semaine du 20/03 au 25/03 - Sébastien Godillon

Programme de khôlles no21
semaine du 20 au 25 mars
Mots-clefs
—Continuité : continuité en un point, continuité à gauche et à droite, continuité sur une partie de R, l’ensemble
C0(I), opérations sur les fonctions continues (addition, multiplication, composition), continuité des fonctions
usuelles, image d’une suite convergente par une fonction continue, prolongement par continuité, méthode de
dichotomie d’approximation des solutions d’une équation numérique, toute fonction continue qui ne s’annule
pas sur un intervalle est de signe constant, théorème des valeurs intermédiaires, image directe d’un intervalle
par une fonction continue, courbe représentative d’une fonction continue, théorème de la bijection continue,
théorème des bornes, image directe d’un segment par une fonction continue.
—L’espace vectoriel Kn: addition de deux vecteurs, multiplication d’un vecteur par un scalaire, propriétés
des opérations de l’espace vectoriel Kn, combinaison linéaire, sous-espace vectoriel, combinaison linéaire de
vecteurs d’un sous-espace vectoriel, hyperplans, intersection de sous-espaces vectoriels, sous-espace vectoriel
engendré, notation Vect(−→ u1,−→ u2,...,−→ up), propriétés des sous-espaces vectoriels engendrés.
—Familles de vecteurs : familles libres, familles liées, propriétés des familles libres, unicité de l’écriture d’une
combinaison linéaire d’une famille libre, familles génératrices d’un sous-espace vectoriel, propriétés des familles
génératrices, existence de l’écriture d’une combinaison linéaire d’une famille génératrice, bases d’un sous-espace
vectoriel, coordonnées d’un vecteur dans une base, notation MatB(−→ x), dimension d’un sous-espace vectoriel,
les bases d’un sous-espace vectoriel sont les familles libres maximales ou les familles génératrices minimales,
propriétés de la dimension d’un sous-espace vectoriel, rang d’une famille de vecteurs, caractérisation d’une
famille libre ou d’une famille génératrice à l’aide du rang, matrice MatB(−→ u1,...,−→ up)des coordonnées d’une
famille de vecteurs dans une base, égalité entre rang d’une famille de vecteurs et rang de la matrice des
coordonnées dans une base, détermination d’une base à partir d’une famille génératrice d’un sous-espace
vectoriel.
Savoir-faire
— Étudier la continuité d’une fonction en un point.
— Discuter du prolongement par continuité d’une fonction en un point.
— Utiliser l’algorithme de dichotomie pour déterminer une approximation des solutions d’une équation numérique.
— Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires dans une situation simple.
— Utiliser le théorème des bornes dans une situation simple.
— Étudier la continuité d’une fonction implicite.
— Montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel de Kn.
— Déterminer une famille génératrice d’un sous-espace vectoriel (à l’aide d’une représentation paramétrique).
— Montrer qu’une famille est libre (à l’aide du rang).
— Déterminer une base d’un sous-espace vectoriel (en l’extrayant d’une famille génératrice).
— Déterminer la dimension d’un sous-espace vectoriel.
— Calculer les coordonnées d’un vecteur dans une base.
Exemples de questions de cours
— Démontrer (par dichotomie) que si f∈ C0([a, b]) avec f(a)f(b)60alors ∃c∈[a, b], f (c) = 0.
— Rappeler le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de la bijection continue et le théorème des bornes.
— Rappeler la définition de sous-espace vectoriel de Knet montrer que H(a1,...,an)={(x1, . . . , xn)∈Kn|
Pn
k=1 akxk= 0}est un sous-espace vectoriel de Kn.
— Montrer que F⊂Knest un sous-espace vectoriel de Knsi et seulement si toute combinaison linéaire de vecteurs
de Fappartient à F.
— Rappeler la définition de Vect(−→ u1,...,−→ up)et montrer que Vect(−→ u1,...,−→ up)est un sous-espace vectoriel de Kn.
— Montrer que Vect(−→ u1,...,−→ up)est le plus petit sous-espace vectoriel contenant −→ u1,...,−→ up.
— Montrer que si F1⊂F2sont deux sous-espaces vectoriels de Knalors dim(F1)6dim(F2).
— Montrer que (−→ u1,...,−→ up)est libre si et seulement si rang(−→ u1,...,−→ up) = p.
— Montrer que (−→ u1,...,−→ up)est génératrice de Fsi et seulement si rang(−→ u1,...,−→ up) = dim(F).
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017 Sébastien Godillon