N1 - 2015 Sebastien LOZANO

Collège Jean Lurçat − FROUARD − Sébastien LOZANO − http://lozano.maths.free.fr
http://www.labomep.net − https://www.ent−place.fr
Chapitre
-N1-
-Nombres Entiers et rationnels-
Derni`ere mise `a jour le 19 septembre 2015
Derni`ere mise `a jour le 19 septembre 2015
Sommaire
1.0.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.0.2 Diviseurs communs `a deux nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.3 Calcul du PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.0.4 Fractions irr´eductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.0.1 Vocabulaire
Propri´et´e 1 : (Admise)
La division euclidienne d’un nombre entier apar un nombre entier bnon nul permet
d’obtenir le couple (q;r) de nombres entiers tels que
a=b×q+ravec r < b
Exemple :417 = 19 ×21 + 18
D´efinition 1 : Dans la division euclidienne de apar b(aet bsont deux nombres
entiers), si le reste rest nul alors on dit que :
—aest un multiple de b;
—aest divisible par b;
—best un diviseur de a;
—bdivise a.
Exemple : 325 est un multiple de 25 car 325 = 25 ×13 (325 est aussi un multiple de 13).
399 est divisible par 19 car 399 = 19 ×21 (19 et 21 sont des diviseurs de 399).
Propri´et´e 2 :
Si xest un multiple de a
alors tout multiple de xest un multiple de a
D´emonstration : On suppose que xest un multiple de a, donc on peut ´ecrire x=ka pour un certain
entier k.
Soit alors y, un multiple de x, par exemple y=mx pour un certain entier m
On peut ´ecrire y=mx =mka qui est bien un multiple de a.
Aucun nombre particulier n’a ´et´e privil´egi´e, la d´emonstration est valable pour tout nombre v´erifiant
les hypoth`eses.
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Exemple : 120 est un multiple de 15 et 480 est un multiple de 120 donc 480 est un multiple de 5. En
effet, 120 = 8 ×15 et 480 = 4 ×120 d’o`u 480 = 4 ×8×15 
Propri´et´e 3 : (Admise)
Si aest un diviseur de x
alors tout diviseur de adivise aussi x
Exemple : 36 est un diviseur de 72 et 9 est un diviseur de 36 donc 9 est un diviseur de 72.
1.0.2 Diviseurs communs `a deux nombres entiers
D´efinition 2 : Soit aet bdeux nombres entiers non nuls. Un diviseur commun `a aet
best un nombre entier qui divise `a la fois aet b.
Exemple : 6 est un diviseur commun de 12 et 18 (car 12 = 6 ×2 et 18 = 6 ×3).
11 est un diviseur commun de 99 et 132 (car 99 = 11 ×9 et 132 = 11 ×12).
3 n’est pas un diviseur commun `a 189 et 188 (car 3 ne divise pas 188).
D´efinition 3 : Soit aet bdeux nombres entiers strictement positifs.
Parmi tous les diviseurs communs `a aet b, l’un deux est plus grand que tous les autres.
On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur ou PGCD. On le note PGCD(a;b).
Exemple : Les diviseurs de 12 sont 1; 2; 3; 4; 6; 12. Les diviseurs de 8 sont 1; 2; 4. Le plus grand des
diviseurs communs est 4 donc PGCD(12; 8) = 4.
D´efinition 4 : Deux nombres entiers naturels sont dits premiers entre eux lorsque
leur seul diviseur commun est 1.
Exemple : 15 et 26 ( cherche les diviseurs communs)
2 et 3
etc...
Propri´et´e 4 :
Si deux entiers sont premiers entre eux
alors leur PGCD vaut 1
D´emonstration : On consid`ere deux nombres premiers entre eux, alors leur seul diviseur commun est
1, en particulier c’est le plus grand. 
R´eciproquement
Propri´et´e 5 :
Si le PGCD de deux nombres entiers vaut 1
alors ils sont premiers entre eux
D´emonstration : Le plus grand diviseur commun `a ces deux nombres vaut 1, donc 1 est leur seul
diviseur commun car 1 est le plus petit naturel pouvant diviser un entier (pas possible avec 0 !). 
Exemple : PGCD(2 ;3)=1 donc 2 et 3 sont premiers entre eux.
4 et 5 sont premiers entre aux donc PGDCD(4 ;5)=1.
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1.0.3 Calcul du PGCD
aet bsont deux naturels non tous les deux nuls, par exemple aest le plus grand.
Propri´et´e 6 : (Admise)
Si aet bsont deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b
alors PGCD(a;b) = PGCD(a−b;b)
Cette propri´et´e permet de trouver le PGCD par soustractions successives
PGCD(95; 57) = PGCD(38; 57) car 95 −57 = 38
PGCD(57; 38) = PGCD(19; 38) car 57 −38 = 19
PGCD(38; 19) = PGCD(19; 19) = 19 car 57 −38 = 19 
Donc PGCD(95; 57) = 19
Propri´et´e 7 : (Admise)
Si rest le reste de la division euclidienne de apar b
alors PGCD(a;b) = PGCD(b;r)
Cette propri´et´e permet de trouver le PGCD par l’algorithme d’Euclide
a b r
1 078 322 112 car 1 078 = 3 ×322 + 112
322 112 98 car 322 = 2 ×112 + 98
112 98 14 car 112 = 1 ×98 + 14
98 14 0 car 98 = 7 ×14 + 0
Le processus s’arrˆete car les restes deviennent de plus en plus petit.
Le PGCD(a;b) est le dernier reste non nul . Donc PGCD(1 078; 322) = 14.
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1.0.4 Fractions irr´eductibles
D´efinition 5 : Une fraction est dite irr´eductible lorsque son num´erateur et son
d´enominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que 1, c’est `a dire qu’ils sont pre-
miers entre eux.
Soient aet bdeux nombres entiers tels que b6= 0.
Une fraction a
best dite irr´eductible lorsque aet bsont premiers entre eux.
Propri´et´e 8 : Toute fraction admet une unique ´ecriture sous forme de fraction
irr´eductible
Exemple : La fraction 2
3est irr´eductible car PGCD(2; 3) = 1.
La fraction 322
1 078 n’est pas irr´eductible car PGCD(322; 1 078) = 14.
322
1 078 =23 ×14 77 ×14 =23 77
Un nombre rationnel peut s’´ecrire sous la forme d’une fraction Ç2
3;1 5;17 9;...å.
Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel π;√2; 1 + √5
2;...!.
Propri´et´e 9 : (admise)
Si on simplifie une fraction par le PGCD de son num´erateur et de son
d´enominateur
alors on obtient une fraction irr´eductible
Propri´et´e 10 : (admise)
Si PGCD(num,d´enom)=1
alors la fraction est irr´eductible
Exemple : 15=PGCD(30,45) d’o`u 30
45 =30 ÷15 45 ÷15 =2 3
la fraction 195
154 est elle irr´eductible ?
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