Stabilite stochastique

Cas Déterministe
Cas Stochastique
Stabilité Stochastique
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Applications
Cas Déterministe
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Rappels:Cas déterministe
Considérons une ODE Ẋ = f (X , t) satisfaisant les conditions
d’existence et unicité de solution. Supposons f (0, t) ≡ 0 pour
tout t, alors 0 est un équilibre.
Definition
0 est stable si
∀ε > 0 ∃δ
Stabilité Stochastique
t.q.
|x(t, t0 , x0 )| < ε
∀|x0 | < δ, t ≥ t0
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Rappels:Cas déterministe
Considérons une ODE Ẋ = f (X , t) satisfaisant les conditions
d’existence et unicité de solution. Supposons f (0, t) ≡ 0 pour
tout t, alors 0 est un équilibre.
Definition
0 est asymptotiquement stable si
∃δ0 > 0
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lim |x(t, t0 , x0 )| = 0
t→∞
∀|x0 | < δ0
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Rappels:Cas déterministe
Definition
I
R
R
K = {µ : + 7→ + croissantes, continues, tq µ(0) =
0, µ(r ) > 0 for r 6= 0}
Rd ; |x| < h}
I V : Sh × T 7→ R+ est définie positive (au sens de
I
Sh = {x ∈
Lyapunov) ssi ∃µ ∈ K tq V (0, t) ≡ 0 for t ≥ t0 et
V (x, t) ≥ µ(|x|) for all x ∈ Sh
I
V est définie négative si −V est définie positive.
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Rappels:Cas déterministe
Idée de Lyapunov
Si V ∈ C 1,1 (Sh ×
l’EDO, alors:
T, R +) et v (t) = V (x(t), t) avec x sol.
de
v̇ (t) = ∂t V (x(t), t) + ∇x V (x(t), t).f (x(t), t).
En regardant l’évolution de v (t) on peut en déduire les propriétés de convergence à zero. Plus précisément, on a des
théorèmes!
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Rappels:Cas déterministe
Théorème (Lyapunov, 1892)
Pour V ∈ C 1,1 (Sh ×
T, R+) on définit
V̇ := ∂t V (x, t) + ∇x V (x, t).f (x(t), t)
T
Si ∃V def. positive, C 1,1 t.q. V̇ ≤ 0 sur Sh × , alors 0 est
stable
Si de plus ∃µ ∈ K tel que V (x, t) ≤ µ(|x|) et V̇ est definie
négative, alors 0 est asymptotiquement stable.
Une difficulté des méthodes de Lyapunov
Comment trouver la fonction V ?
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Rappels:Cas déterministe
Théorème (Lyapunov, 1892)
Pour V ∈ C 1,1 (Sh ×
T, R+) on définit
V̇ := ∂t V (x, t) + ∇x V (x, t).f (x(t), t)
T
Si ∃V def. positive, C 1,1 t.q. V̇ ≤ 0 sur Sh × , alors 0 est
stable
Si de plus ∃µ ∈ K tel que V (x, t) ≤ µ(|x|) et V̇ est definie
négative, alors 0 est asymptotiquement stable.
Une difficulté des méthodes de Lyapunov
Comment trouver la fonction V ?
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Rappels:Cas déterministe
Théorème (Lyapunov, 1892)
Pour V ∈ C 1,1 (Sh ×
T, R+) on définit
V̇ := ∂t V (x, t) + ∇x V (x, t).f (x(t), t)
T
Si ∃V def. positive, C 1,1 t.q. V̇ ≤ 0 sur Sh × , alors 0 est
stable
Si de plus ∃µ ∈ K tel que V (x, t) ≤ µ(|x|) et V̇ est definie
négative, alors 0 est asymptotiquement stable.
Une difficulté des méthodes de Lyapunov
Comment trouver la fonction V ?
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Et dans le cas stochastique?
I
Comment définir la stabilité?
I
Peut-on trouver des critères similaires pour la stabilité?
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Définitions
On considère (*) l’EDS:
dxt = f (xt , t) dt + g(xt , t)dWt
t ≥ t0
I
On suppose f et g tels qu’on a existence et unicité de
solutions
I
f (0, t) = g(0, t) ≡ 0
I
on définit C := C 2,1 (
sur C:
∀t ≥ t0
Rd × T, R+) et l’operateur L agissant
1
L : V 7→ ∂t V + ∇x V · f + Trace(g T (x, t) · ∇2x V · g(x, t))
2
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Stabilité en probabilité
Definition
I
0 est stoch. stable si ∀ε ∈]0, 1[, ∀r > 0 ∃δ > 0 tq.
P [|x(t)| < r ∀t ≥ t0 ] ≥ 1 − ε
I
∀|x0 | < δ
0 est stoch. asymptotiquement stable si elle est stoch.
stable et si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tq
P lim |x(t)| = 0 ≥ 1 − ε
∀|x0 | < δ
t→∞
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Stabilité en probabilité
Definition
I
0 est stoch. stable si ∀ε ∈]0, 1[, ∀r > 0 ∃δ > 0 tq.
P [|x(t)| < r ∀t ≥ t0 ] ≥ 1 − ε
I
∀|x0 | < δ
0 est stoch. asymptotiquement stable si elle est stoch.
stable et si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tq
P lim |x(t)| = 0 ≥ 1 − ε
∀|x0 | < δ
t→∞
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Théorèmes de stabilité
Théorème
Si V ∈ C est def positive et LV ≤ 0 for all (x, t) ∈ Sh ×
0 est stochastiquement stable
T. Alors
Preuve La preuve consiste a regarder les temps d’atteinte de
Sr pour un r bien choisi, et montrer que sa probabilité d’être
infini est 1.
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Notion de stabilité exponentielle presque sûre
Definition
0 est exponentiellement stable p.s. si
limsup
t→∞
1
log |x(t)| < 0
t
p.s. ∀x0 ∈
Rd
(cette limsup est appelée coefficient de Lyapunov de la
trajectoire).
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Notion de stabilité exponentielle presque sûre
Lemma
If f and g are locally Lipschitz, we have for all x0 6= 0 in
P [x(t) 6= 0 fort ≥ t0 ] = 1
Stabilité Stochastique
Rd :
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Notion de stabilité exponentielle presque sûre
Théorème
Si il existe V ∈ C, des constantes p > 0, c1 > 0, c2 ∈
tq ∀x 6= 0 et t ≥ t0
R , c3 ≥ 0
1. c1 |x|p ≤ V (x, t),
2. LV (x, t) ≤ c2 V (x, t)
3. |∇x V (x, t) · g(x, t)|2 ≥ c3 V 2 (x, t)
Alors on a :
limsup
t→∞
Stabilité Stochastique
c3 − 2 c2
1
log |x(t)| ≤ −
t
2p
p.s. ∀x0 ∈
Rd
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Notion de stabilité exponentielle presque sûre
Théorème
Si il existe V ∈ C, des constantes p > 0, c1 > 0, c2 ∈
tq ∀x 6= 0 et t ≥ t0
Rc3 ≥ 0
1. c1 |x|p ≥ V (x, t) > 0,
2. LV (x, t) ≥ c2 V (x, t)
3. |∇x V (x, t) · g(x, t)|2 ≤ c3 V 2 (x, t)
Alors on a :
liminf
t→∞
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c3 − 2 c2
1
log |x(t)| ≥ −
t
2p
p.s. ∀x0 ∈
Rd
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Comparaisons cas linéaire/non-linéaire
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Cas de la fourche stochastique
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