Changement de référentiels - MP*1
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1 MP*1- 2015/2016 Changement de référentiels 1) Une horloge dans un ascenseur : Une horloge est constituée d’un pendule de longueur 𝐿, le fil étant sans masse, attaché en 𝑂 au bout duquel est attachée en 𝑀 une masse ponctuelle 𝑚. Il oscille dans le référentiel terrestre supposé galiléen. On note 𝜃(𝑡) l’angle que le fil fait avec la verticale à l’instant t. Initialement on a 𝜋 𝜃(𝑡 = 0) = 𝜃𝑜 et 𝜃̇(𝑡 = 0) = 0 avec 𝜃𝑜 ∈ [0, 2 ]. 1) Quelle est la période 𝑇𝑜 des petites oscillations ? Pour la suite on prend 𝑇𝑜 = 1 𝑠. 2) Le pendule est maintenant dans un ascenseur qui monte avec une accélération constante 𝑎𝑜 = 2𝑚. 𝑠 −2 . On suppose que les oscillations du pendule sont petites. L’horloge retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge restée dans un référentiel galiléen de l’escalier ? 3) Le mouvement de l’ascenseur se décompose maintenant en trois phases : Pendant 𝛿𝑡 = 5𝑠 une accélération constante vers le haut ; Pendant 𝜏, un mouvement à vitesse constante ; Pendant 𝛿𝑡 = 5𝑠 une accélération constante vers le bas. A la fin, l’horloge placée dans l’ascenseur retarde-t-elle ou avance-t-elle par rapport à une horloge placée dans un référentiel galiléen de l’escalier ? 2) Porte qui se ferme : Une voiture prend une accélération constante 𝑎⃗ = 𝑎𝑜 𝑢 ⃗⃗𝑥 . La portière 𝐴𝐵 est restée ouverte, l’angle initial est 𝜃𝑜 = 𝜋/2. Elle est modélisée par une plaque de hauteur ℎ, de largeur 2𝑎, de masse m uniformément répartie et de moment d’inertie par rapport à son axe de rotation 𝐽 = 4/3𝑚𝑎2 . La liaison 𝐴𝑧 est supposée parfaite. 1) Déterminer l’équation différentielle en 𝜃(𝑡). 𝜋/2 𝑑𝜃 2) En déduire le temps nécessaire à la fermeture de la portière. On donne ∫0 = √𝑐𝑜𝑠𝜃 2,6. 3) Faut-il courir sous la pluie ? Faut-il courir sous la pluie si on veut se mouiller le moins possible ? 4) Déviation vers l’ouest : Un objet de masse 𝑚 est lancé vers le haut selon la verticale ascendante ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑧 d'un lieu de ⃗ ⃗⃗ latitude λ avec une vitesse initiale 𝑣𝑜 ⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑢𝑧 Le vecteur Ω 𝑇 représente le ⃗⃗ 𝑇 est vecteur vitesse angulaire de rotation instantanée de la Terre. ⃗Ω contenu dans le plan (𝑂, 𝑦, 𝑧), l'axe (𝑂, 𝑥) pointant vers l'Est. 1) Dans un premier temps on suppose le référentiel (𝑂𝑥𝑦𝑧) galiléen. Donner les lois du mouvement définissant 𝑣(𝑡) et 𝑧(𝑡). 2) On cherche à déterminer la variation Δ𝑥 observée selon l'axe (𝑂𝑥). On abandonne l'hypothèse de référentiel galiléen pour (𝑂𝑥𝑦𝑧) et on tient compte de la rotation de la Terre sur elle-même. En considérant 2 la force de Coriolis, et en utilisant la loi de vitesse selon (𝑂𝑧) établie à la question précédente, donner une évaluation de cette déviation. 3) Calculer Δ𝑥 pour 𝜆 = 51°, 𝑔 = 9,81 𝑚. 𝑠 −2 et une altitude maximale atteinte de ℎ = 100 𝑚. 5) Anneau sur une barre en rotation : Une barre 𝑂𝑥 est animée, par rapport à un axe vertical faisant avec lui un angle , d'un mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire . Un petit ∆ anneau 𝑀, de masse 𝑚, coulisse sans frottement sur 𝑂𝑥. 𝜔 ⃗⃗ 1) Déterminer la position d'équilibre 𝑀𝑜 de 𝑀dans le référentiel lié à la barre. On pose = 𝜔𝑠𝑖𝑛𝛼Etudier sa stabilité. M 𝛼 2) 𝑀 étant abandonné sans vitesse initiale relativement à 𝑂𝑥 à O une distance 𝑎 de 𝑀𝑜 , donner l'expression de 𝑥 en fonction du temps. x 3) Calculer, à l'instant 𝑡, la composante de la réaction de 𝑂𝑥 sur 𝑀 dans le plan perpendiculaire à (∆, 𝑂𝑥). 6) Régulateur de Watt : Le régulateur à boules de James Watt est un système permettant de réguler la vitesse z 𝜔 ⃗⃗ a x m m M H 𝑙𝑜 , 𝑘 de rotation d'une machine à vapeur. On le modélise par le système suivant : on considère un losange dont les bras sont articulés sans frottements. Ce losange tourne avec une vitesse angulaire 𝜔 autour de l’axe 𝑧. Le ressort a une longueur à vide 𝑙𝑜 et une constante de raideur 𝑘. Les deux boules, modélisées par des points matériels de masse 𝑚, sont contraintes de se déplacer sur l’axe des 𝑥. Discuter l’existence de positions d’équilibre et leurs stabilités. 7) Gravity : Une station spatiale 𝑆 est en orbite circulaire autour de la Terre de centre 𝑂. Le rayon de l’orbite est 𝑟𝑜 = 7000 𝑘𝑚 et la vitesse angulaire de la station est notée 𝜔. On introduit le ⃗⃗ ) centré sur la station et en rotation par rapport au référentiel référentiel 𝑅𝑠 (𝑆, 𝐼⃗, 𝐽⃗, 𝑘 ⃗⃗ ) supposé galiléen. A un instant pris comme instant initial, un cosmonaute 𝐶 de 𝑅𝑔 ( 𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘 masse 𝑚 se trouve séparé du vaisseau avec une vitesse relative 𝑣⃗𝑜 . On se propose d’étudier le mouvement de C dans le référentiel 𝑅𝑠 de la station sous l’influence du champ de gravitation ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗(𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑧). de la Terre. La position instantanée de C est donnée par 𝑆𝐶 1) On considère 𝑟 << 𝑟𝑜 . Montrer que les équations du mouvement du cosmonaute dans le référentiel 𝑅𝑠 sont , au premier ordre, : 𝑋̈(𝑡) = 3𝜔2 𝑋(𝑡) + 2𝜔𝑌̇(𝑡) ; 𝑌̈(𝑡) = −2𝜔𝑋̇(𝑡) ; 𝑍̈(𝑡) = −𝜔2 𝑍(𝑡) 3 2) On suppose que : vox voy 0 et voz vo 15m.s 1 . Quelle est la trajectoire de 𝐶 ? Quelle est la distance maximale 𝐿1 de 𝐶 à la station au cours de son mouvement ? Retournerat-il à la navette ? Si oui en combien de temps ? 3) On suppose que : voz voy 0 et vox vo 15m.s 1 . Mêmes questions qu’au 2). c) On suppose que : voz vox 0 et voy vo 15m.s 1 . Mêmes questions qu’au 2). Dans quelle direction préfériez-vous quitter le vaisseau ? Indications : 1) Une horloge dans un ascenseur : 1) Appliquer la loi de la quantité de mouvement projetée sur la direction perpendiculaire à OM ; 2) Même principe mais en ajoutant la force d’inertie d’entrainement ; 3) il faut compter combien de période fait le balancier de l’horloge de l’ascenseur en 10 s ; dans le référentiel de l’escalier le balancier fait 10 périodes. 2) Porte qui se ferme : 1) Appliquer le théorème du moment cinétique dans le référentiel lié à la voiture ; 2) Multiplier l’expression obtenue pour faire apparaitre une intégrale première en 𝜃̇ 2 (𝑡) ; attention au signe de 𝜃̇(𝑡). 3) Faut-il courir sous la pluie ? Le plus simple est de modéliser la personne par un parallélépipède animé d’une vitesse 𝑣⃗𝑜 . On introduit également l’angle que fait la pluie avec la verticale 𝜃. Il faut se placer dans le référentiel lié à la personne et dénombre combien il reçoit de gouttes entre 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡 en introduisant une densité des gouttes 𝑛. En déduire le nombre de gouttes reçues sur une distance 𝐷 et chercher le minimum de ce nombre de gouttes reçyes par rapport à la vitesse 𝑣𝑜 . Il faut distinguer deux cas : les gouttes arrivent dans le dos dans le référentiel où le personnage est immobile et les gouttes arrivent de face. 4) Déviation vers l’ouest : 2) Supposer que le mouvement suivant 𝑂𝑧 est le même que dans la question 1) et que dans la projection de la force d’inertie de Coriolis sur 𝑂𝑥 le terme en 𝑧̇ est bien plus important que le terme en 𝑥̇ . 5) Particule sur une barre en rotation : Appliquer la loi de la quantité de mouvement dans le référentiel lié à la tige 𝑂𝑥 ; ne pas oublier la force d’inertie de Coriolis pour le calcul de la réaction. 6) Régulateur de Watt : 4 Comme il s’agit uniquement d’une recherche de positions d’équilibre, il faut raisonner sur l’énergie potentielle du système ; pour cela introduire une énergie potentielle de la force d’inertie d’entrainement et tenir compte également de l’énergie potentielle de pesanteur et l’énergie potentielle du ressort ; paramétrer à partir d’un des angles entre les diagonales du losange et un côté ; la position d’équilibre stable correspond à un minimum de l’énergie potentielle totale. 7) Gravity : 1) Etudier tout d’abord le mouvement de la station spatiale dans le réf géocentrique et en déduire sa vitesse angulaire. Il faut appliquer la loi de la quantité de mouvement en tenant compte de l’attraction de la Terre, de la force d’inertie d’entrainement et de la force d’inertie de Coriolis; puis faire un DL de la force d’inertie d’entrainement ; 2) intégrer en tenant compte à chaque fois des conditions initiales. Solutions : 1) Une horloge dans un ascenseur : 𝐿 𝐿 1) 𝑇𝑜 = 2𝜋√𝑔 ; 2) 𝑇+ = 2𝜋√𝑔+𝑎 ; 3) le nombre de périodes que fait le balancier est 𝑜 𝑔 𝑔 𝑜 𝑜 𝑁 = 5(√1 + 𝑎 + √1 − 𝑎 ) ; par exemple pour 𝑎𝑜 = 2 𝑚. 𝑠 −2 𝑁 = 1,98 ∗ 5 ; l’horloge de l’ascenseur a un balancier qui est plus lent, elle retarde. 2) Porte qui se ferme : 1) 𝜃̈(𝑡) + 𝑎𝑜 3sin(𝜃(𝑡)) 4𝑎 2𝑎 = 0 ; 2) 𝑡𝑓 = 2,6√3𝑎 . 𝑜 3) Faut-il courir sous la pluie ? Si 𝑣𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒 < 𝑣𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃, il faut aller à la vitesse 𝑣𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃 ; si 𝑣𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑛𝑒 > 𝑣𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃 le 𝐿 résultat dépend de l’angle que fait la pluie : en posant 𝜃𝑜 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (ℎ) avec 𝐿 largeur de la personne et ℎ sa hauteur, si 𝜃 < 𝜃𝑜 il faut courir le plus vite possible et si 𝜃 > 𝜃𝑜 il faut aller à 𝑣𝑝𝑙𝑢𝑖𝑒 𝑠𝑖𝑛𝜃. 4) Déviation vers l’ouest : 1 1 1) 𝑧̇ (𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣𝑜 ; 𝑧̈ (𝑡) = − 2 𝑔𝑡 2 + 𝑣𝑜 𝑡 ; 2) 𝑥(𝑡) = −Ω𝑐𝑜𝑠𝜆(− 3 𝑔𝑡 3 + 𝑣𝑜 𝑡 2 ) ; 3) Δ𝑥 = 2,7 𝑐𝑚. 5) Particule sur une barre en rotation : 𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 1) 𝑥é𝑞 = 𝜔2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 ; c’est une position d’équilibre instable ; 2) 𝑥(𝑡) = 𝑎𝑐ℎ𝑡 + 𝑥é𝑞 ; 3) 𝑅𝑧 (𝑡) = 2𝑚𝑎𝜔2 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠ℎ𝑡. 6) Régulateur de Watt : 𝐸𝑝,𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 = − 𝑚𝜔 2 𝑥 2 2 pour chaque masse 𝑚 ; en introduisant l’angle 𝛼 entre un côté et la verticale, 𝐸𝑝,𝑖𝑛𝑒𝑟𝑡𝑖𝑒 = − 𝑚𝜔 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼𝑎2 2 1 ; 𝐸𝑝,𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑡 = 2 𝑘(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑙𝑜 )2 ; 𝐸𝑝,𝑝𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑢𝑟 = 1 𝑀𝑔(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼) ; soit 𝐸𝑝 = −𝑚𝜔2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼𝑎2 + 2 𝑘(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑙𝑜 )2 +𝑀𝑔(𝐻 − 𝑎𝑐𝑜𝑠𝛼) ; Les positions d’équilibre sont 𝛼 = 0 et 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑘𝐻−𝑘𝑙 +𝑀𝑔 𝑘𝐻−𝑘𝑙𝑜 +𝑀𝑔 2𝑚𝜔 2 𝑎+𝑘𝑎 ; cette position d’équilibre existe si 𝑘𝐻 + 𝑀𝑔 > 𝑘𝑙𝑜 et 2𝑚𝜔2𝑜𝑎+𝑘𝑎 < 1 ; dans ce cas elle est stable. 7) Gravity : ⃗⃗ ) 1) Dans le référentiel (𝑅𝑠 ) : 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗𝑔 + 𝑓⃗𝑖𝑐 + 𝑓⃗𝑖𝑒 = −2𝑚𝜔𝑒⃗𝑧 × ⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ′ + 𝑚𝜔2 (3𝑋(𝑡)𝐼⃗ − 𝑍(𝑡)𝐾 (après DL) soit 𝑋̈(𝑡) = 𝜔2 3𝑋(𝑡) + 2𝜔𝑌̇(𝑡) ; 𝑌̈(𝑡) = −2𝜔𝑋̇(𝑡) ; 𝑍̈(𝑡) = −𝜔2 𝑍(𝑡) ; 5 2) Dans ce cas le mouvement est uniquement sur l’axe des Z : 𝑍̈(𝑡) + 𝜔2 𝑍(𝑡) = 0 ce qui 𝑣 donne 𝑍(𝑡) = 𝜔𝑜 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; la trajectoire est rectiligne sur l’axe des 𝑧 et la distance maximale à la navette est 𝐿1 = 𝑥(𝑡) = 𝜔2 𝑣𝑜2 −𝑣𝑜 𝜔 𝑣𝑜 𝜔 = 14 𝑘𝑚 ; 3) le mouvement est dans le plan (𝑋𝑆𝑌). 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 et 𝑦(𝑡) = + 𝑥 2 + (1 − 2𝑣 2𝜔 𝑣𝑜 𝑦)2 = 1 ; 𝐿2 = 2𝑣𝑜 𝜔 4𝑣𝑜 𝜔 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) ; la trajectoire est une ellipse d’équation : = 56 𝑘𝑚 ;3) Le mouvement est dans le plan (𝑋𝑆𝑌). 𝑣 𝑥(𝑡) = + 𝜔𝑜 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡) 𝑒𝑡 𝑦(𝑡) = 3𝑣𝑜 𝑡 + 4 𝜔𝑜 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 ; Le cosmonaute ne reviendra plus jamais ; La première situation est celle qui permet un retour la plus rapide à la navette.
