STRUCTURES MATH´EMATIQUES

POLYTECH’LILLE
GIS 3
STRUCTURES MATH´ EMATIQUES

Table des mati` eres
1 Les Int´ egrales G´ en´ eralis´ ees 3
1.1 D´efintion et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Int´egrales G´en´eralis´ees de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Int´egrales G´en´eralis´ees de fonctions oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Un exemple complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Les Int´ egrales Doubles 14
2.1 D´efinition par le Th´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Changement de variables en coordonn´ees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Les Int´egrales Doubles G´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Calcul de l’int´egrale de la Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Les S´ eries 24
3.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Deux r´esultats sur les s´eries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 S´eries `a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 S´eries `a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 S´eries d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Espaces pr´ ehilbertiens r´ eels 38
4.1 Normes sur un ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 In´egalit´es et normes euclidiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Projection orthogonale sur un sev de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2

Chapitre 1
Les Int´ egrales G´ en´ eralis´ ees
Comme son nom l’indique, l’int´egrale g´en´eralis´ee est une g´en´eralisation, une extension de la notion
d’int´egrale de Riemann. Afin de concentrer notre attention sur cet aspect, toutes les fonctions de ce chapitre
seront suppos´ees int´egrables au sens de Riemann sur les segments sur lesquels elles sont consid´er´ees.
1.1 D´ efintion et propri´ et´ es
Notre but dans ce chapitre est de calculer des int´egrales sur des intervalles non born´es (allant jusqu’`a
+∞ou −∞), ou bien des int´egrales sur un intervalle born´e, de fonctions ayant une limite infinie en un
point de l’intervalle d’int´egration. Si on se r´ef`ere `a l’interpr´etation intuitive d’une int´egrale comme la
surface d’un domaine dans le plan, nous cherchons `a calculer des surfaces de domaines non born´es : soit
horizontalement dans le cas d’un intervalle d’int´egration non born´e, comme
Z+∞
1
1
xdx , (1.1)
soit verticalement dans le cas d’une fonction ayant une limite infinie en unpoint del’intervalle d’int´egration,
comme Z1
0
1
xdx . (1.2)
1 +∞0 1
FIGURE 1.1 – Sous r´eserves qu’elles existent, l’aire hachur´ee de gauche repr´ente l’int´egrale g´en´eralis´ee
(1.1) et celle de droite l’int´egrale g´en´eralis´ee (1.2).
Tout point de l’intervalle d’int´egration ´egal `a +∞ou −∞d’une part, ou au voisinage duquel la fonction
`a int´egrer n’est pas born´ee est appel´e point incertain de l’int´egrale g´en´eralis´ee. Par exemple, les int´egrales
g´en´eralis´ees R+∞
1
1
xdx et R1
0
1
xdx admettent respectivement +∞et 0comme points incertains.
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On appelle nature d’une int´egrale g´en´eralis´ee le fait qu’elle converge ou diverge. Il faut comprendre
une int´egrale g´en´eralis´ee comme une limite d’int´egrales de Riemann.
D´ efinition 1.1.1 Soit fune fonction d´efinie sur [a; +∞[. On dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
af(x)dx
converge (ou est convergente) si la limite suivante existe :
lim
X→+∞ZX
a
f(x)dx .
Quand c’est le cas, on la note R+∞
af(x)dx. Dans le cas contraire, on dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee
R+∞
af(x)dx diverge (ou est divergente).
Le changement de variable x7→ −xnous permet ´egalement de traiter le cas des intervalles d’int´egration
du type ]− ∞;a]. En effet, pour tout X < a,
Za
X
f(x)dx =Z−X
−a
f(−x)dx .
Ainsi, l’int´egrale Ra
Xf(x)dx admet une limite lorsque X→ −∞ si et seulement si c’est le cas pour
R−X
−af(−x)dx.
D´ efinition 1.1.2 Soit fune fonction d´efinie sur [a;b[. On dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee Rb
af(x)dx converge
(ou est convergente) si la limite suivante existe :
lim
X→b−ZX
a
f(x)dx
(la notation X→b−signifie que Xtend vers bpar valeurs inf´erieures). Quand c’est le cas, on la note
Rb
af(x)dx. Dans le cas contraire, on dit que l’int´egrale g´en´eralis´ee Rb af(x)dx diverge (ou est divergente).
Comme pr´ec´edemment, le changement de variable x7→ −xnous permet de traiter ´egalement le cas
des intervalles d’int´egration du type ]a;b]avec fonction non born´ee au voisinage de a. En effet, pour tout
a < X ≤b,
Zb
X
f(x)dx =Z−X
−b
f(−x)dx .
L’int´egrale Rb
Xf(x)dx admet une limite lorsque X→a+si et seulement si c’est le cas pour R−X −bf(−x)dx.
Pour r´esumer, nous pouvons r´eduire notre ´etude `a seulement deux types d’int´egrales g´en´eralis´ees :
•des int´egrales sur [a; +∞[de fonctions d´efinies en tout point de l’intervalle [a; +∞[;
•des int´egrales sur [a;b[de fonctions non born´ees au voisinage de b.
Dans les deux cas, l’int´egrale g´en´eralis´ee ne poss`ede qu’un seul point incertain, situ´e `a l’extr´emit´e droite
de son intervalle d’int´egration.
Quand on connait une primitive Fde la fonction `a int´egrer f, l’´etude de la nature de l’int´egrale
g´en´eralis´ee R+∞
af(x)dx se ram`ene `a un calcul de limite (idem sur [a;b[) :
ZX
a
f(x)dx = [F(x)]X
a=F(X)−F(a).
Ainsi, R+∞
af(x)dx converge si et seulement si F(X)admet une limite lorsque Xtend vers l’infini.
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EXEMPLES :
•D´eterminons la nature de l’int´egrale g´en´eralis´ee R+∞
0
1
1+x2dx, dont le seul point incertain est +∞.
Il vient : ZX
0
1
1 + x2dx =harctan(x)iX
0= arctan(X)→π
2
lorsque Xtend vers +∞. Cette limite nous donne la nature convergente de R+∞
0
1
1+x2dx, ainsi que sa
valeur !
•Ce n’est pas le cas de l’int´egrale g´en´eralis´ee R1
0
1
xdx, dont le seul point incertain est 0. En effet :
Z1
X
1
xdx =hln(x)i1
X=−ln(X)→+∞
lorsque Xtend vers 0.
La propri´et´e suivante stipule que la nature d’une int´egrale g´en´eralis´ee ne d´epend du comportement de
la fonction `a int´egrer qu’au voisinage du point incertain.
Proposition 1.1.3 Soient fune fonction d´efinie sur [a; +∞[et a′> a. Les int´egrales R+∞
af(x)dx et
R+∞
a′f(x)dx sont de mˆeme nature, i.e. soit toutes les deux convergentes, soit toutes les deux divergentes.
Idem pour [a;b[.
`
A titre d’exemples, les int´egrales g´en´eralis´ees
Z+∞
0
1
1 + x2dx , Z+∞
−148
1
1 + x2dx et Z+∞
10000
1
1 + x2dx
sont toutes les trois convergentes. Remarquons cependant qu’elles ne sont pas ´egales. De mˆeme,
Z1
0
1
xdx et Z0,0001
0
1
xdx
sont toutes les deux divergentes.
Proposition 1.1.4 (Lin´ earit´ e) Soient f, g deux fonctions d´efinies sur [a; +∞[et α, β des r´eels. Supposons
que les int´egrales g´en´eralis´ees R+∞
af(x)dx et R+∞ ag(x)dx convergent. Alors R+∞ a(αf(x) + βg(x))dx
converge et
Z+∞
a
(αf(x) + βg(x)) dx =αZ+∞
a
f(x)dx +βZ+∞
a
g(x)dx .
En particulier, les int´egrales g´en´eralis´ees R+∞
af(x)dx et R+∞ a−f(x)dx sont de mˆeme nature.
Quand on ne sait pas calculer une primitive de la fonction `a int´egrer, on a recours `a deux types de
m´ethodes selon que la fonction est ou non de signe constant au voisinage du point incertain. La Section 1.3
concerne les fonctions oscillantes au voisinage du point incertain, i.e. celles dont le signe change infiniment
souvent au voisinage du point incertain, comme par exemple
Z+∞
1
sin x
x2dx .
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