Chapitre -N1-Nombres Entiers et rationnelsDernière Dernière mise mise à jour jour le le 19 19 septembre septembre 2015 2015 Sommaire 1.0.1 1.0.2 1.0.3 1.0.4 1.0.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs communs à deux nombres entiers Calcul du PGCD . . . . . . . . . . . . . . . Fractions irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 Vocabulaire Propriété 1 : (Admise) La division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier b non nul permet d’obtenir le couple (q; r) de nombres entiers tels que Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − http://lozano.maths.free.fr a= b×q+r avec r < b Exemple :417 = 19 × 21 + 18 Définition 1 : Dans la division euclidienne de a par b (a et b sont deux nombres entiers), si le reste r est nul alors on dit que : — a est un multiple de b ; — a est divisible par b ; — b est un diviseur de a ; — b divise a. Exemple : 325 est un multiple de 25 car 325 = 25 × 13 (325 est aussi un multiple de 13). 399 est divisible par 19 car 399 = 19 × 21 (19 et 21 sont des diviseurs de 399). Propriété 2 : Si x est un multiple de a alors tout multiple de x est un multiple de a Démonstration : On suppose que x est un multiple de a, donc on peut écrire x = ka pour un certain entier k. Soit alors y, un multiple de x, par exemple y = mx pour un certain entier m On peut écrire y = mx = mka qui est bien un multiple de a. Aucun nombre particulier n’a été privilégié, la démonstration est valable pour tout nombre vérifiant les hypothèses. http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr 1 Exemple : 120 est un multiple de 15 et 480 est un multiple de 120 donc 480 est un multiple de 5. En effet, 120 = 8 × 15 et 480 = 4 × 120 d’où 480 = 4 × 8 × 15 Propriété 3 : (Admise) Si a est un diviseur de x alors tout diviseur de a divise aussi x Exemple : 36 est un diviseur de 72 et 9 est un diviseur de 36 donc 9 est un diviseur de 72. 1.0.2 Diviseurs communs à deux nombres entiers Définition 2 : Soit a et b deux nombres entiers non nuls. Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b. Exemple : 6 est un diviseur commun de 12 et 18 (car 12 = 6 × 2 et 18 = 6 × 3). 11 est un diviseur commun de 99 et 132 (car 99 = 11 × 9 et 132 = 11 × 12). 3 n’est pas un diviseur commun à 189 et 188 (car 3 ne divise pas 188). Définition 3 : Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs. Parmi tous les diviseurs communs à a et b, l’un deux est plus grand que tous les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur ou PGCD. On le note PGCD(a; b). Exemple : Les diviseurs de 12 sont 1; 2; 3; 4; 6; 12. Les diviseurs de 8 sont 1; 2; 4. Le plus grand des diviseurs communs est 4 donc PGCD(12; 8) = 4. Définition 4 : Deux nombres entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − http://lozano.maths.free.fr Exemple : 15 et 26 ( cherche les diviseurs communs) 2 et 3 etc... Propriété 4 : Si deux entiers sont premiers entre eux alors leur PGCD vaut 1 Démonstration : On considère deux nombres premiers entre eux, alors leur seul diviseur commun est 1, en particulier c’est le plus grand. Réciproquement Propriété 5 : Si le PGCD de deux nombres entiers vaut 1 alors ils sont premiers entre eux Démonstration : Le plus grand diviseur commun à ces deux nombres vaut 1, donc 1 est leur seul diviseur commun car 1 est le plus petit naturel pouvant diviser un entier (pas possible avec 0 !). Exemple : PGCD(2 ;3)=1 donc 2 et 3 sont premiers entre eux. 4 et 5 sont premiers entre aux donc PGDCD(4 ;5)=1. http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr 2 1.0.3 Calcul du PGCD a et b sont deux naturels non tous les deux nuls, par exemple a est le plus grand. Propriété 6 : (Admise) Si a et b sont deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b alors PGCD(a; b) = PGCD(a − b; b) Cette propriété permet de trouver le PGCD par soustractions successives PGCD(95; 57) = PGCD(38; 57) car 95 − 57 = 38 PGCD(57; 38) = PGCD(19; 38) car 57 − 38 = 19 PGCD(38; 19) = PGCD(19; 19) = 19 car 57 − 38 = 19 Propriété 7 : (Admise) Si r est le reste de la division euclidienne de a par b Donc PGCD(95; 57) = 19 alors PGCD(a; b) = PGCD(b; r) Cette propriété permet de trouver le PGCD par l’algorithme d’Euclide a b r 1 078 322 112 car 1 078 = 3 × 322 + 112 322 112 98 car 322 = 2 × 112 + 98 112 98 14 car 112 = 1 × 98 + 14 98 14 0 car 98 = 7 × 14 + 0 Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − http://lozano.maths.free.fr Le processus s’arrête car les restes deviennent de plus en plus petit. Le PGCD(a; b) est le dernier reste non nul . Donc PGCD(1 078; 322) = 14. http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr 3 1.0.4 Fractions irréductibles Définition 5 : Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1, c’est à dire qu’ils sont premiers entre eux. Soient a et b deux nombres entiers tels que b 6= 0. a Une fraction est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. b Propriété 8 : Toute fraction admet une unique écriture sous forme de fraction irréductible 2 Exemple : La fraction est irréductible car PGCD(2; 3) = 1. 3 322 La fraction n’est pas irréductible car PGCD(322; 1 078) = 14. 1 078 23 × 14 23 322 = = 1 078 77 × 14 77 2 1 17 ; ; ;... . Un nombre rationnel peut s’écrire sous la forme d’une fraction 3 5 9 √ ! √ 1+ 5 ;... . Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel π; 2; 2 Ç Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − http://lozano.maths.free.fr Propriété 9 : (admise) on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son Si dénominateur alors on obtient une fraction irréductible Propriété 10 : (admise) Si PGCD(num,dénom)=1 alors la fraction est irréductible 30 ÷ 15 2 30 = = Exemple : 15=PGCD(30,45) d’où 45 45 ÷ 15 3 195 la fraction est elle irréductible ? 154 http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr 4 å