆıtrise et qui est moins complet pour le cours de M1.

Table des mati`eres
1 Les Pr´eliminaires indispensables 3
1.1 DelaTopologie................................. 3
1.2 Quelques propri´et´es des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Quelques bonnes surprises et “gags” 18
2.1 Sur la continuit´e des applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Sur les formes lin´eaires et la dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Les fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 R´esultats des cours optionnels de la Licence 22
3.1 Quelques rappels sur l’int´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 S´erie de Fourier “`a la mode Maˆıtrise” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Transformation de Fourier : un aper¸cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Les polynˆomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Plan du cours de M1 1999/2000 40
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1 Les Pr´eliminaires indispensables
1.1 De la Topologie
Nous rappelons que le manuel de r´ef´erence de la topologie g´en´erale est le livre de G.
Choquet [6], (ou J. Dixmier [7]), on peut aussi consulter les ouvrages du niveau d’Analyse
Fonctionnelle du niveau de la Licence de Math. [10], [12] et [11].
D´efinition 1.1 Si E est un ensemble, une topologie sur E est la donn´ee d’un ensemble
O(E)de parties de E, (c’est-`a-dire dont les ´el´ements sont des sous-ensembles de E), ces
parties de E, ´el´ements de O(E), sont appel´ees les ouverts de E et doivent satisfaire aux
trois propri´et´es suivantes :
i) Toute union (finie ou non) d’ouverts est un ouvert
ii) Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert
iii) E et l’ensemble vide ∅sont des ouverts
Dans ce cas, le couple (E, O(E)) est appel´e espace topologique.
Si (E, O(E)) est un espace topologique, une partie Ade E, A ⊂E, est dite un
ferm´e de Esi et seulement si son compl´ementaire dans E, E \Aest un ouvert.
Des ´egalit´es bien connues
E\[
i∈I
Ai=\
i∈I
(E\Ai) et E\\
i∈I
Ai=[
i∈I
(E\Ai),
on d´eduit des propri´et´es des ouverts celles ci-dessous des ferm´es :
a) Toute union finie de ferm´es est un ferm´e
b) Toute intersection (finie ou non) de ferm´es est un ferm´e
c) E et l’ensemble vide ∅sont des ferm´es
Si (E, O(E)) est un espace topologique et xun point de E, x ∈E, un voisinage de
xest un ouvert contenant x; une base de voisinage de xest un sous-ensemble Bde
O(E) tel que pour tout voisinage Vxde xil existe B∈ B inclus dans Vx:B⊂Vx.
Si Aest une partie de E, A ⊂E, la fermeture de Aest le plus petit ferm´e contenant
A, il est not´e Aet il est donn´e par
A=\
F∈F(E), A⊂F
F
si F(E) d´esigne l’ensemble de tous les ferm´es de E.
L’int´erieur de A, not´e ˙ A, est le plus grand ouvert contenu dans A, il est donn´e par
˙
A=[
O∈O(E), O⊂A
O
Une partie Ade Eest dite dense dans Esi et seulement si A=E.
3

D´efinition 1.2 Si (E, O(E)) et (H, O(H)) sont deux espaces topologiques et f:E7→ H
une application de Edans H, on dit que f est continue au point e∈Esi et seulement
si, pour tout voisinage Wf(e)de f(e)il existe un voisinage Vede etel que f(Ve)⊂Wf(e).
Si fest continue en tout point de Eon dit seulement que fest une application
continue de Edans H.
Le th´eor`eme de caract´erisation des applications continues est le suivant.
Th´eor`eme 1.3 Soit (E, O(E)),(H, O(H)) deux espaces topologiques et f:E7→ H
une application de Edans H.
Alors fest continue si et seulement si l’une des deux propri´et´es suivantes est satis-
faite :
i) Pour tout ouvert Ode H, O∈ O(H), f−1(O)
est un ouvert de E, f−1(O)∈ O(E).
ii) Pour tout ferm´e Fde H, f−1(F)est un ferm´e de E.
Nous rappelons que si f:E7→ Hest une application et si A⊂Eet B⊂H, alors
f(A) = {y∈H;∃a∈A t.q. f (a) = y}={f(a); a∈A}
est l’image de Apar fet
f−1(B) = {x∈E t.q. f(x)∈B}est l’image inverse de Bpar f.
Si (E, O(E)) est un espace topologique et si A⊂Eest une partie de E, si on d´efinit
O(A) par O(A) = {A∩O;O∈ O(E)},alors (A, O(A)) est un espace topologique, on
dit que la topologie ainsi d´efinie sur Aest celle induite par E.
Tout ouvert de An’est pas forc´ement un ouvert de E, sauf si Aest un ouvert de E.
De mˆeme tout ferm´e de An’est pas forc´ement un ferm´e de E, sauf si Aest un ferm´e
de E.
Dor´enavant on dira que Eest un espace topologique, `a la place de (E, O(E)) est un
espace topologique.
D´efinition 1.4 Deux espaces topologiques Eet Hsont dits hom´eomorphes s’il existe
une bijection entre Eet Hqui soit continue ainsi que son inverse. Si f:E7→ Hest
une telle bijection, alors
i) Pour tout A⊂E, f(A)est un ouvert de Hsi et seulement si Aest un ouvert
de E
ii) Pour tout A⊂E, f (A)est un ferm´e de Hsi et seulement si Aest un ferm´e
de E
Rappelons qu’un espace topologique Eest dit s´epar´e si et seulement si, pour tout
couple d’´el´ements distincts de (a, b) de E
il existe un voisinage Vade aet un Vbde bt.q. Va∩Vb=∅.
Une suite d’´el´ements de Eest une application s:N7→ Eque l’on note par son
image (en) = (en)n∈N, si s(n) = en,∀n∈N.
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Une sous-suite de (en) est une suite s◦p:N7→ Eo`u p:N7→ Nest une
application strictement croissante, la sous-suite se note alors (ep(j)) = (ep(j))j∈N.
Une suite (en) d’un espace topologique Eest dite convergente de limite e, (e∈E),
si pour tout voisinage Vede e, il existe M∈Ntel que ∀n > M, en∈Ve.
Si de plus Eest s´epar´e, la limite , (si elle existe), est forc´ement unique.
D´efinition 1.5 Un espace topologique E est dit compact s’il est s´epar´e et si pour tout
recouvrement de E, E=[
i∈I
Oipar une famille {Oi;i∈I}ouverts de E, on peut en
extraire un recouvrement fini : E=[
i∈J
Oio`u J est un sous-ensemble fini de I.
Th´eor`eme 1.6 “de Bolzano-Weierstrass”
Soit Kun espace topologique s´epar´e.
Si Kest compact, alors toute suite de Kadmet une sous-suite convergente.
Si Kest un espace m´etrique tel que toute suite de Kadmet une sous-suite conver-
gente, alors Kest compact.
Une partie Ad’un espace topologique E, A ⊂Eest dit compacte, si Amuni de la
topologie induite de Eest un espace topologique compact.
On a les caract´erisations suivantes des compacts.
Proposition 1.7 Une partie Ad’un espace topologique s´epar´e Eest compact si pour
tout recouvrement de A, A ⊂[
i∈I
Oipar une famille {Oi;i∈I}d’ouverts de E, on
peut en extraire un recouvrement fini : A⊂[
i∈J
Oio`u Jest un sous-ensemble fini de I.
Proposition 1.8 Si Eest un espace topologique s´epar´e et si A⊂Eest un compact,
alors Aest forc´ement un ferm´e de E.
De plus, tout ferm´e inclus dans Aest aussi compact.
Un dernier r´esultat sur les compacts `a savoir est
Th´eor`eme 1.9 Soit f:E7→ Hest une application continue. Si Hest s´epar´e et si
A⊂Eest un compact de E, alors f(A)est un compact de H.
Les espaces topologiques les plus courants sont des espaces m´etriques dont nous rap-
pelons la d´efinition.
D´efinition 1.10 Soit E un ensemble. Une distance sur E est une application d:E×
E7→ R+satisfaisant aux trois propri´et´es suivantes :
i) {d(x, y) = 0} ⇔ {x=y}(s´eparabilit´e)
ii) d(x, y) = d(y, x)(sym´etrie)
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