Mécanique Analytique

M´ecanique Analytique
Badis Ydri ∗
Institute of Physics, BM Annaba University,
BP 12, 23000, Annaba, Algeria.
October 29, 2016
∗Email:[email protected], [email protected]

Contents
1 Chute Libre 3
1.1 R´ef´erentiel Non Inertiel: Rotation et Acc´el´eration . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Deuxi`eme Loi de Newton Dans un R´ef´erentiel Non Inertiel . . . . . . . . . . . 5
1.3 ChuteLibre ..................................... 6
1.4 Exercices ....................................... 10
1.5 Solutions ....................................... 11
2 Principes Varitionnels et ´ Equations de Lagrange 13
2.1 M´ecanique de Syst´eme de Particules Ponctuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Contraintes Holonomes et Principe des Travaux Virtuels . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 ´ EquationsdeLagrange................................ 19
2.4 CalculVariationnel.................................. 20
2.5 Principe de Moindre Action d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Exercices........................................ 25
2.7 Solutions........................................ 28
3 M´ecanique Hamiltonienne 39
3.1 LoisdeConservation ................................ 39
3.2 Transformation de Legendre et ´ Equations d’Hamilton . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 ´ Equation de Hamilton `a Partir de Calcul Variationnel: Le Principe de Hamilton
Modifi´e ........................................ 45
3.4 Transformations Canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Formulation Symplectique, Crochets de Poisson et Th´eor`eme de Liouvil . . . . 49
3.6 ´ Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7 Exercices ....................................... 60
3.8 Solutions ....................................... 63

Chapter 1
Chute Libre
1.1 R´ef´erentiel Non Inertiel: Rotation et Acc´el´eration
Un r´ef´erentiel inertiel est un rep´ere o`u la premi´ere loi de Newton s’applique: tout syst´eme
isol´e, pas soumis ´a aucune force ext´erieure, est soit au repos soit anim´e d’un mouvement rec-
tiligne uniforme.
Les r´ef´erentiels inertiels d´eplacent avec des vitesses constantes les uns par rapport aux autres.
Aussi dans les r´ef´erentiels inertiels la deuxi´eme loi de Newton s’applique:
~
F=m~a. (1.1)
L’acc´el´eration et la rotation produisent des r´ef´erentiels non inertiels. Nous vollons r´e´ecrire la
deuxi´eme loi de Newton dans un r´ef´erentiel non inertiel associ´e avec rotation.
Soit Lun r´ef´erentiel inertial (x, y, z) avec un origine Oet soit Mun r´ef´erentiel non inertial
(x0, y0, z0) avec un origine O0en ´etat de rotation autour de L. Nous supposons pour simplifi´e
que O0co¨ıncide avec O.Lest appell´e le syst´eme de laboratoire et Mest appell´e le syst´eme
en mouvement. Les vecteurs unitaires de syst´eme Msont not´es par ~e0
1,~e0 2, et ~e0 3. Soit ~
Aun
vecteur dans le syst´eme Md´ependant du temps que l’on ecrit sous la forme
~
A=A0
1~e0 1+A0 2~e0 2+A0 3~e0 3.(1.2)
La deriv´ee de ce vecteur dans Mest
d~ A
dt |M=dA0
1
dt |M~e0
1+dA0
2
dt |M~e0
2+dA0
3
dt |M~e0
3.(1.3)
Dans le syst´eme Lles vecteurs ~e0
id´ependent du temps parce que ils tournent avec M. La deriv´ee
de vecteur ~ Adans Lest donc donn´ee par
d~ A
dt |L=d~
A
dt |M+A0
1~
˙e0
1+A0 2~
˙e0
2+A0 3~
˙e0
3.(1.4)

MA, Badis Ydri 4
On a introduit la notation
~
˙e0
i=d
dt~e0
1|L.(1.5)
On peut calculer (voir exercices)
~
˙e0
1=a1~e0 2+a2~e0 3,~
˙e0
2=−a1~e0 1+a4~e0 3,~
˙e0
3=−a2~e0 1−a4~e0 2.(1.6)
Si nous d´efinissons le vecteur ~ Cpar
~
C= (a4,−a2, a1) (1.7)
nous obtenons le r´esultat
d~ A
dt |L=d~
A
dt |M+~
Cx~ A. (1.8)
Le vecteur ~ Cest exactement le vecteur vitesse angulaire de la rotation de syst´eme Mautour
de syst´eme L(voir exercices). Ainsi
~
C=~ Ω = Ω1~e1+ Ω2~e2+ Ω3~e3,(1.9)
o`u ~e1,~e2, et ~e3sont les vecteurs unitaires de syst´eme Let Ω1, Ω2, et Ω3sont les vitesse angulaires
atour des axes x,y, et z. Nous obtenons alors
d~ A
dt |L=d~
A
dt |M+~
Ωx ~ A. (1.10)
Nous ´ecrivons cette relation sous la forme
ˆ
DL~ A=ˆ DM~ A+~ Ωx ~ A, (1.11)
o`u d’une fa¸con g´en´erale
ˆ
DL=ˆ DM+~ Ωx,(1.12)
o`u ˆ DLet ˆ DMsont le operateus diff´erentiels
ˆ
DL=d
dt|L,ˆ
DM=d
dt|M.(1.13)

MA, Badis Ydri 5
1.2 Deuxi`eme Loi de Newton Dans un R´ef´erentiel Non
Inertiel
Nous appliquons imm´ediatement la relation obtenue au-dessus au vecteur de position ~r pour
en d´eduire la vitesse
~
˙r=ˆ DL~r =ˆ DM~r +~ Ωx~r. (1.14)
Encore une fois pour en deduire l’acc´el´eration
~
¨r=ˆ DL(ˆ DL~r) = ( ˆ DM+~ Ωx)( ˆ DM~r +~ Ωx~r)
=ˆ D2
M~r + ( ˆ
DM~ Ω)x~r + 2~ Ωx( ˆ DM~r) + ~ Ωx(~ Ωx~r).(1.15)
En d’autre termes,
d2~r
dt2|L=d2~r dt2|M+d~
Ω
dt |Mx~r + 2~
Ωxd~r
dt |M+~
Ωx(~ Ωx~r).(1.16)
Le deuxi´eme terme est l’acc´el´eration lin´eaire, le troisi´eme terme est l’acc´el´eration de Coriolis,
et le quartri´eme terme est l’acc´el´eration centrip´ete. En multipliant par mnous obtenons la
deuxi´eme loi de Newton
~
F=md2~r
dt2|L=md2~r dt2|M+md~
Ω
dt |Mx~r + 2m~
Ωxd~r
dt |M+m~
Ωx(~ Ωx~r).(1.17)
Ou
md2~r
dt2|M=~
F−md~
Ω
dt |Mx~r −2m~
Ωxd~r
dt |M−m~
Ωx(~ Ωx~r).(1.18)
Les forces suppl´ementaires sont des forces dynamiques virtuelles due `a l’acc´el´eration. Les effets
de ces forces peuvent ˆetre n´eglig´es dans la plupart des cas sur la terre par ce que la vitesse
angulaire de la rotation de la terre autour de son axe est tr´es faible donn´ee par
Ω = 2π
T=2π 24h∼10−5s−1.(1.19)
Jusqu’ `a maintenant nous avons suppos´e que le point d’origine de r´ef´erentiel inertiel Lco¨ıncide
avec le point d’origine de r´ef´erentiel non inertiel M. Nous consid´erons maintenant la situation
la plus g´en´erale o`u l’origine O0est s´epar´e de l’origine Opar un vecteur ~ Rr´epr´esentant une
translation de syst´eme Lpar rapport au syst´eme M. Alors, le vecteur de position ~r0dans M
est reli´e au vecteur de position ~r dans Lpar la relation simple
~r =~ R+~r0.(1.20)