Travaux dirigés de Mécanique n°4

TD M4
Mécanique
2013/14
Travaux dirigés de Mécanique n°4
Application directe du cours :
Exercice 1 : Calcul de moments
On considère un point matériel M(m) soumis à une force



F = F ex constante.

Exprimer et calculer les moments de la force F suivants :



M O,e F ; M C ,e F ; M D,e F ;
( )
z
()
( )
z
()
( )
z
()
Données : F=1,0.103N ; l=1,0m ; θ0=45°.
Exercice 2 : Puissance d’un couple moteur
1. Un hélicoptère Robinson R44 nécessite au décollage une puissance P = 180 cv avec des pales
tournant environ à 7 tours/s. Quel est le couple exercé par le moteur sur les pales ?
2. Estimer le couple exercé par un moteur de voiture de 90 cv.
Données : 1 cheval vapeur (1cv) vaut 736 W.
Exercice 3 : Effondrement du Soleil
On pense qu’à la fin de sa vie actuelle, dans environ 5 milliards d’années, le Soleil s’effondrera en une
Naine Blanche, un astre à très forte densité concentrant la masse du Soleil sur une boule de rayon
équivalent au rayon terrestre.
1. Montrer que le moment cinétique scalaire du Soleil par rapport à son axe de rotation reste constant
au cours de cet effondrement.
2. Evaluer les moments cinétiques scalaires du Soleil, ainsi que de la Naine Blanche, en fonction de
leur masse commune m = 2. 1030 kg, de la périodes de rotation Ts = 1 mois et TNB et des rayons
solaire RS = 7.105 k m et terrestre Rt = 6400km. Le moment d’inertie d’une boule homogène de
masse m et de rayon R est J = 2/5 mR2.
3. En déduire la période de rotation de la Naine Blanche.
Exercice 4 : Balancier d’une horloge
Un balancier d’horloge est composé d’un solide S, de masse m, de
centre de masse G et de moment d’inertie J = kml 2 par rapport à

l’axe Δ = O;ez . Il est mobile autour de l’axe Δ par l’intermédiaire
(
)
d’une liaison pivot parfaite. L’axe Δ est fixe dans le référentiel
galiléen terrestre.
1) Ecrire l’équation différentielle du mouvement du balancier.
2) Le mouvement du balancier est considéré de faible
amplitude. Déterminer les expressions de la période et de la
fréquence des petites oscillations.
3) Comment faut-il modifier l si l’horloge avance ? si l’horloge
retarde ?
Machines tournantes :
Exercice 5 : Machine de test
Une machine de test est constituée d’un axe lié à 2 liaisons pivot en A et B, elle permet de tester le solide
S qui est solidaire de l’axe.
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Un couple moteur constant C = 1,5 Nm est appliqué à l’axe et permet d’atteindre
une vitesse de 1200 tr/min après 2 secondes (en partant de l’arrêt).
1. A l’aide du TMC, déterminer le moment d’inertie J du solide S par rapport
à l’axe Δ.
2. En déduire l’énergie cinétique du solide à t = 2s.
Exercice 6 : Mise en rotation d’un moteur
On étudie la phase de mise en rotation du rotor S (partie tournant) d’un moteur de robotique dans le
référentiel terrestre.
Le rotor S, de moment d’inertie J = 10,7.10-7 kg.m2 est
soumis à un couple moteur Cm dont la valeur est
proportionnelle à l’intensité du courant i traversant le
stator (partie fixe) du moteur :
Cm = ki avec k = 22.10-3 N.mA-1.
Le courant i est constant : i = I0 = 0,1 A. On suppose que
le centre de masse G du rotor est sur l’axe Δ.
1. On néglige tous les frottements.
a. En utilisant le TMC, écrire l’équation donnant la vitesse angulaire ω(t) de S.
b. La résoudre en supposant qu’au départ S est au repos.
c. Déterminer et calculer le temps T0 mis pour atteindre la vitesse ω0 = 1800 rad/s.
2. En réalité, le rotor S est soumis à un couple de frottement sec Cs = 400 µN.m et à un couple de
frottement fluide Cf = λω ( λ = 10-6N.m), tous deux s’opposant au mouvement.
a. Ecrire l’équation différentielle vérifiée par la vitesse angulaire ω(t)
b. Quelle est la vitesse angulaire maximale que pourra atteindre le moteur ?
c. Déterminer le temps T mis pour atteindre le régime permanent (à 5%). Conclure.
Exercice 7 : Réaction d’axe
Un disque non homogène de centre O, de masse m et de rayon R est en
liaison pivot autour de l’axe Δ à la vitesse angulaire ω. La liaison pivot est
supposée parfaite. LE centre d’inertie du disque noté C est tel que OC = a.
On note J le moment d’inertie du disque.
1. Initialement, le vitesse angulaire du disque vaut ω0. Que dire de son
évolution ω(t) ?
2. Evaluer la réaction R de l’axe sur le disque en fonction de a, ω0 et
m.
3. Pourquoi a-t-on intérêt à diminuer a, notamment lors de rotations rapides ? C’est ce que l’on
nomme l’équilibre statique.
Exercices des héros costauds
Exercice 8 : Superman est démasqué !
Intéressons nous aux exploits de Superman. On peut le voir lever des
véhicules pour venir au secours de la veuve et de l’orphelin. Supposons la
situation esquissée ci-contre.
On notera m la masse de Superman et M celle de la voiture.
1. Donner un ordre de grandeur de l’énergie dépensée par Superman
pour soulever la voiture. Commenter.
2. En étudiant les forces appliquées au système {superman + voiture},
expliquer ce qu’il devrait se passer.
3. Peut on éviter ce phénomène ? Par quels moyens ?
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