Changement de référentiels - MP*1

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MP*1- 2015/2016
Changement de référentiels
1) Une horloge dans un ascenseur :
Une horloge est constituée d’un pendule de longueur , le fil étant sans masse, attaché
en  au bout duquel est attachée en une masse ponctuelle . Il oscille dans le référentiel
terrestre supposé galiléen.
On note l’angle que le fil fait avec la verticale à l’instant t. Initialement on a
    et     avec  
.
1) Quelle est la période des petites oscillations ? Pour la suite on prend  .
2) Le pendule est maintenant dans un ascenseur qui monte avec une accélération
constante . On suppose que les oscillations du pendule sont petites. L’horloge
retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge restée dans un référentiel galiléen de
l’escalier ?
3) Le mouvement de l’ascenseur se décompose maintenant en trois phases :
Pendant   une accélération constante vers le haut ;
Pendant , un mouvement à vitesse constante ;
Pendant   une accélération constante vers le bas.
A la fin, l’horloge placée dans l’ascenseur retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une
horloge placée dans un référentiel galiléen de l’escalier ?
2) Porte qui se ferme :
Une voiture prend une accélération constante   
. La portière  est restée
ouverte, l’angle initial est  . Elle est modélisée par une plaque de hauteur , de
largeur , de masse m uniformément répartie et de moment d’inertie par rapport à son axe de
rotation  . La liaison  est supposée parfaite.
1) Déterminer l’équation différentielle en .
2) En déduire le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne 
.
3) Faut-il courir sous la pluie ?
Faut-il courir sous la pluie si on veut se mouiller le moins possible ?
4) Déviation vers l’ouest :
Un objet de masse est lancé vers le haut selon la verticale ascendante 
d'un lieu de
latitude λ avec une vitesse initiale   Le vecteur 
 représente le
vecteur vitesse angulaire de rotation instantanée de la Terre. 
 est
contenu dans le plan  l'axe pointant vers l'Est.
1) Dans un premier temps on suppose le référentiel 
galiléen. Donner les lois du mouvement définissant  et 
2) On cherche à déterminer la variation  observée selon l'axe
. On abandonne l'hypothèse de référentiel galiléen pour  et
on tient compte de la rotation de la Terre sur elle-même. En considérant

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la force de Coriolis, et en utilisant la loi de vitesse selon  établie à la question précédente,
donner une évaluation de cette déviation.
3) Calculer  pour      et une altitude maximale atteinte de
  .
5) Anneau sur une barre en rotation :
Une barre  est animée, par rapport à un axe vertical  faisant avec lui un angle
, d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire . Un petit
anneau , de masse , coulisse sans frottement sur .
1) Déterminer la position d'équilibre  de dans le référentiel
lié à la barre. On pose Etudier sa stabilité.
2)  étant abandonné sans vitesse initiale relativement à  à
une distance  de , donner l'expression de en fonction du temps.
3) Calculer, à l'instant , la composante de la réaction de  sur  dans le plan
perpendiculaire à .
6) Régulateur de Watt :
Le régulateur à boules de James Watt est un système permettant de réguler la vitesse
de rotation d'une machine à vapeur. On le modélise par le système suivant : on considère un
losange dont les bras sont articulés sans frottements. Ce losange tourne avec une vitesse
angulaire  autour de l’axe . Le ressort a une longueur à vide  et une constante de raideur
. Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse , sont contraintes de se
déplacer sur l’axe des.
Discuter l’existence de positions d’équilibre et leurs stabilités.
7) Gravity :
Une station spatiale  est en orbite circulaire autour de la Terre de centre . Le rayon
de l’orbite est  et la vitesse angulaire de la station est notée . On introduit le
référentiel   centré sur la station et en rotation par rapport au référentiel
supposé galiléen. A un instant pris comme instant initial, un cosmonaute  de
masse  se trouve séparé du vaisseau avec une vitesse relative . On se propose d’étudier le
mouvement de C dans le référentiel  de la station sous l’influence du champ de gravitation
de la Terre. La position instantanée de C est donnée par     .
1) On considère   . Montrer que les équations du mouvement du cosmonaute
dans le référentiel  sont , au premier ordre, :
 ;   ;  
M
𝜔
x
O
𝛼
H
𝜔
𝑙𝑜𝑘
a
z
x
m
m
M

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2) On suppose que :
0 oyox vv
et
1
.15   smvv ooz
. Quelle est la trajectoire de  ?
Quelle est la distance maximale  de  à la station au cours de son mouvement ? Retournera-
t-il à la navette ? Si oui en combien de temps ?
3) On suppose que :
0 oyoz vv
et
1
.15   smvv oox
. Mêmes questions qu’au 2).
c) On suppose que :
0 oxoz vv
et
1
.15   smvv ooy
. Mêmes questions qu’au 2).
Dans quelle direction préfériez-vous quitter le vaisseau ?
Indications :
1) Une horloge dans un ascenseur :
1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement projetée sur la direction perpendiculaire à
OM ; 2) Même principe mais en ajoutant la force d’inertie d’entrainement ; 3) il faut compter
combien de période fait le balancier de l’horloge de l’ascenseur en 10 s ; dans le référentiel de
l’escalier le balancier fait 10 périodes.
2) Porte qui se ferme :
1) Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel lié à la voiture ; 2)
Multiplier l’expression obtenue pour faire apparaitre une intégrale première en  ;
attention au signe de .
3) Faut-il courir sous la pluie ?
Le plus simple est de modéliser la personne par un parallélépipède animé d’une vitesse . On
introduit également l’angle que fait la pluie avec la verticale Il faut se placer dans le
référentiel lié à la personne et dénombre combien il reçoit de gouttes entre et  en
introduisant une densité des gouttes . En déduire le nombre de gouttes reçues sur une
distance  et chercher le minimum de ce nombre de gouttes reçyes par rapport à la vitesse .
Il faut distinguer deux cas : les gouttes arrivent dans le dos dans le référentiel où le
personnage est immobile et les gouttes arrivent de face.
4) Déviation vers l’ouest :
2) Supposer que le mouvement suivant  est le même que dans la question 1) et que dans la
projection de la force d’inertie de Coriolis sur  le terme en  est bien plus important que le
terme en .
5) Particule sur une barre en rotation :
Appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel lié à la tige  ; ne pas
oublier la force d’inertie de Coriolis pour le calcul de la réaction.
6) Régulateur de Watt :

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Comme il s’agit uniquement d’une recherche de positions d’équilibre, il faut raisonner sur
l’énergie potentielle du système ; pour cela introduire une énergie potentielle de la force
d’inertie d’entrainement et tenir compte également de l’énergie potentielle de pesanteur et
l’énergie potentielle du ressort ; paramétrer à partir d’un des angles entre les diagonales du
losange et un côté ; la position d’équilibre stable correspond à un minimum de l’énergie
potentielle totale.
7) Gravity :
1) Etudier tout d’abord le mouvement de la station spatiale dans le réf géocentrique et en
déduire sa vitesse angulaire. Il faut appliquer la loi de la quantité de mouvement en tenant
compte de l’attraction de la Terre, de la force d’inertie d’entrainement et de la force d’inertie
de Coriolis; puis faire un DL de la force d’inertie d’entrainement ; 2) intégrer en tenant
compte à chaque fois des conditions initiales.
Solutions :
1) Une horloge dans un ascenseur :
1)  
 ; 2)    ; 3) le nombre de périodes que fait le balancier est
 ; par exemple pour    ; l’horloge de
l’ascenseur a un balancier qui est plus lent, elle retarde.
2) Porte qui se ferme :
1) 
  ; 2)   .
3) Faut-il courir sous la pluie ?
Si   , il faut aller à la vitesse  ; si    le
résultat dépend de l’angle que fait la pluie : en posant  
 avec  largeur de la
personne et  sa hauteur, si    il faut courir le plus vite possible et si    il faut aller à
.
4) Déviation vers l’ouest :
1)   ;  
 ; 2)    ; 3)
5) Particule sur une barre en rotation :
1)  
 ; c’est une position d’équilibre instable ; 2)  ; 3)
 .
6) Régulateur de Watt :
 pour chaque masse  ; en introduisant l’angle  entre un côté et la
verticale,   
 ;    ;  
 ; soit 
 + ;
Les positions d’équilibre sont   et   
 ; cette position d’équilibre existe
si   et 
   ; dans ce cas elle est stable.
7) Gravity :
1) Dans le référentiel  :  
(après DL) soit  ;  ;  ;

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2) Dans ce cas le mouvement est uniquement sur l’axe des Z :  ce qui
donne 
 ; la trajectoire est rectiligne sur l’axe des  et la distance maximale à
la navette est 
 ; 3) le mouvement est dans le plan 
 et   ; la trajectoire est une ellipse d’équation :
  ;   ;3) Le mouvement est dans le plan 
 ; Le cosmonaute ne reviendra plus
jamais ; La première situation est celle qui permet un retour la plus rapide à la navette.