Chapitre. Arithmétique

Chapitre.
Arithmétique
I.Les ensembles de nombres:
Il existe différents ensembles de nombres.
• l'ensemble des entiers naturels: IN .
Un entier naturel est un nombre entier positif.
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0; 1; sont des entiers naturels.
2
• les nombres entiers relatifs : W
Un entier relatif est un nombre entier positif ou négatif.
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0; 1; 7; − 5; −
sont des entiers relatifs.
2
remarque 1:
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs , mais il existe des entiers relatifs qui ne
sont pas naturels ( − 8 est un entier relatif non naturel).
• l'ensemble des nombres décimaux : ID
définition: un décimal est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient d'un entier par une puissance
de 10.
Un nombre décimal est un nombre dont l'écriture décimale a un nombre fini de chiffres différents de zéro ou
neuf après la virgule.
Effectivement, cela vient du fait que l'écriture décimale d'un nombre n'est pas unique, si un nombre a une écriture décimale
constituée d'une suite illimitée de 9, c'est un décimal, puisqu'il a alors deux écritures décimales: l'une avec une infinité de 9,
l'autre avec une infinité de 0 après la virgule.
remarque 2:
Tous les entiers relatifs peuvent s'écrire comme le quotient d'eux-mêmes par 1.
Donc tous les entiers relatifs sont des nombres décimaux. Mais il existe des décimaux qui ne sont pas
entiers relatifs (2,3 est un décimal non entier.)
• l'ensemble des nombres rationnels X
Un nombre rationnel est un nombre pouvant s'écrire comme le quotient de deux entiers.
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et sont des rationnels.
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remarque 3:
Les décimaux pouvant d'écrire comme le quotient d'un entier par une puissance de 10 (à
exposant positif), tous les décimaux sont des rationnels.
Effectivement, si un décimal s'écrit comme le quotient d'un entier par une puissance de 10 à exposant négatif, cela veut dire
qu'il s'écrit comme le produit d'un entier par une puissance de 10 à exposant positif (diviser par un nombre, c'est multiplier par
son inverse), donc comme le produit de deux entiers. C'est donc un nombre entier, qui peut donc s'écrire comme le quotient de
cet entier par 1.
C'est donc un rationnel.
3
Mais il existe des rationnels qui ne sont pas décimaux: est un rationnel non décimal.
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•
l'ensemble des nombres irrationnels : ce sont les nombres (utilisés en troisième) qui ne sont pas rationnels.
2; π sont des irrationnels.
• l'ensemble des nombres réels, IR : c'est l'ensemble de tous les nombres rationnels ou irrationnels.
II.
1)
PGCD
diviseur commun
Un diviseur commun à deux entiers a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
exemple 1:
un diviseur commun à 12 et 18 est 6.
2)
PGCD.
Parmi les diviseurs de a et b, il en existe un plus grand. Il est appelé PGCD (plus grand commun
diviseur) de a et b.
On note souvent: PGCD (a, b).
exemple 1:
diviseurs de 24: 1; 2; 3; 4; ; 6; 8; 12; 24
exemple 2:
diviseurs de 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9;12 ; 18; 36
Le PGCD de 24 et 36 est donc 12. On note PGCD ( 24; 36) = 12
Théorème admis: les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD.
avec les exemples précédents, les diviseurs communs à 24 et 36 sont 1; 2; 3; 4; 6; 12.
Ce sont bien tous les diviseurs de 12.
Ce théorème admis peut être démontré avec l'algorithme d'Euclide. Ce sera donc fait un peut plus tard dans ce chapitre.
3)
III.
nombres premiers entre eux:
Deux nombres sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
exemple 1:
2 et 3 sont premiers entre eux.
exemple 2:
35 et 24 sont premiers entre eux.
Fractions irréductibles.
a
Soit a et b deux nombres entiers avec b différent de 0. La fraction est dite irréductible lorsque a et b
b
sont premiers entre eux.
2
exemple 1:
La fraction 3 est irréductible. En effet, PGCD (2, 3) = 1.
60
60
4
exemple 2:
la fraction 45 n'est pas irréductible car PGCD (60, 45) = 15. Mais 45 = 3
4
exemple 3:
PGCD (4,3) = 1. Donc la fraction 3 est irréductible.
Théorème admis: Pour rendre irréductible une fraction, on calcule le PGCD du numérateur et du
dénominateur, puis on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.
Démonstration: on note d le PGCD de a et b.
Il existe a ' et b ' tels que a = d a ' et b = d b '.
a da'
a a'
=
=
b db'
b b'
Montrons que a ' et b ' sont premiers entre eux.
Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe donc alors trois entiers k, a" et b " avec k supérieur où égal à 2 tels que:
a' = k a " et b' = k b "
Donc a = dk a " et b = dk b"
Donc dk est un diviseur commun à a et b, mais strictement supérieur à d.
C'est impossible.
La supposition a' et b' non premiers entre eux est donc fausse.
Donc a' et b' sont premiers entre eux.
IV.
Algorithme d'Euclide
1)
Division euclidienne
Définition: Soit a et b deux entiers (b ≠ 0). La division euclidienne de a par b est l'opération qui permet
de calculer le quotient entier q et le reste entier r de a par b.
a=bq+r
0≤r<b
1 2 3 5
2 1
Exemple:
1235 = 21 × 58 + 17
1 8 5
Cette opération existe bien. Elle a été admise en primaire et en sixième,
1 7
5 8
Les entiers q et r sont uniques.
Démonstration
IN est archimédien, donc il existe un entier naturel n tel que nb > a. On note:
on considère l'ensemble des entiers naturels n tels que nb > a.
Cet ensemble admet un plus petit élément que l'on peut noter m.
On a :
(m –1) b ≤ a.
On définit r par: r = a – b(m –1)
On a la relation: b (m – 1) ≤ a < b m .
b (m – 1) ≤ a < b (m – 1 + 1 ).
b (m – 1) ≤ a < b (m – 1) + b.
b (m – 1) – b (m – 1) ≤ a – b (m – 1) < b (m – 1) + b – b (m – 1)
donc 0 ≤ r < b. On pose q = m – 1. on obtient a= b q + r et r < b.
unicité de q et r:
On considère qu'il existe deux couples (q; r) et (q'; r') tels que
a = b q +r
et a = b q ' + r ' avec r et r' entiers positifs strictement inférieurs à b.
b q + r = b q ' + r'
donc b q – b q ' = r ' – r
donc b ( q – q ' ) = r' – r
on a alors b qui divise r ' – r.
Or
0 ; r' < b
–b<–r;0
donc – b < r ' – r < b
b serait donc un diviseur de r ' – r strictement compris entre – b et b.
Ce n'est possible qu'à condition que r ' – r = 0.
Donc r = r'.
On en déduit que q – q' = 0 soit q = q'.
2)
Algorithme des soustractions successives.
a) Problème:
a et b étant deux entiers naturels (a > b), montrer que le PGCD de a et b est le PGCD de b et a − b.
Démonstration directe:
On note d un diviseur commun à a et b.
Il existe 2 entiers q et q' tels que a = dq
et b = dq'
a − b = dq − dq'
a − b = d (q − q')
q − q' étant un entier, d est un diviseur de a − b.
Première conclusion: si d est un diviseur de a et b, alors c'est aussi un diviseur de a − b.
Démonstration réciproque:
On note d' un diviseur commun à b et a − b.
Il existe donc deux entiers k et k' tels que: b = d' k
et a − b = d' k'.
a=a−b+b
a = d' k' + d' k
a = d' (k' + k)
k' + k étant un entier, cela implique que d' est un diviseur de a.
Deuxième conclusion; si d' est un diviseur de a − b et b, alors c'est aussi un diviseur de a.
Conclusion: les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et a −b .
donc le PGCD de a et b est aussi le PGCD de b et a − b.
Théorème admis: si a et b sont deux entiers naturels avec a > b, alors PGCD (a; b) = PGCD ( a − b)
b) Application
Chercher le PGCD de 360 et 270.
360 − 270 = 90 donc PGCD (360 ; 270 ) = PGCD (270 ; 90 )
270 − 90 = 180 donc PGCD (270 ; 90 ) = PGCD (90 ; 180 )
180 − 90 = 90 donc PGCD (90 ; 180 ) = PGCD (90 ; 90 )
Conclusion: PGCD (360 ; 270) = 90.
3)
Algorithme d'Euclide
a) Problème
Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors PGCD (a; b) = PGCD (b; r).
Démonstration directe:
On note d un diviseur commun à a et b.
Il existe 2 entiers k et k' tels que a = dk et b = dk'.
On sait que a = bq + r (définition de la division euclidienne)
r = a − bq
r = dk − dk'q
r = d (k − k'q)
k − k'q étant un entier, d est un diviseur de r.
Première conclusion: si d est un diviseur de a et b, alors c'est aussi un diviseur commun à b et r.
Démonstration réciproque:
On note d' un diviseur commun à b et r.
Il existe 2 entiers k et k' tels que b = d'k et r = d'k'.
On sait que a = bq + r (définition de la division euclidienne)
a = d'kq + d'k'
a = d' (kq + k')
kq + k' étant un entier, d' est un diviseur de r.
Première conclusion: si d' est un diviseur de b et r, alors c'est aussi un diviseur de a.
Seconde conclusion: si d' est un diviseur commun à b et r, alors c'est aussi un diviseur commun à a et b.
Conclusion, les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et b.
Donc le PGCD de a et b est aussi le PGCD de b et r.
Propriété:lemme d'Euclide
Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. Alors PGCD (a; b) = PGCD (b; r).
b) Application:
Méthode 1:
pour trouver le PGCD de 273 et 702, on cherche tous les diviseurs de chacun des deux nombres.
diviseurs de 273:
1; 3; 7; 13; 21; 39; 91; 273
diviseurs de 702:
1; 2; 3; 6; 9 ; 13; 18; 26; 27; 39 ; 54; 78; 117 ;234; 351;702
Donc PGCD (702; 273) = 3
Méthode 2: algorithme des soustractions successives.
702
429
273
156
117
78
- 273
- 273
- 156
- 117
- 39
- 39
= 429
= 156
= 117
= 39
= 78
= 39
Méthode 3: l'algorithme d'Euclide
Pour calculer le PGCD de deux nombres a et b (avec b < a), on travaille de la façon suivante:
Etape 1:
On divise a par b pour obtenir le reste r.
Etape 2:
Premier cas: r = 0,
alors l'algorithme est terminé et PGCD ( a ; b ) = b
Second cas: r ≠ 0, on remplace a par b et b par r et on recommence l'étape 1.
exemple 1:
Rechercher le PGCD de 702 et 273.
On va utiliser l'algorithme d'Euclide
702 = 2 × 273 + 156 PGCD (702; 273 ) = PGCD (273 ; 156)
276 = 1 × 156 + 117 PGCD (273; 156 ) = PGCD (156 ; 117)
PGCD (156; 117 ) = PGCD (117 ; 39)
156 = 1 × 117 + 39
PGCD (117 ; 39 ) = PGCD (39 ; 0 )
117 = 3 × 39 + 0
le PGCD est le dernier reste non nul,
Conclusion: PGCD ( 702; 273) = 39
inutile de l'écrire en
contrôle
Conséquence:
Pour écrire le quotient
leur PGCD.
702
702 : 39
273 = 273 : 39
702
, sous forme d'une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par
273
702
18
273 = 7
18
La fraction 7 est irréductible.
Démonstration du théorème admis
les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD:
On note D le PGCD de a et b.
il existe deux entiers a' et b' tels que a = D a '
et b = D b '
On note d un diviseur du PGCD de a et b, c'est-à-dire un diviseur de D.
il existe un entier k tel que D = d k.
donc a = d k a ' et b = d k b'.
k a' et k b ' étant des entiers, d divise a et b.
Conclusion partielle: tout diviseur de D est aussi un diviseur de a et b.
Réciproque: on va maintenant montrer que tout diviseur d de a et b est aussi un diviseur D.
Avec l'algorithme d'Euclide.
a=bq+r
0; r < b
soit d un diviseur de a et b.
On a vu dans la démonstration du lemme d'Euclide que c'est aussi un diviseur de b et r.
Donc d divise tous les PGCD des divisions successives, et divise même le PGCD de D et 0.( dernière étape de l'algorithme).
Or le PGCD de D et 0 est D.
Donc d divise D.