CIBLE PRINCIPALE SERIE MATIERE TITRE Première – Terminale Série D Mathématiques TP RESUME DU SUJET Thème abordé : PROBABILITES TP TERM D PROBABILITES 2008-2009 Exercice 1 Un moteur é1ectrique possédant trois borne B1 , B2 et B3 doit être alimenté en électricité par trois fils F1 , F2 et F3 , chaque fil étant relié à une seule borne identifiée. Lorsque les trois fils sont convenablement branchés ( F1 avec B1 , F2 avec B2 et F3 avec B3 ), le moteur tourne à 1000 tours par minute. Lorsqu'un seul des trois fils est branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés), le moteur tourne à 500 tours par minute. Lorsque aucun des fils n'est branché à la bonne borne, le moteur ne tourne pas. On a perdu le schéma de montage et les fils sont indiscernables. 1. Déterminer la liste des montages différents possibles et en déduire leur nombre total (exemple F1 avec B2 , F2 avec B1 , F3 avec B3 est l'un des montages possibles). 2. Calculer la probabilité que les trois fils soient convenablement branchés. 3. Calculer la probabilité qu'un seul des trois fils soit branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés). 4. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque montage, associe la vitesse de rotation du moteur. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Exercice 2 Un dé cubique est truqué. Une partie consiste à lancer le dé et à noter le numéro de la face supérieure. Soit X la variable aléatoire égale à ce numéro. 1 2 3 4 5 6 i Sa loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : p( X = i) 1 5 10 10 5 1 La règle du jeu est la suivante: un joueur mise 10 €. 32 32 32 32 32 32 Il reçoit : 20 euros si le numéro obtenu est 1 ou 6 ; 10 euros si le numéro obtenu est 3 ou 4 ; 0 euro si le numéro obtenu est 2 ou 5. Le gain d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise (le gain peut donc être soit positif, soit négatif). Soit Y la variable aléatoire égale au gain du joueur au cours d'une partie. 1. Quelles sont les valeurs prises par Y? 2. Déterminer la loi de probabilité de Y. 3. Calculer l'espérance mathématique de Y ? 4. On rappelle qu'un jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est nulle. Pour le jeu décrit ci-dessus, on se propose de modifier la mise. La nouvelle mise est notre m et exprimée en euros. Quelle valeur faut-il donner à m pour rendre le jeu équitable ? Exercice 3 Une boîte contient 10 boules. Sur chacune d'elles on a inscrit un nombre suivant le tableau ci-dessous Un joueur mise10 euros, tire une boule au hasard, et reçoit la somme (en euros) inscrite sur la boule. Nombre inscrit 5 6 10 11 12 13 14 Nombre de boules 1 2 1 3 1 1 1 1. Le joueur joue une fois . On appelle p1 la probabilité qu’il perde de l’argent (c’est-à-dire qu’il reçoit moins de 10 euros à l’issue du tirage ) et p2 la probabilité qu’il reçoive plus de 10 euros . 2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le « gain » du joueur.(une perte est un« gain » négatif). Par exemple: si un joueur tire le nombre 12, son « gain » est +2; s'il tire le 6, son « gain » est −4. a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? b) Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau. c) Calculer son espérance mathématique E(X) .Que représente E(X) pour le joueur ? d) Calculer la variance et l'écart- type de X 3. Il s'agit maintenant, en changeant le nombre inscrit sur UNE boule, de rendre ce jeu équitable (c'est-à- dire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire associée doit être nulle). Proposer une solution. Exercice 4 Une usine fabrique des moteurs électriques. Ces moteurs peuvent présenter deux types de défauts : défaut M de nature mécanique défaut E de nature électrique Un moteur est déclaré en parfait état de marche s'il ne présente aucun des deux défauts. 1. On prélève un lot de 200 moteurs sur la production et on constate que : le défaut M est observé sur 16 moteurs ; Avec le défaut E Sans le défaut E le défaut E est observé sur 12 moteurs ; Avec le défaut M 180 moteurs sont déclarés en parfait état Sans le défaut M de marche. Total Recopier et compléter le tableau ci-contre : On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le tableau, reflète celle de l'ensemble de la production. 2. Le coût de fabrication d'un moteur est 600 .La garantie permet de faire les réparations aux frais du fabricant selon les tarifs suivants : 100 €pour réparer le seul défaut M ; 130 € pour réparer le seul défaut E; 210 € pour réparer les deux défauts M et E. On note X la variable aléatoire qui, à chaque moteur choisi au hasard dans la production, associe son prix de revient, c'est-à-dire son coût de production augmenté éventuellement des frais de réparation. a) Justifier que X prend les valeurs suivantes : 600, 700, 730, 810. b) Montrer que la probabilité que X prenne la valeur 600 est 0,9. c) Déterminer la loi de probabilité de X. On pourra présenter les résultats dans un tableau. d) Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour l'usine ? e) On admet que tous les moteurs produits sont vendus. L'usine veut réaliser un bénéfice moyen de 85 € par moteur. Quel sera le prix de vente d'un moteur? Exercice 5 Une boîte contient 150 boutons de 12 types différents, destinés à la confection de vêtements. Le tableau suivant donne leur répartition en fonction de leur nombre de trous et de leur diamètre en mm. 1° ) On tire au hasard un bouton de la boîte et on admet que ce tirage est effectué en situation d'équiprobabilité. Diamètre en mm Calculer la probabilité d'obtenir Nombre de trous 6 10 14 18 a) Un bouton à 2 trous 2 21 24 18 0 b) Un bouton de 14mm de diamètre 3 12 15 12 3 c) Un bouton à 3 trous de 10mm de diamètre 4 0 9 27 9 d) Un bouton de diamètre inférieur à 12mm. 2°) On appelle X la variable aléatoire qui à chaque bouton tiré associe son diamètre en mm. a) Calculer la probabilité de l'évènement ( X = 6 ) b) Donner sous forme de tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. d) Calculer à 10-2 près l'écart type de la variable aléatoire X. Exercice 6 Un test d'aptitude consiste à poser à chaque candidat une série de quatre questions indépendantes. Pour chacune d'elles, deux réponses sont proposées dont une et une seule est correcte. Un candidat répond chaque fois au hasard (on suppose donc l'équiprobabilité des réponses). 1°/ On note V une réponse correcte et F une réponse incorrecte, exemple : VFFV signifie que la première et la quatrième réponses sont correctes et la deuxième et la troisième sont incorrectes. Etablir la liste des seize résultats possibles (que l'on pourra présenter à l'aide d'un arbre). 2°/ Quelle est la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse : a) à la première question posée? b) à une seule des quatre questions posées ? c) aux quatre questions posées ? 3°/ Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. a) Donner les différentes valeurs prises par X. b) Donner la loi de probabilité de X. c) Calculer l'espérance mathématique de X. 4°/ Un candidat sera reconnu apte s'il donne au moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu'un candidat répondant au hasard soit reconnu apte ? Exercice 7 Une partie consiste à lancer trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. Un Total 16 200 résultat possible est un triplet, par exemple: (pile, face, pile) que l'on peut noter (P, F, P) ou encore PFP. 1. à l'aide d'un arbre que l’on fera figurer sur la copie, déterminer toutes les éventualités. 2. Un joueur fait une partie , il gagne 3 euros et pour chaque « pile » , il perd 1 euro. On désigne par X la variable aléatoire qui , à chaque triplet , associe la somme gagnée ou perdue. Par exemple, le résultat PFP lui fait gagner 1 euro (−1+3 −1 = 1). Etablir la loi de probabilité de X. 3. Calculer l’espérance mathématique E( X), la variance V( X ) et l'écart- type σ ( X ) 4. Calculer la probabilité, noté p ( X ≤ 1) d’obtenir un résultat inférieur ou égal à 1. Tracer la courbe représentant la fonction de répartition de X . Exercice1 1. On peut déterminer la liste des montages différents possibles en choisissant en premier le fil à brancher sur la borne B l, on a alors trois choix possibles, puis le fil à brancher sur la borne B2, il reste deux choix possibles et enfin le fil à brancher sur la borne B3, et il n'y a plus qu'un seul choix. On peut représenter ces différents montages en faisant l'arbre ci-dessous : On en déduit la liste des montages différents possibles que l'on peut donner dans le tableau suivant : Borne 1 Borne 2 Borne 3 F1 F2 F3 F1 F3 F2 F2 F1 F3 F2 F3 F1 F3 F1 F2 F3 F2 F1 Il y a donc 6 montages différents possibles . 2. On suppose que tous les branchements possibles sont équiprobables. Pour tout événement A, on a alors F3 F1 F2 nombre d ' éléments de A nombre d ' éléments de A p( A) = = . 8 nombre d ' éléments de E F3 On sait qu'il y a un seul branchement convenable. F2 F3 F1 F2 F3 La probabilité que les trois fils soient convenablement branchés est donc p ( A) = 1 6 F3 F1 F1 F2 F2 F1 . 3. Il y a 3 branchements pour lesquels un seul des trois fils branché à la bonne borne, ce sont les branchements F l F 3 F 2 , F2 F l F 3 et F 3 F 2 F l . La probabilité qu'un seul des trois des trois fils branché à la bonne borne est donc p ( B ) = 3 6 4. La variable aléatoire X peut prendre les Valeurs 1000, 500 et 0 On sait que le moteur tourne à 1000 tours par minute lorsque les trois fils sont bien branchés On a donc p( X = 1000) = 1 6 On sait que le moteur tourne à 500 tours par minute lorsqu'un seul des trois fils branché à la bonne borne. 3 6 On a donc p( X = 1000) = = 1 2 Dans les autres cas, c'est-à-dire lorsque aucun des fils n'est bien branchés la variable aléatoire X 1 6 1 2 prend la valeur 0. On a donc p( X = 0) = 1 − − = 1 3 xi 1000 500 0 1 3 2 p( X = xi ) La loi de probabilité de X est donc donnée par : 6 6 6 Exercice2 1. Le gain d'un joueur est la différence entre ce qu'il reçoit et ce qu'il mise. On sait qu'il mise 10 euros. S'il reçoit 20 euros son gain est de 10 euros . S'il reçoit 10 euros son gain est nul S'il reçoit 0 euro son gain est de −10 euros . On a donc: Y = {−10 ; 0 ;10} 2. L'événement (Y = −10 ) est l'événement { numéro obtenu est 2 ou 5}.On a donc p (Y = −10 ) = p ( F2 ∪ F5 ) = p( F2 ) + p( F2 ) = p2 + p5 = 5 5 10 5 + = = 32 32 32 16 L'événement (Y = 0 ) est l’événement « le numéro obtenu est 3 ou 4 ».On a donc p (Y = 0 ) = p ( F3 ∪ F4 ) = p( F3 ) + p( F4 ) = p3 + p4 = 10 10 20 5 + = = 32 32 32 8 L'événement (Y = 10 ) est l'événement { le numéro obtenues 1 ou 6 }. On a donc p (Y = 10 ) = p( F1 ∪ F6 ) = p( F1 ) + p ( F6 ) = p1 + p6 = xi −10 0 10 p( X = xi ) 5 16 5 8 1 16 1 1 2 1 + = = 32 32 32 16 La loi de probabilité de Y est donc donnée par: 3. L'espérance mathématique de Y est : E (Y ) = −10 × p (Y = −10) + 0 × p(Y = 0) + 10 × p(Y = 10) E (Y ) = −10 × 5 5 1 40 −5 + 0 × + 10 × = − = = −2,5 , 16 8 16 16 2 on a donc E (Y ) = −2,5 4. La nouvelle mise est notée m est exprimée en euros. On a alors Y = {−m ;10 − m ;20 − m} . L'espérance mathématique de Y est : E (Y ) = −m × p(Y = −10) + (10 − m ) × p(Y = 0) + ( 20 − m ) × p(Y = 10) E (Y ) = −m × 5 5 1 −5m + 10(10 − m ) + 20 − m + (10 − m ) × + ( 20 − m ) × , on a donc E (Y ) = 16 16 8 16 −16m + 120 −5m + 100 − 10m + 20 − m −16m + 120 =0 . Le jeu est équitable lorsque E (Y ) = 0 équivaut à = 16 16 16 120 c’est-à-dire −16m + 120 = 0 ⇔ m = = 7,5 . Le jeu est équitable lorsque la mise rn est de 7, 5 euros . 16 E (Y ) = Exercice 3 1. Il y a dix boules dans l'urne, donc dix tirages possibles. On suppose que ces dix tirages sont équiprobables. Pour tout événement A, on a alors p ( A) = nombre d ' élément de A . nombre d ' élément de E Le joueur perd de l'argent lorsqu'il tire une boule portant le numéro 5 ou une boule portant le numéro 6. Il y a une boule portant le numéro 5 et deux boules portant le numéro 6, donc trois tirages pour lesquels le joueur perd de l’argent. On a donc p1 = 3 10 Le joueur gagne de l'argent lorsqu’il tire une boule portant un des numéros 11, 12, 13 ou 14. Il y a six boules portant un de ces numéros, donc six tirages pour lesquels le joueur perd de l'argent. On a donc p2 = 6 3 = 10 5 2. X est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le gain du joueur . a) Les boules portent les numéros { 5; 6; 10; 11; 12; 13; 14} Sachant que le joueur mise 10 euros, les valeurs prises par la variable aléatoire X sont les éléments de l'ensemble E = {−5 ; −4 ;0 ; 1 ; 2 ;3 ;4} -5 -4 0 1 2 3 i b) La loi de probabilité de X est alors donnée 1 2 1 3 1 1 p( X = i) dans le tableau suivant : 10 10 10 10 10 10 4 1 10 On a donc: E ( X ) = −5 × p( X = −5) − 4 × p ( X = −4) + 0 × p( X = 0) + 1× p( X = 1) + 2 × p ( X = 2) + 3 × p ( X = 3) + 4 × p ( X = 4) E ( X ) = −5 × 1 2 1 3 1 1 1 −5 − 8 + 0 + 3 + 2 + 3 + 4 1 − 4 × + 0 × + 1× + 2 × + 3 × + 4 × = = − = −0,1 ; 10 10 10 10 10 10 10 10 10 E(X) représente l'espérance de gain, c’est-à-dire le gain moyen du joueur sur une partie Un joueur perd donc en moyenne 0,1euros par partie. 2 2 d) La variance de X est donnée par : V ( X ) = ∑ ( xi − E ( X ) ) p( X = xi ) =∑ ( xi + 0,1) p ( X = xi ) V ( X ) = ( −4,9 ) × 2 1 2 1 3 1 1 1 + ( −4) 2 × + (0,1) 2 × + (1,1) 2 × + (2,1) 2 × + (3,1) 2 × + (4,1) 2 × = 8,89 , 10 10 10 10 10 10 10 donc on obtient V ( X ) = 8,89 . L'écart- type est donné par: σ ( X ) = V ( X ) = 8,89 ≈ 2,98 . 3. En remplaçant le numéro 14 par un numéro 15, on rajoutera 1 à l'espérance mathématique et celle-ci deviendra 10 alors nulle. Pour que le jeu soit équitable, il suffit, par exemple, de remplacer le numéro 14 par un numéro 15 . Exercice 4 1Avec le défaut Sans le défaut Total 2. a) E E Un moteur n’ayant aucun des deux défauts revient à 600 €. Avec le défaut M 16 12 −4 = 8 188 −180 = 8 . Un moteur ayant le seul défaut M Sans le défaut M 180 184 − 180 = 4 200 − 16 =184 revient à 600 + 100 = 700 €. Total 12 200 200−12=188 .Un moteur ayant le seul défaut E revient à 600 + 130 = 730 € .Un moteur ayant les deux défauts M et E revient à 600 + 210=810 € . X prend donc les valeurs 600, 700, 730, 810 . b) Le moteur ur étant choisi au hasard dans la production. Tous les choix sont équiprobables. alors pour tout événement, on a: p( A) = nombre d ' élément de A nombre d ' élément de E X prend la valeur 600 lorsque le moteur n'a aucun des deux défauts. On sait que sur les 200 moteurs, 180 n'ont aucun des deux défauts. Comme la répartition du tableau reflète celle de l'ensemble de la production, on a : p ( X = 600) = p( X = 600) = 0,9 c) De même on a : p ( X = 700) = p ( X = 810) = 180 . 200 Donc xi p( X = xi ) 600 700 0,9 730 810 0,04 0,02 0,04 8 4 = 0, 04 ; p ( X = 730) = = 0, 02 et 200 200 8 = 0, 04 200 d ) L'espérance mathématique E( X ) = 0,9 × p( X = 600) + 0,04 × p( X = 700) + 0,02 × p( X = 730) + 0,04 × p( X = 810) : E ( X ) = 0,9 × 600 + 0,04 × 700 + 0,02 × 730 + 0,04 × 810 , on obtient : E ( X ) = 615 e) Le prix de revient evient moyen d'un moteur étant de 615, pour que l'usine réalise un bénéfice moyen de 85 € par moteur, il faut que chaque moteur soit vendu: 615 + 85 = 700. " Le prix de vente d'un moteur sera de 700 €. Exercice 5-solution 1. 21 + 24 + 18 63 21 a) soit A l’événement « obtenir un bouton à 2 trous » , donc P ( A) = = = = 0, 42 150 150 50 18 + 12 + 27 57 19 b) soit B l’événement « obtenir Un bouton de 14mm de diamètre» P( B) = = = = 0,38 150 150 50 c) soit C l’événement « obtenir Un bouton à 3 trous de 10mm de d diamètre» P (C ) = 15 = 1 = 0,1 150 10 d) soit D l’événement « obtenir Un bouton de diamètre inférieur à 12mm » 21 + 24 + 12 + 15 + 9 81 27 P( D) = = = = 0,54 150 150 50 2. 33 11 a) { X = 6} correspond à l’événement « Un bouton de 6mm de diamètre », donc P( X = 6) = = = 0, 22 150 50 b) soit X la variable aléatoire qui à chaque bouton tiré associe son diamètre en mm ,donc : X = { 6 ;10 ;14 ;18 } xi 33 48 57 12 33 + 48 + 57 + 12 150 P ( X = xi ) = + + + = = =1 ∑ 150 150 150 150 150 150 i =1 , donc X définie bien une loi de probabilité i =4 c) E ( X ) = 6 10 14 18 33 11 = 150 50 48 8 = 150 25 57 19 = 150 50 12 2 = 150 25 6 × 33 + 10 × 48 + 14 × 57 + 18 ×12 1692 = = 11, 26 150 150 d) E ( X ) = 36 × 33 + 100 × 48 + 196 × 57 + 324 ×12 − [ E ( X ) ]2 = 21048 − 1692 = 140,32 − 127, 24 = 13, 08 2 150 d’où σ X = 13, 08 ≈ 3, 6 à 10 Exercice 6 2) a) b) 150 −2 près. c) 150 3) a) X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4. V b) F V V D'où la loi de probabilité k 0 1 2 3 F F V F V V F V F 4 V F V F V F VF VF V F V F V F c) 4) La probabilité qu'un candidat soit reconnu apte est: p( X = 3) + p ( X = 4) = 5 16 Exercice 7 1. On peut représenter l'épreuve qui consiste à lancer trois fois la pièce par l'arbre ci ci-dessous. On observe alors qu'il existe 8 éventualités. L'univers est: E = {PPP; PPF; PFP; PFF; FPP; FPF; FFP; FFF} 2. On calcu1e pour chaque éventualité la somme gagnée ou perdue, on obtient : PPP : −1− 1− 1 = −3 P PPF: −1−1+3= 1 PFP : −1 + 3 −1 = 1 , PFF : −1+3+3 =5 P P F FPP : 3 − 1− 1 = 1 FPF: 3−1+3=5 P P F P F FFP: 3+3−1=5 FFF: 3+3+3 = 9 La variable aléatoire X prend donc les valeurs { -3 ; 1 ; 5 ; 9 }. La pièce étant supposée bien équilibrée, on peut supposer que la probabilité est uniforme. nombre d ' éléments de A nombre d ' éléments de A Pour tout événement A, on a donc p ( A) = . = nombre d ' éléments de E 8 1 3 1 . On a p ( X = −3) = ; p ( X = 1) = 8 8 3 1 −3 1 5 9 xi p ( X = 5) = p ( X = 9) = 8 8 1 3 3 3 p( X = xi ) La loi de probabilité de X est donc donnée par : 8 8 8 8 F F F 3. On a: E ( X ) = −3 × p ( X = −3) + 1 × p ( X = 1) + 5 × p ( X = 5) + 9 × p ( X = 9) 1 3 3 1 −3 3 15 9 24 donc E ( X ) = −3 × + 1× + 5 × + 9 × et E ( X ) = + + + = =3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 1 3 3 1 24 2 2 2 2 V ( X ) = ( −3 − 3) × + (1 − 3) × + ( 5 − 3) × + ( 9 − 3) × = =3 8 8 8 8 8 36 12 12 36 96 V (X ) = + + +× = = 12 , donc V ( X ) = 12 . On a: σ ( X ) = V ( X ) = 12 = 2 3 . 8 8 8 8 8 4. p( X ≤ 1) = p([ X = −3) ∪ ( X = 1)] donc p( X ≤ 1) = p([ X = −3) ∪ ( X = 1)] = p( X = −3) + p( X = 1) P F (les événements (X = -3) et (X = 1) sont incompatibles ) 1 3 4 1 1 Donc p ( X ≤ 1) = + = = , donc p( X ≤ 1) = . 8 8 8 2 2 y La fonction de répartition F de la variable aléatoire X est définie par : 1 F ( x) = p ( X ≤ x ) pour tout réel x. Pour x ∈ ]−∞; −3[ F ( x ) = 0 pour x ∈ [ −3;1[ . F ( x ) = p ( X = −3) = 1 8 Pour x ∈ [1;5[ F ( x ) = p ( X ≤ 1) = 1 2 7 8 pour x ∈ [9; +∞[ F ( x) = p ( X ≤ 9) = 1 -4 -3 -2 -1 0 On peut alors tracer la courbe Représentant la fonction de répartition de F : pour x ∈ [5;9[ F ( x ) = p ( X ≤ 5) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 TP TERMSTI-STL PROBABILITES 2008-2009 Ex 1-5pts Une roue de loterie est partagée en secteurs identiques verts, blancs ou rouges. Après avoir misé 10 €, un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe. Chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant ce repère. *Si le secteur repéré est vert, le joueur reçoit 40 €, son gain est donc + 30. *Si le lecteur repéré est blanc, le joueur récupère sa mise, son gain est donc nul. *Si le secteur repéré est rouge, le joueur perd sa mise, son gain est donc −10 1. Dans cette question, la roue se compose de quinze secteurs : deux verts, cinq blancs, huit rouges. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X ). 2. La roue se compose maintenant de deux secteurs verts, cinq blancs et n rouge(s) (n entier naturel non nul). Soit X n la variable aléatoire égale au gain du joueur. a) Déterminer la loi de probabilité de X n b) On considère que l'organisateur de la loterie rentre dans ses frais si E ( X n ) ≤ − 2 , déterminer le nombre minimum de cases rouges qu'il doit prévoir pour ne pas être déficitaire. EXERCICE 2 (5 points) Une roue de loterie munie d'un index fixe est divisée en secteurs de mêmes dimensions et de différentes couleurs. Le jeu consiste à miser 20 € , à faire tourner la roue et à noter la couleur du secteur désigné par l'index à l'arrêt de la roue. On admet que chaque secteur a la même probabilité d'apparaître. La roue comporte : * n secteurs rouges qui font perdre la mise (gain du joueur: − 20 € ) *6 bleus où l'on reçoit 20 € (gain du joueur: nul) * 3 verts où l'on reçoit 80 € * 1 jaune où l'on reçoit 120 € . Soit X la variable aléatoire qui représente le gain du joueur . 1) Dans cette question, la roue comporte 14 secteurs rouges (n = 14). a) Déterminer la loi de probabilité de X . b) Calculer l'espérance mathématique de X et interpréter ce résultat. c) Calculer l'écart −type de X à un euro près. 2) Dans cette question, la roue comporte n secteurs rouges et son propriétaire désire gagner en moyenne au moins 15% des sommes misées. a) Montrer que l'espérance mathématique de X n doit être inférieure ou égale à −3. b) Montrer que l'espérance mathématique de X n est : − 20n + 280 n + 10 c) Déterminer le nombre minimum n de secteurs rouges que doit comporter la roue. Exercice 3 x Dans un atelier de réparation un technicien s'occupe des ordinateurs en panne qui lui arrivent. Les composants à l'origine de la panne peuvent uniquement être: l'alimentation, la carte graphique ou le processeur. Une panne simultanée de deux ou trois composants est possible. Le technicien chargé de la détection des pannes établit le diagnostic d'un ordinateur à l'aide d'un triplet utilisant les initiales des composants, surmontées d'une barre en cas de panne. Par exemple: ( A; CG; P) signifie que l'alimentation et la carte graphique fonctionnent et que la panne provient du processeur. 1. Établir la liste des sept diagnostics possibles sur un ordinateur en panne. 2. On suppose que les sept diagnostics ont la même probabilité d'être établis. Quelle est la probabilité pour qu'un seul des composants soit en panne ? 3. le tableau suivant donne le coût des composants à composant alimentation carte processeur remplacer :Le coût d'une réparation est celui du graphique remplacement des pièces auquel il faut ajouter un forfait prix en € 80 160 80 de main-d'œuvre de 25 € indépendant du nombre de composants à Remplacer. 3.a. Soit X la variable aléatoire qui à chaque ordinateur en panne associe le coût de la réparation. Donner la liste des valeurs possibles de X. 3.b. Donner dans un tableau la loi de probabilité de X. 3.c. Calculer l'espérance mathématique de X. Arrondir le résultat à l'unité. 3.d. Quel devrait être le coût du forfait de la main-d'œuvre, arrondi à l'unité, pour que le prix moyen d'une réparation soit de 200 € ? Exercice 4 .Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant - Le joueur mise 10 euros. - Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. 5 Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués 10 les gains en euros : 10 ; 0 ; 5 ; 0. Tous les quartiers ont la même 0 0 probabilité de s'arrêter devant le repère. 0 0 La gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur 10 5 les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues. Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 €. Roue1 Roue 2 1. Étude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros. On nomme G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros. Roue n° 1 10 0 5 0 a) Reproduire et compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par Roue n°2 la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées 10 les roues . 0 0 5 0 b) Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou 5 5 5 égal à sa mise est 50 %. 0 0 5 0 c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G. d) Calculer la probabilité, notée p ( G > 10 ) , qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise. e) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation. 2. Étude du bénéfice de l'association pour une mise de m euros. On suppose dans cette question que la mise du joueur est m euros. On note B la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur. a) Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B. b) Déterminer m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €. Exercice 5 Le Comité des fêtes d'un village organise une loterie à l'aide de deux urnes. L'urne U1 contient trois boules rouges notées R1, R2, R3 et deux boules jaunes notées J1 et J2. L'urne U2 contient quatre boules bleues notées B1 , B2 , B3 , B4 et une boule verte V. Pour participer à cette loterie, un joueur doit d'abord miser 3 €. Il tire ensuite au hasard une boule dans U1, puis une boule dans U2. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables. 1.À l'aide d'un tableau ou d'un arbre montrer qu'il y a 25 couples de boules possibles. 2.Une boule rouge fait gagner 2 €. Une boule jaune fait gagner 3 €. Une boule bleue fait gagner 1 €. La boule verte fait gagner 5 €. À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en tenant compte de la mise de 3 €, le tirage d'une boule rouge et d'une boule verte occasionne finalement un gain de 4 €. a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X. 2 b. Démontrer que p( X = 5) = 25 c. Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X . d. Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1 € ? 3.a.Calculer l'espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X . b. Le Comité s'aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d'euros, la mise minimale qu'il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Comité. Exercice 6 Un jeu de dominos est constitué de 28 dominos distincts. On rappelle qu’un domino est partagé en deux parties, chacune portant un nombre de 0 à 6 représenté par des points. Un double est un domino dont les deux parties portent le même nombre. Exemples de dominos : 1°) Ecrire la liste des 28 dominos distincts. 2°) Un joueur tire un domino au hasard. a. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un double? b. Quelle est la probabilité d’obtenir un domino dont la somme des nombres situés sur les deux parties soit divisible par 3 ? (On rappelle que 0 est divisible par tout entier non nul.) 3° ) Soit X la variable aléatoire qui `a chaque domino tiré associe la différence entre le plus grand et le plus petit nombre. Par exemple, si le domino tiré porte le nombre 1 et le nombre 4, X prend la valeur 4 − 1= 3. a. Déterminer les valeurs prises par X, puis la loi de probabilité de X b. En déduire l’espérance mathématique de X. Exercice1 Solution 1. Comme la roue ne peut s'arrêter que lorsque le repère est face à secteur vert, blanc ou rouge, le gain du joueur est soit + 30, soit 0, soit -10 ( X prend donc les valeurs -10, 0 et + 30). p (X = -10) est la probabilité pour qu'un secteur rouge s'arrête devant le repère. Il y a huit secteurs rouges sur quinze secteurs, et on suppose qu'il y a équiprobabilité des événements élémentaires (puisque chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant le repère). Donc: p( X = −10) = 8 . 15 De même, il y a cinq secteurs blancs, et p ( X = 0) est la probabilité pour qu'un secteur blanc s'arrête devant le repère, d'où p( X = 0) = 5 = 1 . 15 3 Enfin , il y a deux secteurs verts, et p( X = 30) est la probabilité pour qu'un secteur vert s'arrête devant le repère, d'où p( X = 30) = 2 , on déduit la loi de probabilité de X xi 15 p( X = xi ) L’espérance mathématique de X est : -10 0 30 8 15 1 3 2 15 3 E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) = − 10 × 8 + 0 × 1 + 30 × 2 = − 80 + 60 = − 20 = − 4 . 15 3 15 15 15 3 i =1 2 .a) X n prend les mêmes valeurs qu'au 1., c'est-à-dire + 30, 0 et -10. Le raisonnement est identique à celui du 1., sauf que le nombre total de: secteurs est 2 + 5 + n = n + 7. D'où: p( X n = −10) = n , puisqu'il y a n secteurs rouges. 5 , car il y a 5 secteurs blancs. p( X n = 0) = n+7 n+7 2 car il y a 2 secteurs verts. p( X n = 30) = n+7 On peut résumer la loi de probabilité de X n : L’espérance mathématique de X est : 3 n 5 2 −10n + 60 . E ( X n ) = ∑ xi p ( X n = xi ) = −10 × + 0× + 30 × = n+7 n+7 n+7 n+7 i =1 xi p( X = xi ) -10 0 30 n n+7 5 n+7 2 n+7 L’organisateur de la loterie rentre dans ses frais ssi E ( X n ) ≤ −2 ⇔ −10n + 60 ≤ −2 ⇔ −10n + 60 ≤ −2(n + 7) , n+7 car n+7 > 0. − 10 n + 60 ≤ −2 n − 14 74 = 9, 25 . −8n ≤ −74 soit n ≥ 8 Donc, le nombre minimum de cases rouges que l'organisateur doit prévoir pour ne pas être déficitaire est n 0 = 10. Exercice 2 Solution 1. Comme la roue ne peut s'arrêter que lorsque le repère est face à secteur vert, blanc , rouge ,ou jaune le gain du joueur est soit 100, soit 60, soit 0 ou − 20 ( X prend donc les valeurs -20, 0 , + 60 et 100). p (X = -20) est la probabilité pour qu'un secteur rouge s'arrête devant le repère. Il y a quatorze secteurs rouges sur 24 secteurs, et on suppose qu'il y a équiprobabilité des événements élémentaires (puisque chaque secteur a la même probabilité de s'arrêter devant le repère). Donc: p( X = −20) = 14 = 7 . 24 12 De même, il y a six secteurs bleus, et p ( X = 0) est la probabilité pour qu'un secteur bleu s'arrête devant le repère, D'où p( X = 0) = 6 = 1 . 24 4 il y a trois secteurs verts, et p( X = 60) est la probabilité pour qu'un secteur vert s'arrête devant le repère, d'où 3 1 , Enfin il y a un secteur jaune, et p ( X = 100) est la probabilité pour qu'un secteur jaune s'arrête = 24 8 xi -20 0 60 100 devant le repère, d'où p( X = 60) = 1 , on déduit la loi de probabilité de X 24 7 1 1 1 p( X = xi ) L’espérance mathématique de X est : 12 4 8 24 4 E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) = − 20 × 7 + 0 × 1 + 60 × 1 + 100 × 1 12 4 8 24 i =1 4 E ( X ) = − 280 + 180 + 100 = 0 = 0 .On déduit que le jeu est équitable V ( X ) = ∑ x 2 p( X = x ) = i i 24 24 i =1 5600 + 10800 + 10000 26400 14 6 3 1 = = 1100 ; σ( X ) = 1100 ≈ 33,17 V ( X ) = (−20) 2 × + 02 × + 60 2 × + (100) 2 × = 24 24 24 24 24 24 p ( X = 60) = 2. a) X n prend les mêmes valeurs qu'au 1., c'est-à-dire + 100, +60 ; 0 et −20. Le raisonnement est identique à celui du 1, sauf que le nombre total de: secteurs est 6 +3 +1+ n = n + 10. D'où : p( X n = −20) = n puisqu'il y a n secteurs n + 10 6 , car il y a 6 secteurs bleus. 3 , car il y a 3 secteurs verts. p( X n = 0) = p( X n = 60) = n + 10 n + 10 1 , car il y a un secteur jaune. On peut résumer la loi de probabilité de X : n p ( X n = 100) = n + 10 rouges xi p( X = xi ) -20 0 60 100 n n + 10 6 n + 10 3 n + 10 4 1 n + 10 L’espérance mathématique de X est : E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) = − 20 × E ( X ) = − 20n + 180 + 100 = − 20n + 280 . n + 10 n + 10 i =1 n 6 3 1 = + 0× + 60 × + 100 × n + 10 n + 10 n + 10 n + 10 L’organisateur de la loterie réalise15 % de bénéfices sur chaque mise c’est-à-dire 15 × 20 = 3 ; donc le joueur perd 100 − 20 n + 280 en moyenne 3 € pour chaque mise d’où E ( X ) ≤ −3 ssi E ( Xn ) ≤ − 3 ssi ≤ −3 ; n + 10 ssi − 20n + 180 ≤ −3(n + 10) , car n+10 > 0 ; ssi − 20n + 280 ≤ −3n − 30 . Ssi − 17n ≤ −310 soit n ≥ 310 ≈ 18,23 . 17 Donc, le nombre minimum de cases rouges que l'organisateur doit prévoir pour ne pas être déficitaire est n 0 = 19. Exercice 3 1-Lorsqu’un ordinateur est en panne , cela peut provenir : Soit d’un seul composant en panne : il y a dans ce cas trois diagnostics possibles symbolisés par : ( A; CG ; P ) ; ( A; CG; P) ; ( A; CG ; P ) Soit de deux composants en panne : il y a dans ce cas trois diagnostics possibles symbolisés par : ( A; CG ; P ) ; ( A; CG; P) ; ( A; CG ; P ) . Soit des trois composants en panne simultanément: c’est le cas ( A; CG; P) . Donc on a : E = { ( A; CG ; P ) ; ( A; CG; P) ; ( A; CG ; P ) ; ( A; CG ; P ) ; ( A; CG; P) ; ( A; CG ; P ) ; ( A; CG; P) } 2- soit B l’événement « un seul composant est en panne » cet événement est formé de trois issues favorables L’univers E est formé de sept issues possibles .Puisqu’on suppose l’équiprobabilité de sept diagnostics On a donc : P ( B ) = 3 . 7 3.a) Si seule l’alimentation est en panne, le coût de la réparation est 80 + 25 = 105 €. Si seule la carte graphique est en panne, le coût de la réparation est 160 + 25 = 185 €. Si seul le processeur est en panne, le coût de la réparation est 80 + 25 = 105 €. Si l’alimentation et la carte graphique sont en panne, le coût de la réparation est 80 +160+ 25 = 265 €. Si l’alimentation et le processeur sont en panne, le coût de la réparation est 80 +80+ 25 = 185 € Si la carte graphique et le processeur sont en panne, le coût de la réparation est 180 +80+ 25 = 265 €. Si les trois composants sont en panne, le coût de la réparation est : 80+160+80+25 = 345 €. Donc la liste des valeurs possibles de X est : X = { 105 ;185 ; 265 ; 345 } 3.b) Pour 105 €, on a deux cas favorables : ( A; CG; P) et ( A; CG; P ) , donc P ( X = 105) = 2 . 7 Pour 185 €, on a deux cas favorables : ( A; CG; P ) et ( A; CG; P ) , donc P( X = 185) = 2 7 Pour 265 €, on a deux cas favorables : ( A; CG; P) et ( A; CG; P ) , donc P ( X = 265) = 2 7 Pour 345 €, on a un seul cas favorable : ( A; CG; P) , donc P ( X = 345) = 1 . 7 3.c) E ( X ) = 4 ∑ xi × P( X = xi ) , donc E ( X ) = 105 × 2 + 185 × 2 + 265 × 2 + 345 × 1 7 7 7 X = xi 105 185 265 345 P( X = xi ) 2 7 2 7 2 7 1 7 7 1 210 + 370 + 530 + 345 1455 E( X ) = = ≈ 208€ . le coût moyen de réparation est 208 € . 7 7 3.d) le prix moyen d’une réparation est de 208 € pour un forfait de 25 €. Si on diminue ce forfait 8 € le prix moyen de réparation va passer à 200 € . En effet : dans ce cas X prend 97 ; 177 ; 257 ; 337 On a alors : E ( X ) = 97 × 2 + 177 × 2 + 257 × 2 + 337 × 1 ; E ( X ) = 194 + 314 + 514 + 337 = 1399 ≈ 200€ 7 7 7 7 7 7 2 2 2 1 E ( X ) = (80 + c) × + (160 + c ) × + ( 240 + c ) × + ( 320 + c ) × . 7 E ( X ) = (80 + c ) × 2 + (160 + c ) × 2 + ( 240 + c ) × 2 + ( 320 + c ) 7 7 7 7 120 7 × 200 = 160 + 160 + 480 + 320 + 2c + 2c + 2c + c ; 1400 = 7 c + 1280 soit 7 c = 1400 − 1280 = 120 et c = ≈ 17€ . 7 Exercice 4 21 + 24 + 18 63 21 = = = 0, 42 150 150 50 18 + 12 + 27 57 19 b) soit B l’événement « obtenir Un bouton de 14mm de diamètre» P( B) = = = = 0,38 150 150 50 1. a) soit A l’événement « obtenir un bouton à 2 trous » , donc P ( A) = c) soit C l’événement « obtenir Un bouton à 3 trous de 10mm de diamètre» P (C ) = 15 = 1 = 0,1 150 10 d) soit D l’événement « obtenir Un bouton de diamètre inférieur inférieu à 12mm » 21 + 24 + 12 + 15 + 9 81 27 P( D) = = = = 0,54 150 150 50 33 11 2. a) { X = 6} correspond à l’événement « Un bouton de 6mm de diamètre », donc P( X = 6) = = = 0, 22 150 50 b) soit X la variable aléatoire qui à chaque bouton tiré associe son diamètre en mm ,donc : X = { 6 ;10 ;14 ;18 } xi i =4 33 48 6 10 14 18 33 11 = 150 50 48 8 = 150 25 57 19 = 150 50 12 2 = 150 25 57 12 ∑ P( X = x ) = 150 + 150 + 150 + 150 = i i =1 33 + 48 + 57 + 12 150 = = 1 , donc X définie bien une loi de probabilité 150 150 c) E ( X ) = 6 × 33 + 10 × 48 + 14 × 57 + 18 ×12 1692 = = 11, 26 150 150 d) E ( X ) = 36 × 33 + 100 × 48 + 196 × 57 + 324 × 12 21048 1692 2 − [ E ( X )] = − = 140,32 − 127, 24 = 13, 08 150 150 150 2 d’où σ X = 13, 08 ≈ 3, 6 à 10 −2 près. Exercice 5 1. a) voir tableau ci-dessous b) tous les quartiers ont la même probabilité de s’arrêter devant le repère, donc tous les gains du tableau sont équiprobables . dans le tableau , apparaissent en gras les gains supérieurs ou égaux à la mise . 5 1 1 8 1 Il y a 8cas possibles sur le 16 existants donc p ( G ≥ 10 ) = p ( G = 10 ) + p ( G = 15 ) + p ( G = 20 ) = + + = = 16 8 16 16 2 soit 50 %. c) P(G = 0) = 4/16 = 1/4 ; P(G = 5) = 4/16 = 1/4 ; P(G = 10) = 5/16 P(G = 20) = 1/16. G 0 5 pi 4 4 16 16 ; 10 5 16 P(G = 15) = 2/16 = 1/8 ; 15 2 1 = 16 8 Roue n° 1 Roue n°2 10 0 5 10 10 0 5 0 20 20 10 15 10 1 5 0 10 0 16 15 5 10 5 1 1 3 5 0 10 0 d) p ( G > 10 ) = p ( G = 15 ) + p ( G = 20 ) = + = . 8 16 16 1 1 5 1 1 5 50 15 20 10 25 15 10 60 15 e) E (G ) = 0 × + 5 × + 10 × + 15 × + 20 × = + + + = + + + = = = 7,5 4 4 16 8 16 4 16 8 16 8 8 8 8 8 2 Le gain moyen est donc de 7,5 € <10 10 donc le jeu n’est pas équitable et le joueur risque de perdre de l’argent ( mais l’association va en gagner ... L'espérance de gain est donc plus petite que la mise. 2. G ' = m − G ; E ( G ') = E ( m − G ) = m − E ( G ) = m − 7,5 . G' m m −5 m − 10 m − 15 m − 20 pi 4 16 4 16 5 16 2 1 = 16 8 1 16 1 1 5 1 1 + ( m − 5 ) × + ( m − 10 ) × + ( m − 15 ) × + ( m − 20 ) × = m − 7,5 4 4 16 8 16 b) E (G ') ≥ 5 équivaut à m − 7,5 5 soit m 12,5 €.. Pour que l’espérance de bénéfice de l’association soit d’au moins 5 euros , il faut donc que la mise soit d'au moins 12,5 € .. E (G ') = m × Exercice 3 1.voir l’arbre ci-contre 2.a. Soit X la variable aléatoire égale au gain associé à un tirage de deux boules. Soit la première boule est rouge et la seconde bleue alors X = 0. rouge + bleu ⇔ 2+1 = 3 euros donc gains de 0 euros Soit la première boule est rouge et la seconde verte alors X = 4. rouge + verte ⇔ 2+5 = 7 euros donc gains de 4 euros Soit la premièree boule est jaune et la seconde bleue alors X = 1. jaune + bleu ⇔ 3+1 = 4 euros donc gains de 1 euros Soit la première boule est jaune et la seconde verte jaune + verte ⇔ 3+5 = 8 euros doncc gains de 5 euros, alors X = 5. Donc X∈ {0 ; 1 ; 4 ; 5}. b. On a deux chances sur cinq de tirer une boule jaune dans la première urne. On a une chance sur cinq de tirer une boule verte dans la seconde urne. Les deux tirages étant indépendant ( puisqu'il ne se font pas dans la même 2 1 2 urne ) , on a : p( X = 5) = p( J ∩ V ) = × = 5 5 25 La valeur X = 5 correspond aux tirages jaunes, vert. Il y a deux tirages de 2 cette sorte et 25 tirages sont possibles donc p( X = 5) = . 25 3 4 12 c : on trouve de la même façon que : p( X = 0) = p ( R ∩ B ) = × = ; 5 5 25 2 4 8 p( X = 1) = p ( J ∩ B ) = × = 5 5 25 3 1 3 on en déduit donc le tableau suivant : p( X = 4) = p( R ∩ V ) = × = 5 5 25 d. Si le gain du joueur ne dépasse pas 1€€ alors X ≤ 1 d'où X = 0 ou X = 1. B1 B2 B3 B4 V B1 B2 R1 B3 B4 V B1 B2 R2 R3 B3 B4 V B1 B2 B3 B4 V J1 B1 B2 B3 J2 B4 V X=k p(X=k) 0 Donc la probabilité de cet évènement sera : p( X ≤ 1) = p ( X = 0 ou X = 1) = p ( X = 0) + p ( X = 1) = 1 5 12 8 20 4 + = = 25 25 25 5 8 3 2 1 30 6 + 4× + 5× = ( 8 + 12 + 10 ) = = = 1, 2 25 25 25 25 25 5 b. Si le jeu est déficitaire avec une espérance de gain de 1,2 euros, pour compenser cela, le comité devrait 3.a. E ( X ) = 1 × 4 demander une unité minimale de 3 + 1,2 €, soit 5€ minimum. il faut au minimum une mise de 5 euros pour que le jeu devienne favorable au comité. Exercice2 1. On compte séparément les doubles et les non doubles . Il y a 7 doubles : D = {(0;0); (1;1);(2; 2);(3;3);(4; 4);(5;5); (6; 6)} le double zéro , le double 1 ,…le double 6. Pour les non- doubles ,pour dénombrer , on peut faire un tableau ou un arbre . on notera par exemple ( 1 ;4 ) le domino comportant une case avec 1 point et une case avec 4 points. ND = {(0;1);(0;2);(0;3);(0;4);(0;5);(0;6);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(1;6);(2;3);(2;4);(2;5);(2;6);(3;4);(3;5);(3;6);(4;5);(4;6);(5;6);} Il y a 21 dominos non doubles et 7 doubles , il y a au total 28 dominos dans ce jeu . 2-a) Soit D l’événement « obtenir un double » D l’événement « obtenir un domino non double » il y a 7 dominos doubles et 21 non doubles donc p( D) = 7 = 1 et p( D) = 1 − 7 = 21 = 3 28 4 28 28 4 b) Soit C l’événement « obtenir un domino dont la somme des nombres situés sur les deux faces soit divisible par 3 » le nombre de dominos dont la somme des nombres situés sur les deux parties soit divisible par 3 est 10 10 5 C = {(0;0);(0;3);(3;3);(0;6);(1; 2);(1;5);(2;4);(3;6);(4;5);(6;6);} et on a : p(C ) = = . 28 14 4-a) les valeurs prises par X sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 7 1 En effet : 0 ; 0-0 ; 1-1 ; 2-2 ; 3-3 ; 4-4 ; 5-5 ; 6-6 il y 7 fois 0 p( X = 0) = = 6 28 4 6 3 p( X = 1) = = 28 14 5 p ( X = 2) = 28 1 : 1-0 ; 2-1 ; 3-2 ; 4-3 ; 5-4 ; 6-5 il y a 6 fois 1 2 : 2-0 ; 3-1 ; 4-2 ; 5-3 ; 6-4 il y a 5 fois 2 3 : 3-0 ; 4-1 ; 5-2 ; 6-3 il y a 4 fois 3 p ( X = 3) = 4 : 5-1 ; 6-2 ; 4-0 il y a 3 fois 4 3 28 2 1 p ( X = 5) = = 28 14 1 p( X = 5) = . 28 p( X = 4) = 5 : 5-0 ; 6-1 il y a 2 fois 5 6 : 6-0 il y a une fois 6 X = xi 0 1 2 3 4 5 6 P( X = xi ) 1 4 3 14 5 28 1 7 3 28 1 14 1 28 7 6 5 4 3 2 1 4 1 = 28 7 28 ∑ P( X = i) = 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 + 28 = 28 = 1 par conséquent X définit bien un loi de probabilité. i =0 b) 6 7 6 5 4 3 2 1 ∑ xi × P( X = i) = 0 × 28 + 1× 28 + 2 × 28 + 3 × 28 + 4 × 28 + 5 × 28 + 6 × 28 i =0 6 ∑ xi × P( X = i) = i =0 7 × 0 + 1× 6 + 2 × 5 + 3 × 4 + 4 × 3 + 5 × 2 + 6 ×1 0 + 6 + 10 + 12 + 12 + 10 + 6 56 = = =2 28 28 28 Complément : 3-a)Soit A l’événement « il y a au moins un 3 sur le domino » A = {(0;3);(1;3);(2;3);(3;3);(3;4);(3;5);(3;6)} . 7 1 p( A) = = . 28 4 Soit B l’événement « la somme des point du domino est égale à 6 ». B = {(3;3);(0;6);(1;5);(2;4)} 4 1 p( B) = = 28 7 b) A et B sont des événements ne sont pas disjoints ( A et B ont un élément ( 3 ;3 ) en commun ). Or A ∩ B = {(3;3)} , donc P( A ∩ B) = p({(3;3)}) = 1 28 Donc P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P ( A ∩ B) et on a : P ( A ∪ B ) = 7 + 4 − 1 = 10 = 5 ; P( A ∪ B ) = 5 . 28 28 28 28 14 14 Soit G l’événement « le domino a une partie à 3 points » . G = {(0;3);(1;3);(2;3);(3;4);(3;3)(3;5);(3;6)} p(G) = 7 = 1 28 4 Soit H l’événement « le domino a une partie à 5 points » . H = {(0;5);(1;5);(2;5);(3;5);(4;5);(5;5);(5;6)} . p(H) = 7 = 1 28 4 b) G et H ne sont pas disjoints ( A et B ont un élément ( 3 ;5 ) en commun ). Or G ∩ H = {(3;5)} , donc P(G ∩ H ) = p({(3;5)}) = 1 28 Donc P (G ∪ H ) = P (G ) + P ( H ) − P (G ∩ H ) et on a : P(G ∪ H ) = 7 + 7 − 1 = 13 ; P (G ∪ H ) = 13 . 28 TP TERMSTI-STL PROBABILITES 28 28 28 28 2008-2009 Exercice 1 Partie A Une roue de loterie comporte 3 secteurs, portant respectivement les numéros 1, 2 et 3. Quand on fait tourner la roue, un repère indique le numéro sortant. La probabilité de sortie du numéro 2 est double de la probabilité de sortie du numéro 1, et la probabilité de sortie du numéro 3 est triple de celle du numéro 1. Calculer les probabilités de sortie respectives des 3 numéros. Partie B La roue est maintenant divisée en 6 secteurs égaux ayant chacun la même probabilité de s'arrêter devant le repère. • 2 secteurs sont jaunes (marqués J sur la figure ci-dessous) R • 3 secteurs sont rouges (marqués R sur la figure ci-dessous) R B • 1 secteur est bleu (marqué B sur la figure ci-dessous) La règle du jeu est la suivante : pour participer au jeu, le joueur doit miser une certaine somme et si le jaune sort, il gagne 20 €, si le bleu sort, il gagne J J 30 €, si le rouge sort, il ne gagne rien. R 1. Dans cette question, on suppose que la mise est de 10 €. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque arrêt de la roue associe le gain effectif (positif ou négatif) du joueur. (Par exemple, si le bleu sort, le gain effectif pour le joueur est de 20 €.) 1.a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 1.b. Calculer son espérance mathématique. 2. L'organisateur du jeu ne souhaite pas que l'espérance de gain du joueur soit positive. A quelle valeur minimale, exprimée par un nombre entier d'euros, doit-il fixer le montant de la mise ? Exercice 2 Une urne opaque contient 5 boules indiscernables au toucher : deux boules sont rouges et portent le nombre 1, on les désignera par R 1 et R 2 ; deux boules sont vertes et portent le nombre 2, on les désignera par V 1 et V 2 ; la dernière boule est blanche et porte le nombre 3, on la désignera par B. On tire simultanément trois boules; un tirage est noté sous la forme {R l ;V1 ;V 2} (par exemple). 1. Écrire la liste des tirages possibles. (On pourra raisonner en distinguant les tirages suivant le nombre de boules rouges qu'ils contiennent. ) 2. Les tirages étant équiprobables, quelles sont les probabilités respectives p 1 p 2 et p 3 pour que lors d'un tirage : a) deux boules tirées soient rouges ; b) les trois boules tirées soient de couleurs différentes ; c) la boule blanche ait été tirée. 3. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage la somme des nombres inscrits sur les boules tirées. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Présenter en tableau la loi de probabilités de X. c) Déterminer l'espérance mathématique de X. EX3 Pour imiter la Française des jeux, un particulier crée un jeu de loterie instantanée pour lequel 500 tickets ont été imprimés. Les tickets gagnants se répartissent de la manière suivante: 1. Calculer la probabilité qu'un ticket tiré au hasard soit un ticket gagnant. 2. Le prix de vente du ticket est de 10 € . Nombre de tickets Somme en euros gagnée On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque ticket, par ces tickets associe son gain (en tenant compte des 10 € d'achat: à 1 1000 chaque ticket gagnant 100 € , X associe ainsi 90 €). 4 200 a) Déterminer toutes les valeurs prises par X. 5 100 b) Calculer la probabilité de l'événement X= −10. 90 10 c) Déterminer la loi de probabilité associée à X. d) Calculer et interpréter l'espérance de X. Exercice 1Sol Partie A Soient: p1 la probabilité de sortie du numéro 1 ; p2 la probabilité de sortie du numéro 2 p3 la probabilité de sortie du numéro 3 On a p1 + p2 + p3 = 1 avec p2 = 2 p1 et p3 = 3 p1 On en déduit que : p1 + 2 p1 + 3 p1 = 1 6 p1 = 1 d'où p1 = 1/6 Donc les probabilités de sortie des 3 numéros sont p1 = 1/6, p2 = 1/3 et p3 = 1/2 Partie B 1)a) les valeurs prises par X sont -10€, 10€ et 20€. X = xi 20 somme −10 10 p(X = − 10) = 3/6 =1/2 P(X = xi) 1/2 1/3 1/6 1 p(X = 10)= 2/6 = 1/3 p(X = 20) = 1/6 Donc la loi de probabilité de la variable aléatoire X peut être résumée dans le tableau suivant: b) Son espérance mathématique E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) . soit E(X)= - 10 × 1/2 + 10 × 1/3 + 20 × 1/6 ; i E(X) = 5/3 2) soit x le montant de la mise E(X) = − x × 1/2 + ( 20 − x ) × 1/3 + ( 30 - x ) × 1/6 . E(X)= − 1/2 x - 1/3 x + 20/3 − 1/6 x + 30/6 E(X)= − x + 35/3 E(X) ≤ 0 ssi − x + 35 / 3 ≤ 0 E(X) ≤ 0 ssi x ≥ 35/3 Donc la valeur minimale que l'organisateur doit fixer pour le montant de la mise afin que l'espérance de gain du joueur soit négative est de 12€. Solution EXERCICE 2 1.Pour déterminer tous les tirages possibles. on va distinguer les tirages suivant le nombre de boules rouges qu'ils contiennent. • Tirages avec 2 boules rouges: il suffit de choisir une boule parmi les 3 boules restantes. Il y en a donc trois : {R1, R 2 ,V 1} ; {R1, R 2 , V 2 } ; {R1 , R 2 , B}. • Tirages avec une boule rouge seulement: il faut adjoindre à la boule rouge choisie 2 boules prises parmi les 3 boules restantes. Avec R l on trouve: {R l , V l , V 2 } ; {R l , V 1, B} ; {R 1, V 2 , B} Avec R2, on trouve: {R 2 , V 1, V 2 } ; {R 2 , V 1, B} ; {R 2 , V 2 , B}. • Tirages avec aucune boule rouge: il n'y en a qu'un seul, puisqu'il faut tirer les 3 boules restantes: {V l , V 2 , B} . On peut ainsi écrire la liste des tirages possibles (il y en a dix) : {R1 , R 2 ,V 1} ; {R1, R 2 , V 2 } ; {R1 , R 2 , B}. {R l , V l , V 2 } ; {R l , V 1 , B} ; {R 1, V 2 , B} {R 2 , V 1, V 2 } ; {R 2 , V 1, B} ; {R 2 , V 2 , B}. {V l , V 2 , B} 2. a) Soit A l'événement: "deux boules tirées sont rouges". A est formé de 3 éléments:{R 1, R 2, V 1}, {R l, R 2, V 2} et {R 1, R 2, B}. Il y a 10 cas possibles en tout d'après le 1. 3 Comme on fait l'hypothèse que les tirages sont équiprobables p( A) = soit Pl =0,3 10 b) Soit B l'événement: "les trois boules tirées sont de couleurs différentes". B est formé de 4 éléments : 4 soit P2 = 0,4 10 c) Soit C l'événement: "la boule blanche a été tirée". C est formé de 6 éléments : {R l , R2, B}, {R l, V l, B}, {R 6 , soit P3 =0,6 l, V 2, B}, {R2, V l , B}, {R2, V 2, B} et {V1,V2,B}. D'où: p (C ) = 10 {R1, V1, B}, {R1, V 2 ,B}, {R2,V l, B}, {R2, V 2, B}. D'où: p ( B ) = 3. a) Pour chacun des 10 tirages, calculons la somme des nombres inscrits sur chaque boule tirée, sachant qu'il y a 1 sur R1 et R2 ; 2 sur V 1 et V 2 et 3 sur B. Pour {R l , R 2, V l}: Pour {R l , R 2 , V 2}: Pour {R l, R 2 , B}: Pour { R l , V1 , V2}: Pour {R l , V l , B }: Pour {R 1 ,V2 , B}: Pour {R2 , V l , V 2 } : Pour {R 2 , V l , B} : Pour {V 1, V 2, B} : X = 1+1+2 = 4. X = 1+1+2 = 4. L'ensemble des valeurs prises par X est X = 1+1+3 = 5. X = 1+2+2 = 5. X = {4 ; 5 ; 6 ;7} X = 1+2+3 = 6. X = 1+2+3 = 6. X = 1 + 2 + 2 = 5. X = 1 + 2 + 3 = 6. Pour {R2 , V 2 , B} : X = 1 +2 +3 = 6. X = 2 +2 + 3 = 7. 2 b) p(X = 4 )= p ( {R l ,R 2 ,V1} ) + p({R l ,R 2 ,V2 })= = 0,2 10 p(X = 5) = P({R l , R 2 , B1) + P({R l , V l , V 2 }) + P({R 2 ,V l , V 2 })= p(X=6) =P({R l , V l , B}) + p({R1 , V p(X = 7 )= p ( {Vl ,V2 ,B} ) = 2 3 = 0,3 10 , B1 ) + P({R 2 ,V l , B}) +P({R 2 ,V2 ,B})= 1 = 0,1 10 k On a ainsi déterminé la loi de probabilité de X : On vérifie que la somme des probabilités p(X = k) est 1. p( X = k ) 4 0,2 4 =0,4. 10 5 0,3 6 0,4 7 0,1 7 c) L'espérance mathématique de X est égale à : ∑ k p( X = k ) i=4 E(X) = (4 × 0,2) + (5 × 0,3) + (6 × 0,4) + (7 × 0,1) E ( X ) = 5,4 Exercice 3 I. Le ticket étant tiré au hasard, on est dans une situation d'équiprobabilité. Le nombre de tirages possibles est égal à 500, car il y a 500 tickets imprimés. Le nombre de tickets gagnants est de ( 1 + 4 + 5 + 90 =100 ) , donc la probabilité qu'un ticket tiré au hasard soit un ticket gagnant est : 100 1 = 500 5 2. a. Valeurs prises par X Si l'on tire le ticket gagnant 1000 €, le gain est égal à I 000 −10 = 990 €. Si l'on tire un ticket gagnant 200 €, le gain est 190 €. Si l'on tire un ticket gagnant 100 €, le gain est 90 € . Si l'on tire un ticket gagnant 10 €, le gain est nul. Enfin, si l'on tire un ticket non gagnant, le «gain » est alors égal à −10 € (c'est une perte !). On en déduit l'ensemble O des valeurs prises par X : Ω = { -10 ; 0; 90; 190; 990} b. Calcul de p(X = −10) « X = −10 » est l'événement: « on tire un ticket non gagnant ». Comme la probabilité de tirer un ticket gagnant est 1 la probabilité de cet événement (événement contraire 5 de l' événement « tirer un ticket gagnant » ) est : p( X = −10) = 4 5 c. Loi de probabilité de X .D'après la question 2. c : p( X = −10) = 4 . « X = 0 » est l'événement: « on tire un ticket gagnant 10 € ». 5 il y a 90 tickets gagnant 10 francs, d'où: p( X = 0) = 90 = 9 500 50 .L'événement « X = 90 » est associé au tirage d'un ticket gagnant 100 €. Comme il y a 5 tickets gagnant 100 francs, on en déduit : p( X = 90) = 5 = 1 500 100 .L'événement« X = 190 » est associé au tirage d'un ticket gagnant 200 €. Comme il y a 4 tickets gagnant 200 francs, on en déduit : p( X = 190) = 4 = 1 500 125 .L'événement « X = 990 » est associé au tirage du ticket gagnant 1 000 €. il y a un seul ticket de ce type, d'où : p( X = 990) = 1 500 On peut alors résumer la loi de probabilité de X sous la forme d'un tableau : xi -10 0 90 190 990 P( X = x i ) 4 9 1 1 1 5 50 100 125 500 d. Espérance mathématique de X L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est donnée par la formule : n E ( X ) = ∑ xi p ( xi ) , d’où E ( X ) = i =1 − 40 90 190 990 − 4000 + 90 + 190 + 990 − 1800 + + + = = = −3,60 5 500 500 500 500 500 Ce résultat signifie qu'en moyenne, le joueur perd 3,60 € par partie (Mais l'inventeur du jeu gagne, lui, en moyenne 3,60 € par partie jouée !). L'espérance est négative elle correspond à une perte ( − 3,6 € ) Ce jeu de loterie n'est pas équilibré, il vaut mieux être prudent… TP PROBABILITE TERMINALE LCH 2008 / 2009 Exercice 1 Un organisme de voyages prépare en Logoland un circuit de découverte qui doit passer une et une seule fois dans chacune des quatre villes notées respectivement I, L, O et Z. Pour établir l'ordre des visites des villes, l'organisme doit tenir compte de deux impératifs : –Le circuit ne peut partir que de I, L ou Z car la ville O ne possède pas d'aéroport international. –La fin du voyage devant être en bord de mer, le circuit doit se terminer par I ou Z. Un circuit possible est I, L, O et Z. Il sera noté (I, L, O, Z) L I Z O Un exemple de circuit impossible est I, O, Z, L. Il est noté (I, O, Z, L). 1. Expliquer pourquoi ce dernier circuit est impossible. L 0 500 606 300 2. Déterminer les huit circuits possibles. I 500 0 500 700 3. On choisit un circuit au hasard (chaque circuit a la même probabilité d'être choisi). a) Quelle est la probabilité pour que le circuit se termine à I ? Z 600 500 0 600 b)Quelle est la probabilité pour que le circuit commence à L ? 4.L'agence de voyages s'intéresse au nombre de kilomètres parcourus en bus entre O 300 700 600 0 la ville de départ et la ville d'arrivée pour chaque circuit. Les distances exprimées en kilomètres entre les quatre villes sont indiquées dans le tableau suivant : Par exemple, on peut lire que la distance entre O et I est de 700 km. On note X la variable aléatoire qui, à chaque circuit, associe le nombre de kilomètres parcourus. a) En s'aidant du tableau fourni, déterminer l'ensemble des valeurs prises par X. b)Donner la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X. Exercice 2 Une association de randonneurs organise un repas. Elle fixe le prix de la manière suivante : □ le tarif pour un enfant âgé de 10 ans ou moins est de 5 € ; 10 ans ou entre 11 et plus de Participant total □ le tarif pour un jeune âgé de 11 à 16 ans est de 8 € ; moins 16 ans 16 ans □ dans les autres cas le tarif est de 10 € . membre 50 40 110 200 De plus, tout membre de l'association bénéficie d'une réduction de 20 % appliquée au tarif le concernant. Ainsi, non- membre 110 100 190 400 un membre âgé de 11 à 16 ans paiera 6,4 €. total 160 140 300 600 Les participants au repas, au nombre de 600, sont répartis selon le tableau ci-dessous : On choisit au hasard une personne ayant participé au repas. 1. Quelle est la probabilité qu'elle soit membre de l'association ? 2. Quelle est la probabilité qu'elle paye plus de 7 € ? 3. On considère la variable aléatoire X égale au prix du repas pour un participant choisi au hasard. Vérifier que la probabilité pour que X prenne la valeur 6,4 est égale à 1 15 4. Déterminer les valeurs prises par X , puis donner la loi de probabilité de X . 5. Déterminer l'espérance mathématique de X , notée E(X ) (calculer la valeur exacte sous forme de fraction, puis la valeur décimale approchée à 0,01 près). 6. Calculer la recette totale perçue par l'association à l'occasion de ce repas. Exercice 3 Une urne opaque contient 5 boules indiscernables au toucher : deux boules sont rouges et portent le nombre 1et 2, on les désignera par R 1 et R 2 ; deux boules sont vertes et portent le nombre 1 et 2, on les désignera par V 1 et V 2 ; la dernière boule est blanche et porte le nombre 3, on la désignera par B. On tire simultanément trois boules; un tirage est noté sous la forme {R l ;V1 ;V 2} (par exemple). 1. Écrire la liste des tirages possibles. (On pourra raisonner en distinguant les tirages suivant le nombre de boules rouges qu'ils contiennent). 2. Les tirages étant équiprobables, quelles sont les probabilités respectives P 1 , P 2 et P 3 pour que lors d'un tirage : a) deux boules tirées soient rouges ; b) les trois boules tirées soient de couleurs différentes ; c) la boule blanche ait été tirée. 3. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage la somme des nombres inscrits sur les boules tirées. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Présenter en tableau la loi de probabilités de X. c) Déterminer l'espérance mathématique de X. Exercice 4 Une urne contient trois boules : une jaune J, une verte V et une rouge R, indiscernables au toucher. On tire successivement deux boules dans l’urne, en remettant la première, après avoir noté sa couleur, avant de tirer la deuxième. On appelle résultat, un couple dont le premier élément est la couleur de la boule obtenue au premier tirage, et le second élément celle obtenue au second tirage. Par exemple, le couple (J ; V) est un résultat différent du couple (V; J). 1. Déterminer l’ensemble des 9 résultats possibles (on pourra s’aider d’un tableau ou d’un arbre) . 2. On convient de la règle de jeu suivante, associée au tirage précédent: • pour chaque boule jaune tirée, le joueur perd 3€ ; • pour chaque boule verte tirée, le joueur gagne 1€ ; • pour chaque boule rouge tirée, le joueur gagne k € (où k est un nombre positif). On désigne par X la variable aléatoire qui `a tout tirage associe le gain (positif ou négatif ) du joueur. Par exemple, pour le tirage (J ; V) le gain est de −2 €. a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Donner la loi de probabilité de X c. Calculer l’espérance E(X)d e la variable X en fonction de k. d. Quelle valeur faut-il donner à k pour que le jeu soit équitable? Exercice 5 Un candidat se présente à un jeu. Il sera interrogé successivement sur la politique, le sport et les variétés. Il va tirer au hasard trois questions : une question sur la politique, tirée parmi deux questions P1 et P2; une question sur le sport, tirée parmi trois questions S1, S2 et S3; une question sur les variétés, tirée parmi deux questions V1 et V2. Si le candidat tire, par exemple, P1, S3 et V2, on notera le tirage ( P1; S3 ;V2 ) 1.Déterminer, en justifiant, le nombre de tirages possibles (on pourra utiliser un arbre) 2.On suppose que tous ces tirages sont équiprobables. Déterminer, en donnant les explications nécessaires, la probabilité de chacun des événements suivants : A : "le tirage est ( P1; S1;V1 ) ". B : "le tirage contient S1". C : "le tirage contient S1 et V1". D : "le tirage ne contient ni S1 ni V1". E : "le tirage contient S1 ou V1". 3. Le candidat connaît seulement les réponses des questions S1 et V1. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : F : "le candidat ne sait répondre à aucune question tirée au sort" G : "le candidat sait répondre à deux questions tirées au sort sur trois". Exercice6-Ant-guil- 6points Une personne a 5 jetons indiscernables au toucher dans sa poche : un jeton d’une valeur de 2 €, deux jetons d’une valeur de 1€ chacun et deux jetons d’une valeur de 0,50 € chacun. Partie I Cette personne choisit au hasard, successivement et sans remise, deux jetons dans sa poche. On s’intéresse à la somme S des valeurs des deux jetons choisis. 1. Construire un arbre ou un tableau décrivant cette expérience. En déduire les valeurs possibles de la somme S. 2. Soit A l’évènement : « la somme S est égale à 1,5 » et B l’évènement : « la somme S est égale à 1 ». a. Vérifier que la probabilité de l’évènement A est égale à 0, 4. b. Déterminer la probabilité de l’évènement B. 3. Déterminer la probabilité pour que la somme S soit supérieure ou égale à 2. Partie II Cette personne introduit les deux jetons choisis dans un appareil de stationnement. Le coût est de 0,50 € pour une heure de stationnement. Soit X la variable aléatoire qui à chaque choix de deux jetons associe la durée maximale du stationnement autorisé, exprimée en heures. 1. Déterminer, en utilisant la partie I, la probabilité pour que X prenne la valeur 3. 2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 3. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. Exercice 1 Savoir s'organiser pour bien gérer. 1. Le circuit (I, O, Z, L) est impossible puisque tout circuit doit se terminer par I ou par Z. 2. I → L → O → Z ; I → O → L → Z ; L → O → I → Z ; L → O → Z → I ; L → I → O → Z L → Z → O → I ; Z → L → O → I ; Z → O → L → I sont les 8 circuit possibles 4 1 4 1 3. a) p = = b) p ' = = 8 2 8 2 4. a) I → L → O → Z donne : 500 + 300 + 600 = 1 400 km I → O → L → Z donne : 700 + 300 +600 = 1 600 km L → O → I → Z donne : 300 + 700 + 500 = 1500 km L → O → Z → I donne : 300 + 600 + 500 = 1400 km L → I → O → Z donne : 500 + 700 + 600 = 1 800 km L → Z → O → I donne : 600 + 600 + 700 = 1900 km Z → L → O → I donne : 600 + 300 + 700 = 1 600 km Z → O → L → I donne : 600 + 300 + 500 = 1 400 km Donc la variable aléatoire X peut prendre les valeurs: {1 400, 1 500, 1 600, 1 800, 1 900} b) x=k 1 400 1 500 1 600 1 800 1 900 1 2 1 1 p({x = k}) 3 8 8 8 8 c) E ( x ) = 1 ( 3 × 1400 + 1500 + 2 × 1600 + 1800 + 1900 ) 8 E ( x) = 8 ; E ( x ) = 1 ( 4200 + 1500 + 3200 + 1800 + 1900 ) 8 12600 = 1575 . donc E(X) = 1 575 km 8 Exercice 2 PARTIE A 1) La probabilité que la personne soit membre de l'association est de : 200 1 = , soit 1 . 600 3 3 2. Le nombre de personnes ayant à payer plus de 7 € est : 110 +190 + 100, soit 400 personnes. Donc la probabilité qu'elle paye plus de 7 € est de 2 400 2 = , soit . 3 600 3 3. Comme X associe le prix du repas, il y a 40 personnes qui paierait 6,4 €. 1 Donc P(X = 6,4) = 40 = 1 , soit P(X = 6,4) = . X=k 4 15 600 15 1 P(X = k) 4. Les valeurs prises par X sont : { 4 ; 5 ; 6,4 ; 8 ; 10} . 12 La loi de probabilité de X est : 5. E ( x ) = 4 × E ( x) = 1 11 1 7 19 + 5 × + 6, 4 × + 8 × + 10 × 12 60 15 20 60 5 6,4 8 10 11 60 1 15 7 20 19 60 Σ 1 1 11 32 14 19 + + + 3 12 75 5 6 . E ( x) = + 2293 ≈ 7, 64 à 10−2 près 300 PARTIE B La recette totale perçue par l'association à l'occasion ce repas est de : 7,64 × 600, soit 4 586 €. Il faut savoir que l'espérance mathématique correspond au prix moyen d'un repas. Exercice 3-Solution 1.Pour déterminer tous les tirages possibles. on va distinguer les tirages suivant le nombre de boules rouges qu'ils contiennent. • Tirages avec 2 boules rouges: il suffit de choisir une boule parmi les 3 boules restantes. Il y en a donc trois : {R1, R 2 ,V 1} ; {R1, R 2 , V 2 } ; {R1 , R 2 , B}. • Tirages avec une boule rouge seulement: il faut adjoindre à la boule rouge choisie 2 boules prises parmi les 3 boules restantes. Avec R l on trouve: {R l , V l , V 2 } ; {R l , V 1, B} ; {R 1, V 2 , B} Avec R2, on trouve: {R 2 , V 1, V 2 } ; {R 2 , V 1, B} ; {R 2 , V 2 , B}. • Tirages avec aucune boule rouge: il n'y en a qu'un seul, puisqu'il faut tirer les 3 boules restantes: {V l , V 2 , B} . On peut ainsi écrire la liste des tirages possibles (il y en a dix) : {R1, R 2 ,V 1} ; {R1, R 2 , V 2 } ; {R1 , R 2 , B}. {R l , V l , V 2 } ; {R l , V 1, B} ; {R 1, V 2 , B} {R 2 , V 1, V 2 } ; {R 2 , V 1 , B} ; {R 2 , V 2 , B}. {V l , V 2 , B} 2.a) Soit A l'événement: "deux boules tirées sont rouges". A est formé de 3 éléments: {R 1, R 2, V 1}, {R l, R 2, V 2} et {R 1, R 2, B}. Il y a 10 cas possibles en tout d'après le 1. Comme on fait l'hypothèse que les tirages sont équiprobables : p ( A) = 3 soit Pl =0,3 10 b) Soit B l'événement: "les trois boules tirées sont de couleurs différentes". B est formé de 4 éléments : {R1, V1, B}, {R1, V 2 ,B}, {R2,V l, B}, {R2, V 2, B}. D'où: p ( B ) = 4 soit P2 = 0,4 10 c) Soit C l'événement: "la boule blanche a été tirée". C est formé de 6 éléments : {R l , R2, B}, {R l, V l, B}, {R l, V 2, B}, {R2, V l , B}, {R2, V 2, B} et {V1,V2,B}. 6 D'où: p (C ) = , soit P3=0,6 10 3. a) Pour chacun des 10 tirages, calculons la somme des nombres inscrits sur chaque boule tirée, sachant qu'il y a 1 sur R1 et R2 ; 2 sur V 1 et V 2 et 3 sur B. Pour {R l , R 2, V l}: X = 1+1+2 = 4. Pour {R l , R 2 , V 2}: X = 1+1+2 = 4. Pour {R l, R 2 , B}: X = 1+1+3 = 5. Pour { R l , V1 , V2}: X = 1+2+2 = 5. X = 1+2+3 = 6. Pour {R l , V l , B }: Pour {R 1 ,V2 , B}: X = 1+2+3 = 6. Pour {R2 , V l , V 2 } : X = 1 + 2 + 2 = 5. Pour {R 2 , V l , B} : X = 1 + 2 + 3 = 6. Pour {R2 , V 2 , B} : X = 1 +2 +3 = 6. Pour {V 1, V 2, B} : X = 2 +2 + 3 = 7. L'ensemble des valeurs prises par X est X = {4 ; 5 ; 6 ;7} 2 b) p(X = 4 )= p ( {R l ,R 2 ,V1} ) + p({R l ,R 2 ,V2 })= = 0,2 10 p(X = 5) = P({R l , R 2 , B1) + P({R l , V l , V 2 }) + P({R 2 ,V l , V 2 })= 3 = 0,3 10 p(X=6) =P({R l , V l , B}) + p({R1, V p(X = 7 )= p ( {Vl ,V2 ,B} ) = 2 , B1 ) + P({R 2 ,V l , B}) +P({R 2 ,V2 ,B})= 4 =0,4. 10 1 = 0,1 10 On a ainsi déterminé la loi de probabilité de X : k 4 5 6 7 p( X = k ) 0,2 0,3 0,4 0,1 On vérifie que la somme des probabilités p(X = k) est 1. 7 c) L'espérance mathématique de X est égale à : ∑ k p( X = k ) i =4 E(X) = (4 × 0,2) + (5 × 0,3) + (6 × 0,4) + (7 × 0,1) E ( X ) = 5,4 Solution exercice 4 1a- Si le numéro 6 sort le gain est 6-2 =4 € Si le numéro 5 sort , le gain est 2-2 = 0 € Si le numéro 4 sort , le gain est 1-2 = -1 € Si le numéro 1,2 ou 3 sort , le gain est 0-2 = -2 € Donc X = {−2 ; −1 ; 0 ;4} . b- Le dé étant parfaitement équilibré , chaque face a la même probabilité de sortir. p ( X = 4) = p(6) = 1 ; 6 p( X = 0) = p (5) = 1 6 On peut résumer le calcul dans un tableau −2 −1 xi p( X = xi ) ; p( X = −1) = p(4) = 1 ; p( X = −2) = p( 1 ou 2 ou 3 ) = 3 = 1 6 0 4 1 p(4) = 1 p(5) = 1 p(6) = 1 6 6 6 6 2°a- si le gain du joueur est de 4 € , il aura 4+2,5 = 6,5 € à l’issue de la partie si le gain du joueur est de 0 € , il aura 0+2,5 = 2,5 € à l’issue de la partie si le gain du joueur est de -1 € , il aura -1+2,5 = 1,5 € à l’issue de la partie si le gain du joueur est de -2 € , il aura -2+2,5 = 0,5 € à l’issue de la partie S = {0,5 ;1,5 ; 2,5 ;6,5} . p(1;2ou36) = 3°b- Le joueur pourra jouer une deuxième partie si et seulement si la somme restante après la première partie lui permet de payer la mise de 2 € . Ainsi , il ne peut jouer les deux parties que dans le cas où le joueur possède 2,5 € ou 6,5 € . 1 1 1 d’où p = p( X = 0) + p( X = 4) = + = . 6 6 3 3°c- On suppose à présent que le joueur peut jouer une seconde partie , cela signifie qu’il a en poche 2,5 € ou 6,5 € . Si il a 2,5 € en poche 2,5 – 2 = 0,5 ; 2,5− 1 = 1,5 ; 2,5 – 0 = 2,5 ; 2,5 +4 = 6,5 Si il a 6,5 € en poche 6,5 −2 = 4,5 ; 6,5− 1 = 5,5 ; 6,5 – 0 = 6,5 ; 6,5 +4 = 6,5 S ' = { 0,5 ;1,5 ; 2,5 ; 4,5 ; 6,5 ;10,5 } . Exercice 5 1. Déterminer le nombre de tirages possibles. Les trois tirages successifs peuvent être représentés par un arbre : Au total, cet arbre des choix montre qu’il y a 12 résultats possibles, tous équiprobables. 6 2 2.Déterminer les probabilités des événements suivants : A : « le tirage est ( P1; S1;V1 ) ». Il s’agit de l’une des 12 issues. Donc : p ( A) = 1 . 12 B : « le tirage contient S1 ». Il y a 4 cas favorables sur 12. Donc p ( B ) = P1 4 . 12 S1 V1 V2 S2 V1 V2 S3 V1 V2 S1 V1 V2 S2 V1 V2 C : « le tirage contient S1 et V1 ». Il y a seulement 2 cas favorables sur 12 cas possibles. Donc p(C ) = 2 . 12 D : « le tirage ne contient ni S1 ni V1 ». D’après l’arbre, il y a 4 cas favorables. Donc p( D ) = 4 . 12 E : « le tirage contient S1 ou V1 ». On peut dire 4 2 que E = D . Donc p( E ) = 1 − = . 12 3 P2 S3 V1 V2 3. Le candidat connaît seulement les réponses des questions S1 et V1. Donc l’événement F : « le candidat ne sait répondre à aucune question tirée au sort » équivaut à l’événement D. 1 Donc p ( F ) = p ( D) = 3 De même, l’événement G : « le candidat sait répondre à 2 questions tirées au sort sur 3 » équivaut à l’événement C. Donc p(G ) = 2 . 12 TP PROBABILITE TERMINALE STI STLCH 2008 / 2009 Exercice 1-4 points France 2006 Nombre inscrit 1 2 5 10 Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher. Sur chacune Nombre de boules 4 3 2 1 d’elles est inscrit un nombre comme l’indique le tableau ci-contre Un joueur mise 4 euros, tire une boule au hasard et reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule. 1. Le joueur effectue un tirage. On appelle p1 la probabilité pour qu’il perde (c’est à dire qu’il reçoive moins de 4 euros) et p2 la probabilité pour qu’il gagne (c’est à dire qu’il reçoive plus de 4 euros). Calculer p1 et p2 . 2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le « gain » du joueur (positif s’il gagne, négatif s’il perd ).Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?; puis le représenter la loi de probabilité de X dans un tableau. c. Calculer son espérance mathématique E(X). 3. Un jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0. On décide de changer le nombre inscrit sur une seule boule portant le nombre 1. Quel nombre doit-on y inscrire pour que le jeu soit équitable ? Exercice-2- France2007-GO-ELC-ELECTRO : ( 4 points ) Le personnage virtuel d'un jeu électronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher. Le torrent se présente de la manière suivante ( les disques R1, R2, ...., R17, R18 représentent les rochers ) : le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne peut que choisir les trajets matérialisés par des pointillés et avancer uniquement dans le sens des flèches. On appelle " parcours " une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible. Par exemple : A − R1 − R2 − R3 − R6 − R7 − B est un parcours qui nécessite 6 bonds. Toutes probabilité demandée sera donnée sous forme de fraction. 1. Déterminer les six parcours possibles. 2. Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables. a. Quelle est la probabilité p1 de l'événement : " le personnage virtuel passe par le rocher R7 " ? b. Quelle est la probabilité p2 de l'événement : " le personnage virtuel passe par le rocher R14 "? 3. Chaque bond du personnage virtuel nécessite 2 secondes. On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours associe sa durée en secondes. a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 4. Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes ? Exercice 3-STI-ELECT-OPTIQUE 2008-Polynésie- 4 points Un professeur d’une classe de terminale S. T. I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question : l’une juste et l’autre fausse. On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse. On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. À chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d’un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième , on lui associera le résultat (J, F, F). I Déterminer à l’aide d’un arbre l’ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ? II On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d’elles. Le professeur fait l’hypothèse d’équiprobabilité des résultats. 1. Démontrer que la probabilité de l’évènement A « le résultat contient exactement une réponse juste » est égale à 3 8 2. Déterminer la probabilité de l’évènement B « le résultat contient au moins une réponse juste. » 3. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 point pour une réponse fausse. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l’élève. a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? b. Donner la loi de probabilité de X. c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de X. 4. Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une réponse fausse. Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est 0. On appelle Y la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l’élève. Calculer l’espérance mathématique E(Y ) de Y . Exercice 4-Baccalauréat STI Polynésie juin 2008 –Génie mécanique, énergétique, civil Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3 ", puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s’immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire ; la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l’angle au centre de ce secteur. Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit : – le secteur 1mesure 150° et indique la somme 0 " : le joueur ne reçoit rien; – le secteur 2 mesure 100°et affiche 3 € ; – le secteur 3mesure 50° et affiche 4 € ; – le secteur 4mesure 35° et affiche 6 € ; – le secteur 5mesure 15°et affiche 10 € ? ; – le secteur 6, qui et le dernier, mesure 10° et affiche 15 € . On appelle « gain » du joueur la somme, positive ou négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3 €. Ainsi, par exemple le gain correspondant au secteur 5 est égal à 7 €. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable X. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir un gain d’au moins 3 " ? 3. a. Calculer l’espérance mathématique de la variable X. b. Le jeu est-il équitable ? 4. Dans cette question, les cinq premiers secteurs sont inchangés, mais le sixième affiche une somme de a € où a est un nombre réel positif. On note encore X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. a. Calculer l’espérance mathématique de la variable X en fonction du réel a. b. Déterminer la valeur de a pour que cette espérance soit nulle. Exercice 5 GM BCDE- France 2007-5 points Onze chansons différentes sont enregistrées sur un CD. La durée de chacune d’elles étant inscrite sur la pochette du CD, on a le tableau suivant : Numéro de la chanson 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Durée en secondes 200 185 150 200 185 215 230 215 200 230 300 Un lecteur de CD sélectionne au hasard une des onze chansons et une seule ; toutes les chansons ont la même probabilité d’être sélectionnées. Les résultats seront donnés sous forme de fractions. 1. Quelle est la probabilité que la chanson no7 soit sélectionnée ? 2. a. Déterminer la probabilité de l’évènement A : « la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes ». b. Déterminer la probabilité de l’évènement B : « la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes ». c. Soit B l’évènement contraire de B. Décrire B par une phrase, puis déterminer sa probabilité. 3. On note X la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes a. Déterminer les différentes valeurs prises par X. b. Établir sous forme d’un tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat. Exercice 6 –STLCH-2007-6 points Une urne contient quatre boules, indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4.Une expérience aléatoire se déroule de la manière suivante : On tire au hasard une première boule de l’urne et on note son numéro. Après avoir remis cette boule dans l’urne, on en tire au hasard une seconde dont on note aussi le numéro. À l’issue de cette expérience, on obtient un couple de nombres (on rappelle que, par exemple, le couple (2 ; 3) est différent du couple (3 ; 2)). 1. À l’aide d’un arbre ou d’un tableau, établir la liste des 16 couples possibles. 2. Dans cette question, on donnera les probabilités sous la forme de fractions de dénominateur 16. a. On note A l’évènement « obtenir un couple de nombres pairs ». Montrer que la probabilité de l’évènement A est 16. b. On note B l’évènement « obtenir un couple de nombres impairs ». Calculer la probabilité de l’événement B. c. On note C l’évènement « obtenir un couple de nombres de parité différente ». Calculer la probabilité de l’évènement C. 3. On organise un jeu. Un joueur mise 2 euros et réalise ensuite l’expérience aléatoire décrite ci-dessus. − Si l’évènement A est réalisé, le joueur reçoit 8 euros de l’organisateur du jeu ; − Si l’évènement B est réalisé, le joueur reçoit 4 euros de l’organisateur du jeu ; − Si l’évènement C est réalisé, le joueur donne 4 euros à l’organisateur du jeu. On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur. Par exemple, s’il obtient le couple (2 ; 2), son gain est 6 euros. a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. d. On dit qu’un jeu est équitable lorsque l’espérance de gain est nulle. Quelle aurait du être la mise du joueur pour que le jeu soit équitable ? Exercice7 –la réunion-2008- 4 points Un hôtel de vacances propose deux types de bungalow (bungalow avec kitchenette ou bungalow sans kitchenette) à louer à la semaine. Pour les clients qui le souhaitent, l’hôtel propose deux formules de restauration au choix : • Formule A : petit déjeuner seul, • Formule B : petit déjeuner et dîner. Pour chaque semaine de location, chaque client décide s’il prend une formule de restauration et si oui, choisit entre les formules A et B. Le gestionnaire de l’hôtel a constaté que sur 100 clients • 44 clients ne prennent aucune formule de restauration. • 60 clients optent pour un bungalow avec kitchenette et parmi ceux-ci, 10 % choisissent la formule B et 20 % la formule A. • 35 % des clients ayant choisi un bungalow sans kitchenette prennent la formule A. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de clients ayant choisi Bungalow avec kitchenette Bungalow sans kitchenette Total Formule A Formule B 6 Aucune formule de restauration Total 2. On interroge un client au hasard, au sujet de ses choix, 2 100 a. Déterminer la probabilité de l’évènement E : « Le client a choisi la formule B ». b. Déterminer la probabilité de l’évènement F : « Le client a loué un bungalow sans kitchenette ». c. Déterminer la probabilité de l’évènement G : «Le client a loué un bungalow sans kitchenette ou a choisi la formule B». d. Déterminer la probabilité de l’évènement H : « Le client a choisi une formule de restauration ». 3. La location d’un bungalow sans kitchenette à la semaine coûte 415 € et celle d’un bungalow avec kitchenette 520 € La formule A coûte 49 € à la semaine. La formule B coûte 154 € à la semaine. On appelle X la variable aléatoire qui à chacun des 6 choix possibles, associe le coût correspondant pour une semaine. a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ? b. Démontrer que la probabilité de l’évènement « X prend la valeur 520 » est égale à 0,42. c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X. d. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. e. Pour la prochaine saison, le gérant de l’hôtel pense qu’il louera dans les mêmes conditions 16 bungalows pendant 20 semaines. Quelle recette peut-il alors espérer ? EXERCICE 8 4 points France 2007 BCDE Une entreprise fabrique des plaquettes de métal. Pour cela elle utilise deux machines, une qui les ajuste en longueur et une autre qui les ajuste en largeur. Les machines sont programmées pour donner des plaquettes de 2,5 cm sur 1,5 cm. Des erreurs de manipulation peuvent conduire à des dimensions non conformes : une longueur de 2,6 cm au lieu de 2,5 cm; une largeur de 1,6 cm au lieu de 1,5 cm. Afin de vérifier la conformité de ces plaquettes, on procède à deux tests : un test sur la longueur et un test sur la largeur. On effectue les deux tests sur 100 plaquettes et on obtient : • 20 plaquettes ont une longueur de 2,6 cm ; • 18 plaquettes ont une largeur de 1,6 cm; • 5 plaquettes ont une dimension de 2,6 cm sur 1,6 cm. On prélève au hasard une plaquette parmi les 100. Elles ont donc toutes la même probabilité d’être choisies. 1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant : Largeur conforme 1,5 Largeur non conforme 1,6 Total Longueur conforme 2,5 Longueur non conforme 2,6 5 20 total 100 2. a. Quelle est la probabilité qu’une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l’entreprise ? b. Quelle est la probabilité qu’une plaquette prélevée au hasard ait exactement une de ses dimensions non conforme ? 3. Soit X la variable aléatoire qui à chaque plaquette prélevée au hasard associe le nombre de ses dimensions non conformes. a. Donner les valeurs possibles de X. b. Donner la loi de probabilité de X. correction Exercice 1 1. Le joueur va perdre si il tire une boule avec un numéro 1 ou un numéro 2 . Or il y a 4 boules numérotées 1 et 3 boules numérotées 2 . Donc p1 = p ( B1 ∪ B2 ) = p ( B1 ) + p ( B2 ) = 4 3 7 + = 10 10 10 De même , il gagne si il tire une avec un numéro 5 ou un numéro 10 , donc p1 = p ( B5 ∪ B10 ) = p ( B5 ) + p ( B10 ) = 2 1 3 + = .Les événements Bi sont disjoints . 10 10 10 2. Soit X la variable aléatoire qui , à chaque tirage , fait correspondre le « gain » du joueur ( positif s’il gagne , négatif s’il perd ). a) Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont : Boule n°1 : X = −4 + 1 = −3 Boule n°2 : X = −4 + 2 = −2 Boule n°5 : X = −4 + 5 = 1 Boule n°10 : X = −4 + 10 = 6 .Donc X prend les valeurs : −3 , −2 , 1 et 6 . b) xi −3 −2 1 6 p( X = xi ) c) E ( X ) = 4 2 = 10 5 4 ∑x p i i 1 3 10 2 1 = 10 5 1 10 2 3 1 1 −12 − 6 + 2 + 6 −10 = −3 × − 2 × + + 6 × = = = −1 . Le jeu n’est pas équitable 5 10 5 10 10 10 3. On change le nombre inscrit sur une boule numéro 1cela signifie qu’il a 3 boule 1 et une boule x xi −4 + x −3 −2 1 6 p( X = xi ) 1 10 4 2 = 10 5 3 10 2 1 = 10 5 1 10 Calculons E ( X ) : E ( X ) = 1 3 3 1 1 −4 + x − 9 − 6 + 2 + 6 x − 11 = ∑ x p = ( −4 + x ) × 10 − 3 × 10 − 2 × 10 + 5 + 6 × 10 = 10 10 4 i i 1 Or E ( X ) = 0 , puisque on veut que le jeu soit équitable , donc x = 11 . Si on veut que le jeu soit équitable , il faut remplacer une boule 1 par une boule 11 . Exercice 2 : ( correction ) 1. Les six parcours possibles sont : A − R1 − R2 − R3 − R6 − R7 − B ( 6 bonds ) A − R1 − R2 − R4 − R6 − R7 − B ( 6 bonds ) ; A − R1 − R2 − R5 − R4 − R6 − R7 − B ( 7 bonds ) ; A − R8 − R9 − R14 − R16 − R17 − R18 − B ( 7 bonds ) A − R8 − R10 − R12 − R14 − R16 − R17 − R18 − B ( 8 bonds ) ; A − R8 − R11 − R13 − R15 − R17 − R18 − B ( 7 bonds ) 2. Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables. a) p1 : probabilité de l’événement « le personnage virtuel passe par le rocher R7 » 3 6 il y a trois chemins sur six qui passent par R7 donc p1 = = 1 2 b) p2 : probabilité de l’événement « le personnage virtuel passe par le rocher R14 » il y a deux chemins sur six qui passent par R14 donc p2 = 2 1 = 6 3 3. On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours associe sa durée en secondes. a. A − R1 − R2 − R3 − R6 − R7 − B ( 6 bonds ) ⇒ 12s ; A − R1 − R2 − R4 − R6 − R7 − B ( 6 bonds ) ⇒ 12s A − R1 − R2 − R5 − R4 − R6 − R7 − B ( 7 bonds ) ⇒ 14s ; A − R8 − R9 − R14 − R16 − R17 − R18 − B ( 7 bonds ) ⇒ 14s A − R8 − R10 − R12 − R14 − R16 − R17 − R18 − B ( 8 bonds ) ⇒ 16s ; A − R8 − R11 − R13 − R15 − R17 − R18 − B ( 7 bonds ) ⇒ 16s ; X prends les valeurs 12, 14 et 16 secondes . b) xi p( X = xi ) 12 14 16 2 1 3 1 1 = = 6 3 6 2 6 1 1 1 24 + 42 + 16 82 41 = = ≃ 13, 67 c). E ( X ) = 12 × + 14 × + 16 × = 3 2 6 6 6 3 4. Soit d la durée d'un bond du personnage virtuel pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes on a : 6d 7d 8d xi 1 1 1 12d + 21d + 8d 41 E ( X ) = 6d × + 7d × + 8d × = = d . 3 1 1 p( X = xi ) 2 1 3 2 6 6 6 = = 41 60 6 3 6 2 6 E ( X ) = 10 ⇔ d = 10 ⇔ d = ≃ 1, 46S 6 41 La durée d’un bond du personnage virtuel devrait être 1,46 secondes pour que la durée moyenne d’un Parcours soit égale à 10 secondes Exercice 3 1. Arbre représentant l’ensemble de tous les cas possibles Il y a huit cas possibles II 1. l’événement A « le résultat contient exactement une réponse juste » Correspond au triplet : ( J , F , F ) ou ( F , J , F ) ou ( F , F , J ) Le professeur fait l’hypothèse d’équiprobabilité des résultats Donc p ( J ) = p ( F ) = 1 2 J 1 1 1 1 et p ( J , F , F ) = p ( F , J , F ) = p ( F , F , J ) = × × = 2 2 2 8 3 Or p ( A ) = p ( J , F , F ) + p ( F , J , F ) + p ( F , F , J ) = 8 F J J F J F J F J F F F J 2. l’événement B « le résultat contient au moins une réponse juste » est l’événement contraire de l’événement « le résultat contient aucune réponse juste » soit de l’événement « les trois réponses sont fausses » 1 1 1 1 1 7 p ( F , F , F ) = × × = Donc p ( B ) = 1 − = 2 2 2 8 8 8 3. X peut prendre les valeurs suivantes : 3 : 3 réponses justes ; 2 : 2 réponses et 1 une réponse fausse ; Une seule réponse juste et 2 réponses fausses 0 réponse juste et trois réponse fausses ; Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont : 0 ; 1 ; 2 et 3 b) xi 0 1 2 3 p( X = xi ) 1 3 3 1 8 8 8 8 1 3 3 1 3 + 6 + 3 12 3 = = = 1,5 c) E ( X ) = 0 × + 1× + 2 × + 3 × = 8 8 8 8 8 8 2 4. Y peut prendre les valeurs suivantes : yi 3 : 3 réponses justes ; p(Y = yi ) 2 − 0, 25 = 1, 75 : 2 réponses et 1 une réponse fausse ; 1 − 2 × 0, 25 = 0,5 : Une seule réponse juste et 2 réponses fausses 0 : car −3 × 0, 25 = −0, 75 : 0 réponse juste et trois réponse fausses . Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont : 0 ; 0,5 ; 1,75 et 3 0 0,5 1, 75 3 1 8 3 8 3 8 1 8 Loi de probabilité 1 3 3 1 1,5 + 5, 25 + 3 9, 75 E ( X ) = 0 × + 0,5 × + 1, 75 × + 3 × = = = 1, 21875 8 8 8 8 8 8 Exercice 4 1. Si la roue s’arrête sur le secteur 1 , le gain du joueur est : 0 − 3 = −3 Si la roue s’arrête sur le secteur 2 , le gain du joueur est : 3 − 3 = 0 Si la roue s’arrête sur le secteur 3 , le gain du joueur est : 4 − 3 = 1 Si la roue s’arrête sur le secteur 4 , le gain du joueur est : 6 − 3 = 3 Si la roue s’arrête sur le secteur 5 , le gain du joueur est : 10 − 3 = 7 Si la roue s’arrête sur le secteur 6 , le gain du joueur est : 15 − 3 = 12 La variable aléatoire X peut donc prendre les valeurs : −3 ; 0 ;1; 3 ;7 ;12 La probabilité que le repère indique un secteur donné est proportionnelle à l’angle au centre de ce secteur 150 5 = Donc par exemple pour le secteur correspondant à 150° , on a une probabilité de puisque l’angle 360 12 au centre décrivant la roue en entière est de 360° 150 5 100 5 50 5 35 7 p ( X = −3) = = = p ( X = 1) = = = ; p ( X = 0) = ; ; p ( X = 3) = ; 360 12 360 18 360 36 360 72 15 1 10 1 p ( X = 7) = = p ( X = 12 ) = = ; −3 3 7 0 1 12 gi 360 24 360 36 p( X = gi ) 5 12 5 18 5 36 7 72 1 24 1 36 Loi de probabilité de la variable aléatoire X p ( X ≥ 3) = p ( X = 3) + p ( X = 7 ) + p ( X = 12 ) 2. 7 1 1 1 = + + = 72 24 36 6 La probabilité d’obtenir un gain d’au moins 3 euros est égale à 5 12 1 6 5 18 5 36 7 72 1 24 1 36 5 17 7 4 36 12 3. Espérance mathématique de la variable X : E(X) =−3× + 0× +1× +3× + 7× +12× =− + + =− b) on a E ( X ) < 0 donc le jeu n’est pas équitable sinon on aurait E ( X ) = 0 7 36 4. Si la roue s’arrête sur le secteur 1 , le gain du joueur est : 0 − 3 = −3 Si la roue s’arrête sur le secteur 2 , le gain du joueur est : 3 − 3 = 0 Si la roue s’arrête sur le secteur 3 , le gain du joueur est : 4 − 3 = 1 Si la roue s’arrête sur le secteur 4 , le gain du joueur est : 6 − 3 = 3 Si la roue s’arrête sur le secteur 5 , le gain du joueur est : 10 − 3 = 7 Si la roue s’arrête sur le secteur 6 , le gain du joueur est : a − 3 La variable aléatoire X peut donc prendre les valeurs : −3 ; 0 ;1; 3 ;7 ; a − 3 150 5 100 5 50 5 35 7 p ( X = −3) = = = p ( X = 1) = = = ; p ( X = 0) = ; ; p ( X = 3) = ; 360 12 360 18 360 36 360 72 15 1 10 1 p ( X = 7) = = p ( X = a − 3) = = ; −3 0 1 3 7 a −3 gi 360 24 360 36 Espérance mathématique de la variable X : 5 5 7 1 1 p( X = gi ) 5 12 18 36 72 24 36 5 5 5 7 1 1 E ( X ) = −3 × + 0 × + 1 × + 3 × + 7 × + ( a − 3 ) × 12 18 36 72 24 36 5 5 1 a 45 5 18 a 22 a E( X ) = − + + + =− + + + =− + 4 36 2 36 36 36 36 36 36 36 a − 22 E( X ) = 36 b) E ( X ) = 0 ⇔ a − 22 = 0 ⇔ a − 22 = 0 ⇔ a = 22 36 Pour que l’espérance soit nulle, c’est-à-dire pour que le jeu soit équitable il faut le secteur 6 affiche 22 euros Exercice 5 1.Toutes les chansons ont la même probabilité d’être sélectionnées et il y a 11 chansons donc la probabilité que la chanson n°7 soit sélectionnée est p = 1 11 2. A est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée de 200 secondes » 3 11 b) B est l’événement « la chanson sélectionnée a une durée supérieure à 210 secondes » Il y a 3 chansons parmi les 11 qui ont une durée de 200 secondes , donc p ( A) = Il y a 5 chansons parmi les 11 qui ont une durée supérieure à 210 secondes , donc p ( B ) = 5 . 11 c) B est l’événement « la chansons sélectionnée a une durée inférieure à 210 secondes » 5 7 p B = 1− p ( B) = 1− = 11 11 3. X est la variable aléatoire qui à chaque chanson sélectionnée associe sa durée exprimée en secondes a ) Les différentes valeurs prises par X sont : 150 ; 185 ; 200 ; 215 ; 230 ; 300 ( ) b) Il y a une chanson de durée 150 s , donc p ( X = 150 ) = 1 11 150 185 200 215 230 2 , etc…… ………………. 11 300 1 11 2 11 3 11 2 11 2 11 1 11 Il y a deux chansons de durée 185 s , donc p ( X = 185) = xi p( X = xi ) 1 11 2 11 3 11 2 11 2 11 1 2310 = 210 . 11 11 c) E(X ) =150× +185× + 200× + 215× + 230× + 300× = En moyenne la durée d’une chanson est de 210 seconde . Exercice 6 1. 2. a) On note A l’événement « obtenir un couple de nombres pairs » On cherche dans le tableau les couples de nombres pairs : {(2 ; 2),(2 ; 4),(4 ; 2),(4 ; 4)} Il y a donc 4 couples favorables sur les 16 2ième tirage couples disponibles et on a donc 1èr tirage 1 2 1 (1;1) (2 ;1) (3 ;1) (4 ;1) 2 (1; 2) (2 ; 2) (3 ; 2) (4 ; 2) 3 (1; 3) (2 ; 3) (3 ; 3) (4 ; 3) b) On note B l’événement « obtenir un 4 (1; 4) (2 ; 4) (3 ; 4) couple de nombres impairs » On cherche dans le tableau les couples de nombres pairs : {(1;1), (1; 3), (3 ;1), (3 ; 3)} (4 ; 4) 4 1 p ( A) = = 16 4 Il y a donc 4 couples favorables sur les 16 couples disponibles et on a donc p ( B ) = 3 4 4 1 = 16 4 c) On note C l’événement « obtenir un couple de nombres de parité différente » l’événement « obtenir un couple de nombres de parité différente » est l’événement contraire de D={ « obtenir un couple de nombres pairs » et « obtenir un couple de nombres impairs »} 8 1 Donc p( D) = p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) = = , puisque les événements A et B sont disjoints 16 2 1 1 Donc p(C ) = 1 − p( D) = 1 − = 2 2 3. a) événement A : X = 8 − 2 = 6 ; événement B : X = 4 − 2 = 2 ; événement C : X = −4 − 2 = −6 La variable aléatoire X peut prendre les valeurs suivantes : 6 ; 2 ; − 6 b) X = xi p( X = xi ) −6 p(C ) = 6 2 1 2 p ( B) = 1 4 p ( A) = 1 4 1 1 1 1 3 c) E(X) =−6× + 2× + 6× =−3+ + =−1 2 4 4 2 2 d) Le jeu n’est pas équitable puisque en moyenne on perd 1€ Soit G ' = m − G ; E ( G ') = E ( m − G ) = m − E ( G ) = m − 1 , soit E ( G ') = 0 ⇔ m = 1 il faudrait que la mise soit un 1 euro moins chère , donc une mise de 1euros ( 2 − 1 = 1 € ) pour que l’espérance soit égale à 0. AUTRE METHODE −4 − m 4−m 8−m X = xi p( X = xi ) p(C ) = 1 2 p ( B) = 1 4 p ( A) = 1 4 1 1 1 + ( 4 − m ) × + ( 8 − m ) × = m − 1 . E (G ') = 0 équivaut à m − 1 = 0 soit m = 1 €. 2 4 4 Pour que le jeu soit équitable il faut une mise de 1€ . E (G ') = ( −4 − m ) × Exercice 7 1. Nombre de clients ayant choisi Bungalow avec kitchenette Bungalow sans kitchenette Formule A 12 14 26 Formule B 6 24 30 Aucune formule de restauration 42 2 44 Total 60 40 100 2. a) Il y a 30 clients qui ont choisit la formule B parmi les 100 clients p ( E ) = Total 30 = 0,3 100 40 = 0, 4 100 c) Il y a 40 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette et qui ont la formule B parmi les 100 clients 24 p(E ∩ F ) = = 0, 24 100 L’événement G : « le client a loué un bungalow sans kitchenette ou a choisit la formule B » est L’événement E ∪ F on a : p ( E ∪ F ) = p ( E ) + p ( F ) − p ( E ∩ F ) = 0,3 + 0, 4 − 0, 24 = 0, 46 d) Il y a 26 clients qui ont choisit la formule A et 30 clients qui ont choisit la formule B, il y a donc 56 = 0,56 56 clients qui ont choisit une formule de restauration parmi les 100 clients p ( H ) = 100 3. Choix possibles et coûts correspondants : Bungalow avec kitchenette + Formule A : 520 + 49 = 569 ; Bungalow avec kitchenette + Formule B : 520 + 154 = 674 ; Bungalow avec kitchenette + Aucune formule de restauration : 520 + 0 = 520 Bungalow sans kitchenette + Formule A : 415 + 49 = 464 ; Bungalow sans kitchenette + Formule B : 415 + 154 = 569 ; Bungalow sans kitchenette + Aucune formule de restauration : 415 + 0 = 415 La variable aléatoire X peut donc prendre les valeurs : 415 ; 464 ; 520 ; 569 et 674 . b) Il y a 42 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui n’ont choisit aucune formule de 42 = 0, 42 restauration parmi les 100 clients . Donc p ( X = 520 ) = 100 c) Il y a 2 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette et qui n’ont choisit aucune formule de 2 = 0, 02 restauration parmi les 100 clients . Donc p ( X = 415) = 100 Il y a 14 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette et qui ont choisit la formule A parmi les 100 14 = 0,14 clients . Donc p ( X = 464 ) = 100 Il y a 12 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui ont choisit la formule A parmi les 100 clients et Il y a 24 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui ont choisit la formule B 12 + 24 = 0,36 . parmi les 100 clients Donc p ( X = 569 ) = 100 Il y a 6 clients qui ont loué un bungalow avec kitchenette et qui ont choisit la formule B parmi les 100 6 = 0, 06 . Clients p ( X = 674 ) = 100 Loi de probabilité de X b) Il y a 40 clients qui ont loué un bungalow sans kitchenette parmi les 100 clients p ( F ) = xi 415 464 520 569 674 p( X = xi ) 0, 02 0,14 0, 42 0,36 0, 06 d) Espérance mathématique E ( X ) : E ( X ) = 415 × 0, 02 + 464 × 0,14 + 520 × 0, 42 + 569 × 0,36 + 674 × 0, 06 = 536,94 e) E ( X ) = 536,94 ce qui signifie que le coût moyen pour un bungalow pendant une semaine est de 536,94 € . On a : 16 × 536,94 × 20 = 171820,80 Donc pour 16 bungalows pendant 20 semaines , la recette que peut espérer le gérant de l’hôtel sera 171820,80 € . Exercice 8 1. Longueur conforme 2,5 Longueur non conforme 2,6 total Largeur conforme 1,5 67 15 82 Largeur non conforme 1,6 13 5 18 Total 80 20 100 2.a) D’après le tableau il y a 67 plaquettes sur 100 qui ont une largeur et une longueur conforme Donc la probabilité qu’une plaquette prélevée au hasard soit conforme à ce que veut l’entreprise 67 = 0, 67 Vaut p ( A) = 100 b) Il y a 15 plaquettes sur 100 qui ont leur largeur conforme mais pas la longueur Il y a 13 plaquettes sur 100 qui ont leur longueur conforme mais pas la largeur Soit au total 28 plaquette sur 100 qui ont exactement une de leurs dimensions non conforme 28 = 0, 28 La probabilité cherchée vaut p ( B ) = 100 3. Chaque plaquette a deux dimensions donc X peut prendre comme valeurs 0 ; 1 ou 2 0 1 2 xi p( X = xi ) 0, 67 0, 28 0, 05 TP TERMSTI-STL PROBABILITES 2008-2009 Exercice 1 5 points Dans une usine, deux chaînes de montage A et B fabriquent les mêmes types d’objets. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B. 7 % de la production de la chaîne A est défectueuse contre 2 % pour la chaîne B. Partie I 1. On considère une production de 1200 objets. Reproduire et compléter le tableau suivant : chaîne A chaîne B Total Nombre d’objets défectueux 63 6 69 Nombre d’objets non défectueux 837 294 1131 Total 900 300 1200 2. On prélève au hasard un objet dans la production de l’usine et on admet que les tirages sont équiprobables. a. Déterminer la probabilité que l’objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne A. b. Déterminer la probabilité que l’objet prélevé ne soit pas défectueux. Partie II Un objet défectueux peut présenter 1, 2 ou 3 défauts. Soit X la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de défauts. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant : 0 1 2 3 x p( X = x ) 0,9425 0, 0318 ………… 0, 006 1. Reproduire sur la copie puis compléter le tableau précédent. 2. Le prix de vente d’un objet dépend du nombre de défauts qu’il présente : nombre de défauts 0 1 2 3 prix de vente en 56 15 10 1 Soit Y la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, fait correspondre son prix de vente. a. Déterminer la loi de probabilité de Y . b. Calculer l’espérance mathématique de Y . Interpréter le résultat obtenu. Exercice 2 (4 points) Un client d’un supermarché reçoit lors de son passage en caisse un ticket d’un jeu de grattage. Ce ticket comporte trois cases à gratter. Pour la première case, deux résultats sont possibles 1 ou 2, pour la deuxième et la troisième case, trois résultats sont possibles 1, 2 ou 3. Le client gratte les trois cases de son ticket. 1. Préciser le nombre de résultats possibles. On considère les événements suivants : A : « avoir trois chiffres identiques » B : « avoir au moins une fois un 2 » 2. Déterminer la probabilité de A, notée p(A) et celle de B notée p(B). 3. Déterminer p( A ∩ B) puis démontrer que p( A ∪ B) = 5 . 6 4. Le client reçoit 5 € lorsqu’il obtient trois chiffres identiques, 2 € lorsqu’il obtient exactement 2 chiffres identiques et 0 € dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire qui prend comme valeurs les gains précédents a)Déterminer la loi de probabilité de X. b)Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Exercice 3 (6 points) Un cube de bois de 3 cm est peint puis débité, parallèlement aux faces, en cubes de 1 cm d’arête. On place les petits cubes dans un sac. 1.a) Combien de petits cubes a-t-on placé dans le sac ? b)Combien y en- a- t- il ayant zéro face peinte, une face peinte, deux faces peintes, trois faces peintes ? 2.On tire au hasard un cube du sac. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de faces peintes obtenues. Donner la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique E(X), la variance V(X) puis l’écart- type σ ( X ) . Exercice 4 Une entreprise fabriquant des ordinateurs les vend en ligne sur Internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement Le fabriquant propose en option une extension de garantie payante de deux ans , au delà de cette première année gratuite. 1. Une étude est faite sur un échantillon de 1000 ordinateurs vendus par ce fabricant . Elle montre que : • 10 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations au cours de la deuxième année ( On note ce cas R2 ) ; • Au cours de la troisième année, 20 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations ( on note ce cas R3 ) dont un qui avait déjà été réparé l’année précédente . Recopier et compléter le tableau suivant : On admet que la réparation Nombre d’ordinateur Total R3 se produit R3 ne se produit pas précédente modélise ce qui se produit pour l’ensemble des R2 se produit ordinateurs vendus par ce fabricant R3 ne se produit pas 2. Selon le fabricant : • Pour chaque ordinateur vendu Total 1000 sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la deuxième année , le coût moyen de réparation pour l’acheteur au cours de cette deuxième année est 150 € • Pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la troisième année , le coût moyen de réparation pour l’acheteur au cours de cette deuxième année est 200 € On note X la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par ce fabricant, associe le coût total moyen des réparations, pour l’acheteur, au terme des trois premières années . ces coût est exprimé en euros . Les valeurs prises par la variable aléatoire X sont donc : 0 ;150 ; 200 ; 350 a) Justifier que la probabilité de l’événement ( X = 0 ) est égale à 0,971 b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X c) Calculer l’espérance mathématique E ( X ) de la variable aléatoire X 3. Le fabricant propose l’extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50 €. Que peut-on en dire ? Exercice 1 Partie I 1. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B donc la chaîne A fabrique 3 de la production 4 1 soit 300 objets 4 7 = 63 objets défectueux 7 % de la production de la chaîne A est défectueuse soit 900 × 100 totale soit 900 objets et la chaîne B en fabrique 2 % de la production de la chaîne B est défectueux soit 300 × On peut donc ainsi compléter tableau d’effectifs chaîne A 2 = 6 objets défectueux 100 chaîne B Total nombre d’objets défectueux 63 6 69 nombre d’objets non défectueux 837 294 1131 Total 900 300 1200 2. Loi de probabilité de X a. Il y a 63 objets qui sont à la fois défectueux et produit par la chaîne A parmi 1200 objets , donc L’objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne correspond à A ∩ B , donc 63 21 p( A ∩ B ) = = = 0, 0525 1200 400 b. Soit D l’objet prélevé est défectueux , D l’objet prélevé ne soit pas défectueux 1131 377 il y a 1131 objets non défectueux parmi les 1200 objets .Donc p ( D ) = = = 0,9425 1200 400 Partie II p( X = 2) = 1 − p( X = 0) − p( X = 1) − p( X = 3) , soit p( X = 2) = 0, 0197 1. Loi de probabilité de X est donné par le tableau suivant : 0 1 2 3 xi p( X = xi ) 0, 9425 0, 0318 0, 006 0,0197 2. Loi de probabilité de Y Y est la variable aléatoire qui , à un objet prélevé au hasard tout dans la production , fait correspondre Son prix de vente donc Y peut prendre les valeurs : 56 15 10 et 1 p(Y = 56) = p( X = 0) = 0,9425 . p(Y = 15) = p( X = 1) = 0, 0318 p(Y = 10) = p( X = 2) = 0, 0197 p(Y = 1) = p( X = 3) = 0, 006 a. nombre de défauts xi 0 1 2 3 prix de vente en euros yi 56 15 10 1 p(Y = yi ) 0, 9425 0, 0318 0,0197 0, 006 b. E (Y ) = 3 ∑ yi p(Y = yi ) = 1× 0, 006 + 10 × 0, 0197 + 15 × 0, 0318 + 56 × 0,9425 = 53, 46 i =0 ce qui signifie qu’en moyenne un objet est vendu 53, 46 €. Exercice 2 Préciser le nombre de résultats possibles 1°L’arbre ci-contre montre qu’il y a 18 possibilités … a)Calcul des probabilités de A et de B. On peut remarquer que, dans l’arbre, il n’y a que 2 possibilités que les 3 chiffres soient identiques (1,1,1) 1 2 3 1 1 2 2 3 1 3 2 3 1 ou (2,2,2). Donc 1 9 1 2 3 En examinant les 18 possibilités, on observe qu’il y en a 4 qui ne 1 comportent aucun chiffre 2. On en déduit qu’il y a 2 2 2 3 14 cas où il y a au moins une fois le chiffre 2. 1 14 3 2 . L’événement A ∩ B peut se traduire Donc 3 18 par : « avoir 3 chiffres identiques dont au moins une fois un deux ». Autrement dit A∩B signifie : « avoir trois 2 ». Cet événement ne comporte qu’un seul cas. Donc 1 . 18 1 On sait que, quels que soient les événements A et B : p( A ∪ B) =p(A)+p(B)−p(A∩B) On en déduit : p( A ∪ B) = 1 14 1 2 14 1 15 5 + − = + − = . Après simplification, on a bien : p( A ∪ B) = . 9 18 18 18 18 18 18 6 3.a)Déterminer la loi de probabilité de X. 1 . (cf événement A) .En observant l’arbre des 9 possibilités, on voit qu’il n’y a que 4 cas où les 3 chiffres sont différents : (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1). Il y a donc 14 cas où il y a au moins 2 chiffres identiques sur les 3. Si on enlève les 2 cas où les 3 chiffres sont identiques, on peut dire qu’il y a 12 cas où exactement 2 chiffres sont identiques. En résumé : Nous savons déjà que la probabilité d’obtenir 3 chiffres identiques est il y a 2 cas où les 3 chiffres sont identiques, (le joueur gagne 5 €). Donc p(X=5)= il y a 12 cas où exactement 2 chiffres sont identiques Donc p(X=2)= 1 . 9 (le joueur gagne 2 €). 2 . 3 xi 2 il y a donc 4 autres cas (le joueur gagne 0 €). Donc p(X=0)= . 9 p( X = xi ) On en déduit le tableau : xi 0 2 5 pi 2 9 2 3 1 9 2 6 1 17 E( X ) = × 0 + × 2 + × 5 = . 9 9 9 9 Calcul de l’espérance de X. On a : Exercice 3. 1.a)Le nombre de cubes est 27 car 3×3×3=27. b)Il n’y a qu’un seul cube n’ayant aucune face peinte (celui qui est situé au milieu du grand cube) Il y a 6 faces, donc 6 cubes n’ayant qu’une seule face peinte. Il y a 12 arêtes, donc 12 cubes ayant 2 faces peintes. Il y a 8 sommets, donc 8 cubes ayant 3 faces peintes. 2. La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3. Sa loi de probabilité résulte du dénombrement effectué à la question précédente : xi p( X = xi ) 0 1 2 3 1 27 2 9 4 9 8 27 L’espérance mathématique de X est donnée par la formule : Donc : E( X ) = 0 × 1 6 12 8 0 + 6 + 24 + 24 + 1× + 2 × + 3 × = =2 . 27 27 27 27 27 Pour le calcul de la variance, on peut utiliser la formule : 1 6 12 8 0 + 6 + 48 + 72 18 2 + 12 × + 22 × + 32 × − 22 = −4= = 27 27 27 27 27 27 3 2 6 On en déduit l’écart type : σ ( X ) = V ( X ) = = . 3 3 Donc V ( X ) = 02 × Exercice 4- corrigé 1. Nombre d’ordinateur Total R2 se produit R3 ne se produit pas R2 se produit 1 9 10 R3 ne se produit pas 19 971 990 Total 20 980 1000 2. a) l’événement ( X = 0 ) correspond à l’événement « R2 ne se produit pas et R3 ne se produit pas » 971 = 0,971 1000 b) L’événement ( X = 150 ) correspond à l’événement « R2 se produit et R3 ne se produit pas » Donc p ( X = 0 ) = 9 = 0, 009 1000 L’événement ( X = 200 ) correspond à l’événement « R2 ne se produit pas et R3 se produit » Donc p ( X = 150 ) = 19 = 0, 019 1000 L’événement ( X = 350 ) correspond à l’événement « R2 se produit et R3 se produit » Donc p ( X = 200 ) = 1 = 0,001 1000 Loi de probabilité de la variable aléatoire X 0 150 200 xi Donc p ( X = 350 ) = p( X = xi ) 0, 971 0, 009 350 0,019 0, 001 c) Espérance mathématique E ( X ) de la variable aléatoire X 3 E ( X ) = ∑ xi p( X = xi ) = 0 × 0,971 + 150 × 0, 009 + 200 × 0, 018 + 350 × 0, 001 = 5,5 i =0 3. On a E ( X ) = 5,5 ce qui signifie que lorsque l’acheteur achète un ordinateur il dépense en moyenne 5,5 en réparation au cours des 3 premières années . Si le fabricant propose l’extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50 on peut donc dire que cette extension est favorable au fabricant ( l’acheteur se fait avoir ) Exercice 2 1. a) D2 pas D2 Total D1 5% 3% 8% Pas D1 10% 82% 92% Total 15% 85% 100% b) Pour n'avoir qu'un seul défaut, le multimètre doit avoir D1 et pas D2 (3%), ou D2 et pas D1 (soit 10%). Au total P1 = 0, 13. c) P2 = 0, 82 par lecture du tableau. (le multimètre n'a ni D1, ni D2). 2. a) Les valeurs de X sont : -300, 300, 500. P (X = -300) = 0,05 ; P (X = 300) = 0,13 P (X = 500) = 0,82 b) E (X) = 0,05 × (-300) + 0,13 × 300 + 0,82 × 500 = 434 €. EXERCICE 2 8 points Dans une classe de 20 élèves, spécialisée en musique, 8 élèves jouent du piano, 15 jouent du violon et 3 élèves jouent à la fois du piano et du violon. Les probabilités seront données sous forme de fractions. 1. On choisit au hasard un élève dans la classe. Chaque élève a la même chance d’être choisi. 3 a. Montrer que la probabilité pour que l’élève joue des deux instruments est 20 1 b. Montrer que la probabilité pour que l’élève joue du piano sans jouer du violon est 4 c. Calculer la probabilité pour que l’élève joue du violon sans jouer du piano. 2. On prend successivement au hasard deux élèves différents dans la classe. On peut considérer que l’on est dans un cas de « tirages sans remise ». a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui correspond à cette seconde question. Instrument(s) joué(s) par le 1er élève Instrument(s) joué(s) par le 2e élève P et V 2/19 5/19 PSV P et V 3/20 VSP P et V 5/20 PSV PSV VSP P et V VSP PSV VSP b. Montrer que la probabilité pour que les deux élèves choisis jouent tous deux à la fois du piano et du 3 violon est 190 c. Quelle est la probabilité pour que chacun des deux élèves choisis ne joue que d’un instrument ? 3. On prend successivement au hasard trois élèves différents dans la classe. On peut considérer que l’on est dans un cas de « tirages sans remise ». 1 Montrer que la probabilité pour que tous les trois jouent à la fois du piano et du violon est 1140 Exercice 1 6 points Dans un atelier, deux machinesM1 etM2 produisent le même type de pièces. La machine M1 fournit les 4 5 de la production. Parmi les pièces produites, certaines sont défectueuses. C’est le cas pour 5 % de celles produites parM1 et 4 % de celles produites parM2. 1. L’atelier produit 1000 pièces par jour. Reproduire et compléter le tableau d’effectif suivant. Nombre de pièces Nombre de pièces Total produites parM1 produites par M2 Nombre de pièces défectueuses 40 8 Nombre de pièces non défectueuses Total 1000 2. On choisit au hasard une pièce parmi la production totale de l’atelier d’un jour donné. Calculer la probabilité des évènements suivants a. A : « la pièce choisie est produite par M1 ». b. B : « la pièce choisie est défectueuse ». c. On sait que la pièce choisie a été produite par M1. Quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas défectueuse ? 3. En sortie de chaîne de production chaque pièce coûte 38 € à l’atelier. Les pièces qui sont défectueuses doivent être réparées pour être mises sur le marché. La réparation coûte 4,30 € pour une pièce fabriquée par M1 et 4,50 € pour une pièce fabriquée parM2. Soit X la variable aléatoire qui à chaque pièce associe son coût de revient. a. Quelles sont les trois valeurs prises par X ? b. Donner la loi de probabilité de X. Exercice 2 Une entreprise d'électronique fabriquant des multimètres constate lors d'un test de qualité que 8% des appareils fabriqués présentent au moins un défaut D1, 15% présentent au moins un défaut D2 et 5% présentent les deux défauts. On choisit au hasard un appareil dans la production. Tous les tirages sont équiprobables. 1.a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les pourcentages appareils présentant appareils ne Total correspondants : le défaut D2 présentant b. Quelle est la probabilité P1 que pas le défaut D2 le multimètre présente un et un seul défaut ? appareils présentant 8% c. Quelle est la probabilité P2 qu'il le défaut D1 ne présente aucun défaut ? appareils ne 2. Les appareils présentant deux défauts sont mis au rebut. présentant pas le Les appareils présentant un seul défaut D1 défaut sont réparés. Total 100% Un appareil sera commercialisé s'il ne présente aucun défaut ou s'il est réparé. Le bénéfice réalisé par l'entreprise sur un multimètre commercialisé est de 500 € s'il ne nécessite pas de réparation, de 300 € , s'il nécessite une réparation. La perte engendrée par un appareil mis au début est de 300 € soit un "bénéfice" de −300 €. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe le bénéfice, positif ou négatif, à tout appareil pris au hasard dans la production. b. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.