Stabilite stochastique

Cas Déterministe Cas Stochastique Applications
Stabilité Stochastique
Stabilité Stochastique

Cas Déterministe Cas Stochastique Applications
Rappels:Cas déterministe
Considérons une ODE ˙ X=f(X,t)satisfaisant les conditions
d’existence et unicité de solution. Supposons f(0,t)≡0 pour
tout t, alors 0 est un équilibre.
Definition
0 est stable si
∀ε > 0∃δt.q. |x(t,t0,x0)|< ε ∀|x0|< δ, t≥t0
Stabilité Stochastique

Cas Déterministe Cas Stochastique Applications
Rappels:Cas déterministe
Considérons une ODE ˙ X=f(X,t)satisfaisant les conditions
d’existence et unicité de solution. Supposons f(0,t)≡0 pour
tout t, alors 0 est un équilibre.
Definition
0 est asymptotiquement stable si
∃δ0>0 lim
t→∞
|x(t,t0,x0)|=0∀|x0|< δ0
Stabilité Stochastique

Cas Déterministe Cas Stochastique Applications
Rappels:Cas déterministe
Definition
IK={µ:+7→ +croissantes, continues, tq µ(0) =
0, µ(r)>0 for r6=0}
ISh={x∈d;|x|<h}
IV:Sh× 7→ +est définie positive (au sens de
Lyapunov) ssi ∃µ∈ K tq V(0,t)≡0 for t≥t0et
V(x,t)≥µ(|x|)for all x∈Sh
IVest définie négative si −Vest définie positive.
Stabilité Stochastique

Cas Déterministe Cas Stochastique Applications
Rappels:Cas déterministe
Idée de Lyapunov
Si V∈C1,1(Sh×,R+)et v(t) = V(x(t),t)avec xsol. de
l’EDO, alors:
˙
v(t) = ∂tV(x(t),t) + ∇xV(x(t),t).f(x(t),t).
En regardant l’évolution de v(t)on peut en déduire les pro-
priétés de convergence à zero. Plus précisément, on a des
théorèmes!
Stabilité Stochastique