Quelques exemples de simulation - Univers TI

Christian Vassard (IUFM Rouen)
17
Chapitre
« Anyone who considers arithmetical methods
of producing random digits is, of course, in a state of sin. »
John Von Neuman, 1951
On « définit » la probabilité en lycée comme la « limite » de la fréquence statistique, quand on répète
un très grand nombre de fois et dans des conditions identiques, une expérience aléatoire donnée. C’est
ce qui caractérise l’approche fréquentiste des probabilités, qui a l’avantage, en faisant le lien avec les
statistiques, de donner à une notion abstraite un support intuitif presque concret.
Sans doute dans une première approche faut-il faire effectivement de véritables expériences avec des
objets du monde réel – pièces, punaises et autres dés – ne serait-ce que pour en percevoir la lenteur et
le caractère laborieux.
Bien sûr la simulation automatisée permise par la calculatrice ou l’ordinateur, grâce aux générateurs
pseudo-aléatoires, est d’une toute autre efficacité, même si, selon Von Neumann, le pseudo-hasard
qu’elle met en œuvre nous plonge dans un état de péché.
La rédemption est cependant au bout des algorithmes...
Sommaire
Chapitre 17. Quelques exemples de simulations .............................................. 427
1. Un problème de référence : la chasse aux canards .......................... 429
1.1 Chassons le canard ....................................................................... 429
1.2 Simulation sur le tableur ............................................................... 430
1.3 Capture de la variable ................................................................... 430
1.4 Écriture d’une fonction .................................................................. 432
1.5 Quelques éléments théoriques .................................................... 434
2. Jets de pièces et dés en tout genre ...................................................... 436
2.1 Simulation d’un jet de dé .............................................................. 436
2.2 Simulation du jet d’une pièce ....................................................... 439
2.3 Le paradoxe du Grand-Duc de Toscane ................................... 443
2.4 Coups consécutifs identiques égaux à pile ou face ................. 446
Chapitre 17.
Quelques exemples
de simulations

428 Mathématiques et TI-Nspire
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2.5 Obtenir tous les numéros quand on jette un dé ....................... 453
3. Autres problèmes classiques ................................................................. 461
3.1 Le paradoxe des anniversaires ................................................... 461
3.2 Un problème de rencontre ........................................................... 466
3.3 Numéros consécutifs au loto ....................................................... 472
4. Des probabilités géométriques .............................................................. 477
4.1 Somme de rand() ........................................................................... 477
4.2 Calcul approché de  par une méthode de Monte-Carlo ........ 480
4.3 Le jeu de franc-carreau ................................................................ 485
ANNEXE : dénombrer les surjections ............................................................. 489

Quelques exemples de simulation 429
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1. Un problème de référence : la chasse aux canards
1.1 Chassons le canard
 C’est un problème de référence dans la situation d’une part, mais aussi dans la façon dont nous
traiterons cette simulation avec TI-Nspire.
C’est une simulation classique qui apparaît pour la première fois sans doute dans l’excellent livre
d’Arthur Engel Les certitudes du hasard
1
.
Le cadre : dix chasseurs tirent sur dix canards.
Comme ils sont adroits… les chasseurs… ils ne ratent jamais leur cible.
Comme ils n’ont pas de chance… les canards… ils passent de vie à trépas dès qu’ils sont touchés…
Un vrai cauchemar pour les volatiles ! Leur seul espoir de s’en tirer, enfin pour quelques-uns
seulement : les chasseurs ne se mettent pas d’accord sur le canard qu’ils visent et ne tirent qu’une
fois… Si un malheureux canard, visé par plusieurs chasseurs, est en quelque sorte « tué » plusieurs
fois, d’autres survivront !
Pas la peine de faire un dessin : le nombre de canards survivants est donc au mieux de neuf, si tous les
chasseurs se sont défoulés au hasard sur un seul oiseau (sera-t-il seulement mangeable, le pauvre ?) ;
au pire, aucun si les chasseurs sans le vouloir ont tous tué chacun le leur.
Une seule question, pour les canards, mais aussi pour les chasseurs, pour des raisons exactement
opposées : combien peut-on en moyenne espérer de survivants après cette boucherie ?
Première méthode : on fait venir les chasseurs, les canards etc. On les met par 10, chasseurs,
canards, dans une pièce, les coups de feu expédient les canards ad patres… On compte les
survivants… enfin chez les canards…
Et puis, on recommence avec une autre série
2
…
Ou alors on fait une simulation. Ceux qui n’en verront pas l’avantage seront de mauvaise foi. Elle
est moins bruyante, moins traumatisante et surtout moins sanglante. Plus propre, plus rapide et plus
économique.
Certes, mais comment simuler cette partie de chasse ?
L’idée est de récupérer une succession de 10 chiffres aléatoires, comme par exemple :
9 0 6 8 4 6 5 2 8 8.
en convenant qu’un chiffre représente le numéro du canard tué. Ainsi, dans notre exemple, on peut
constater que le canard 8, le pauvre, a été tué 3 fois
3
… Oui mais son sacrifice a permis que le canard 1
ou 3 par exemple en réchappe.
Combien de survivants dans notre exemple ? 3 canards, les 1, 3, 7, correspondant aux chiffres qui
n’apparaissent pas…
Remarquons que selon ce modèle, chaque canard a autant de chances d’être tué ou de survivre que
son voisin.
1
Qu’on ne peut que recommander si vous ne l’avez pas encore dans votre bibliothèque. ALEAS Editeur.
2
Pensez à changer les canards car les survivants seront traumatisés !
3
Par les chasseurs 4, 9 et 10… ce qui correspond aux rangs des 8 dans les 10 chiffres.

430 Mathématiques et TI-Nspire
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1.2 Simulation sur le tableur
 Le tableur est particulièrement indiqué. Dans une feuille de calcul, on saisit dans la colonne A
l’instruction =randint(0,9,10). On peut appeler cette colonne salve.
Reste à déterminer les numéros qui ne sont pas sortis dans cette salve… Le plus simple est de compter
combien de fois chaque numéro de 0 à 9 apparaît. Par conséquent, dans la colonne B, on écrit donc
tous les nombres entiers de 0 à 9, correspondant à chaque numéro de canard. En C1, on rentre
=countif(salve,b1). La recopie vers le bas donne les autres réponses.
Les survivants sont donc les indemnes, c’est-à-dire les numéros en face desquels se trouve un 0.
Combien y en-a-t-il ? On peut le faire toujours avec countif. Dans la cellule D1, on tape :
=countif(c1:c10,0).
et on mémorise le résultat dans la variable surv. Réponse : 4 dans notre exemple…
Pour la répéter, on relance les calculs avec CTRL R. Le résultat oscille souvent autour des valeurs 3
et 4.
1.3 Capture de la variable
 Mais il faudrait pouvoir garder la trace de ces résultats. On peut le faire en capturant les données,
selon les modalités qui suivent :
on ajoute à surv dans la cellule D1 un petit quelque chose d’aléatoire (rand()/108) qui permet
d’être sûr qu’à chaque répétition, la variable surv change de valeur
4
, si ce n’est sur le nombre
de survivants, au moins sur cette partie aléatoire
5
;
la capture proprement dit se fait dans la colonne F ;
la colonne G permet de récupérer le bon résultat, en prenant la partie entière ;
On peut alors en H1 calculer le nombre moyen de survivants, en I5 et I6 leur maximum et minimum.
4
Faute de quoi, la variable surv n’est capturée qu’une fois, ce qui fausse évidemment le résultat.
5
Il est en effet très peu probable que rand()/108 prenne deux fois de suite la même valeur.

Quelques exemples de simulation 431
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CTRL R
6
relance l’expérience et les valeurs capturées apparaissent alors dans la colonne F. On
observe que le nombre moyen de survivants s’élève à peu près à 3,5, avec un minimum d’aucun
survivant – c’est sans doute très rare – et un maximum de 6 survivants.
Évidemment les outils de représentation graphique statistiques peuvent-être utilisés (en nommant par
exemple ff la colonne G de tous les résultats des simulations).
Voici ce que donnent par exemple les diagrammes en bâtons : on peut de visu constater les effectifs
plus importants des 3 et 4…
6
Quand CTRL est pressée, un appui long sur la touche R fait avancer la simulation de quelques dizaines d’expériences.