probabilites conditionnelles

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PROBABILITES CONDITIONNELLES
Généralités :
1
C
Soient A et B deux évènements tels que P(A) = 0,2 ; P(B) = 0,3 et P (A∪B)=0,4.
Calculer PB (A) et PA (B)
2
C
Soient A et B deux évènements tels que PB (A) =
1
2
; PA (B) = et P (A∪B)=0,2.
2
3
Calculer P (A) et P (B).
3
C
4
C
Soient A et B deux évènements tels que P(A) = 0.2 ; PA (B) = 0.3 ; PB (A) = 0.08 .
Calculer P(A ∩ B) ; P(B) et P(A ∪ B)
Soient A et B deux évènements tels que P(A) =
1
2
1
; P (B) = et PA (B) =
3
9
6
Calculer PB (A) et PA (B)
5
C
Soient A et B deux évènements tels que P(A) =
1
1
1
; P(B) = et P(A ∩ B) =
3
4
5
Calculer PB (A) ; PA (B) et P(A ∪ B)
6
Soient A et B deux évènements tels que P(A) ≠ 0 . Montrer que PB (A) + PA (B) = 1
Problèmes :
1
2 % des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les contrôler.
Le procédé de contrôle est tel que 95 % des pièces sans défaut sont acceptées et 99 % des pièces défectueuses sont refusées.
1)
2)
3)
4)
2
Calculer la probabilité qu’une pièce soit défectueuse et acceptée au contrôle.
Calculer la probabilité qu’une pièce soit sans défaut et refusée au contrôle.
Calculer la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
Une pièce a été refusée au contrôle. Calculer la probabilité que cette pièce soit sans défaut.
Une entreprise s’approvisionne chez deux fournisseurs A et B.
60 % des livraisons proviennent de chez A, le reste provient de chez B.
97 % des livraisons effectuées par A satisfont aux normes de qualités exigées par l’entreprise alors que 1 % des livraisons
effectuées par B ne sont pas conformes aux mêmes normes.
1)
2)
Quelle est la probabilité qu’une livraison choisie au hasard ne soit pas conforme aux normes de qualité de l’entreprise ?
Une livraison vient d’être déclarée non-conforme aux normes de qualité exigées. Quelle est la probabilité qu’elle
provienne du fournisseur A ?
3
On tire au hasard et successivement deux cartes parmi un jeu de 52.
Quelle est la probabilité d’obtenir 2 rois dans chacun des cas suivants :
1) la première carte tirée est remise dans le jeu.
2) la première carte tirée n’est pas remise dans le jeu.
4
Deux machines A et B fabriquent des disques dentés.
La production journalière de la machine A est de 250 disques et celle de la machine B est de 500 disques. La probabilité qu’un
disque ait un défaut de dentelure est 0,02 sachant qu’il est produit pas A et 0,035 sachant qu’il est produit par B.
1) Quelle est la probabilité qu’un disque pris au hasard dans la production totale d’un jour n’ait pas de défaut de
dentelure ?
2) Sur la production totale on prélève un disque. On constate que ce disque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il ait
été produit par la machine A ? et la machine B ?
5
Dans une urne sont placées cinq boules : trois rouges, numérotées 1, 2, 3, et deux noires, numérotées 1 et 2.
On tire simultanément deux boules dans l’urne.
On note A l’événement « les deux boules sont de la même couleur » et B l’événement « l’une des deux boules porte le numéro 3 ».
Calculer P(A), P(B) et P(B/A).
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
6
On tire au hasard une carte parmi un jeu de 52. Soient les évènements :
A : « on obtient un as »
B : « on obtient un cœur ou un pique »
C : « on obtient un honneur (10, valet, dame, roi ou as) »
1) Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
2) Même question avec les évènements A et C.
7
Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théoriquement, celui-ci devrait être positif lorsqu’une personne testée a un taux
d’alcoolémie excessif (c’est à dire strictement supérieur au seuil toléré).
Mais il n’est pas parfait :
* À un taux d’alcoolémie excessif, l’éthylotest est positif 96 fois sur cent.
* À un taux d’alcoolémie acceptable, l’éthylotest est positif 3 fois sur cent.
On suppose que ces résultats portent sur un échantillon suffisamment important pour qu’ils soient constants.
Dans une région, 95 % des conducteurs d’automobiles ont un taux d’alcoolémie acceptable.
On soumet au hasard un automobiliste de cette région à l’éthylotest.
On définit les événements suivants :
T : « L’éthylotest est positif »
S : « Le conducteur a un taux d’alcoolémie excessif »
1)
2)
3)
4)
5)
6)
8
Traduire mathématiquement chacune des trois données numériques de l’énoncé.
Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif et que l’éthylotest soit positif.
Calculer P(T).
Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif si l’éthylotest est positif ?
Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie acceptable si l’éthylotest est négatif?
Quelle est la probabilité que l’éthylotest donne un résultat erroné ?
Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la circulation.
85 % des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.
20 % des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.
12 % des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels.
Soit les évènements suivants :
R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle,
D : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.
1)
2)
3)
9
Calculer la probabilité pour qu’un dossier :
a) entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels ;
b) entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;
c) entraîne seulement des frais de dommages corporels ;
d) n’entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;
e) entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu’il entraîne des frais de dommages corporels.
On constate que 40 % des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60 % entraînent des
frais de dommages corporels.
On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des
frais de dommages corporels ?
Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablettes, il décide d’offrir des places de cinéma
dans la moitié des tablettes mises en ventes. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de
cinéma et 40 % exactement deux places.
1)
2)
Un client achète une tablette de chocolat. On considère les évènements suivants :
G = « le client achète une tablette gagnante »
U = « le client gagne exactement une place de cinéma »
D = « le client gagne exactement deux places de cinéma »
a) Donner P(G), PG(U) et PG(D).
b) Montrer que la probabilité de gagner exactement une place de cinéma est 0,3.
c) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de places de cinéma gagnées par le client. Déterminer la loi de
probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique de X.
Un autre client achète deux jours de suite une tablette de chocolat.
a) Déterminer la probabilité qu’il ne gagne aucune place de cinéma.
b) Déterminer la probabilité qu’il gagne au moins une place de cinéma.
c) Montrer que la probabilité qu’il gagne exactement deux places de cinéma est 0,29
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
10
Une urne contient 4 houles blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1. On effectue trois tirages successifs au hasard d’une boule selon la procédure suivante : après chaque tirage si la boule tirée est
blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne. On désigne par X la variable aléatoire égale au
nombre de boules noires obtenues à l’issue des trois tirages. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a. Quelles sont les valeurs prises par X ?
b. Calculer P(X = 0).
c. On se propose de déterminer maintenant P(X = 1). Montrer que la probabilité que la seule boule noire tirée soit obtenue au
second tirage est égale à
8
. En remarquant que la seule boule noire peut être tirée soit au premier, soit au deuxième, soit au
45
troisième tirage, calculer P(X = 1).
2. On reprend l’urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher. Soit n un entier
naturel supérieur ou égal à 3.
On effectue maintenant n tirages successifs au hasard d’une boule dans l’urne selon la même procédure : après chaque tirage, si la
boule tirée est blanche, on la remet dans l’urne et si elle est noire, on ne la remet pas dans l’urne.
Soit k un entier compris entre 1 et n.
Soit N l’évènement : « la k-ième boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches ».
Soit A l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des k − 1 premiers tirages et une boule noire au k-ième ».
Soit B l’évènement : « on obtient une boule blanche dans chacun des (n − k) derniers tirages ».
Calculer P(A), PA(B) et P(N).
11
Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques notées M1, M2, et M3. La moitié des appareils en stock
provient de M1, un huitième de M2, et trois huitièmes de M3. Ce grossiste sait que dans son stock 13 % des appareils de la marque
M1 sont rouge, que 5% des appareils de la marque M2 sont rouge et que 10% des appareils de la marque M3 sont rouge.
On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste.
1) Quelle est la probabilité qu’il vienne de M1 ?
2) Quelle est la probabilité qu’il soit rouge sachant qu’il vienne de M2 ?
3) Quelle est la probabilité que l’appareil choisi ne soit pas rouge ?
4) Après examen, on s’aperçoit que l’appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu’il soit de marque M1 ?
12
Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. On admet que lors du
premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche la probabilité pour
qu’il réponde au questionnaire est 0,3.
1) On note :
D1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel »
R1 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ».
Calculer la probabilité de R1.
2) Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le
correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant qu’il
décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.
On note :
D2 l’évènement : « la personne décroche au second appel »
R2 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du second appel ».
R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ».
Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236.
3) Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du
premier appel.
13
Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’articles. Un contrôle de qualité à montré que chaque article produit
par A pouvait présenter deux types de défauts : un défaut de soudure sur 3% des pièces et un défaut sur un composant
électronique sur 2% des pièces. Les deux défauts étant indépendants l’un de l’autre. Un article sera défectueux s’il présente au
moins un des deux défauts.
1) Montrer que la probabilité qu’un article soit défectueux est 0,0494.
2) Une grande surface reçoit 800 de ces articles. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’articles défectueux.
a) Définir la loi de probabilité de X.
b) Calculer son espérance mathématique. Interpréter le résultat obtenu.
c) Calculer la probabilité qu’au moins 3 articles soit défectueux dans ce lot.
14
On dispose de trois urnes U1, U2, U3 contenant chacune des boules bleues et des boules jaunes :
6 bleues et 3 jaunes dans U1 ; 7 bleues et 4 jaunes dans U2 ; 3 bleues et 3 jaunes dans U3.
On prélève au hasard une boule dans U1 et une boule dans U2. On les place dans U3 et on tire une boule dans U3.
Quelle est la probabilité qu’elle soit bleue ?
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
15
Deux joueurs A et B jouent avec un jeu de 32 cartes. Aucune carte tirée n’est remise dans le jeu. A tire deux cartes et gagne s’il tire
deux figures. Si A ne gagne pas, B tire une carte et gagne s’il tire une figure. Quel joueur a la plus grande probabilité de gagner ?
Quelle est la probabilité que personne ne gagne ?
16
On met en vente 50 billets de loterie dont un seul est gagnant. Chaque acheteur ne peut choisir que parmi les billets qui n’ont pas
encore été vendu. Préférez-vous être le 1er acheteur ? le 2e ? le 3e ? Quel acheteur préférez vous être ?
17
Trois personnes A, B et C sont placées au hasard sur une ligne droite. Soit E l’évènement « B est à la droite de A » et F l’évènement
« C est à la droite de A ». Les évènements E et F sont-ils indépendants ?
18
C
Une urne contient 10 boules blanches et 20 boules rouges. On tire successivement n boules en remettant la boule après le tirage si
elle est blanche et en ne la remettant pas si elle est rouge.
Quelle est la probabilité de tirer exactement une boule rouge ?
19
C
Deux joueurs lancent à tour de rôle une pièce truquée qui amène « pile » avec la probabilité p. A
commence. A gagne dès qu’il obtient « pile » et le jeu s’arrête alors. B gagne s’il obtient face, et le jeu s’arrête alors.
1)
2)
3)
4)
Quelle est la probabilité pour que A gagne lors de son n-ième lancer ?
Quelle est la probabilité pour que A gagne.
Quelle est la probabilité pour que le jeu ne s’arrête pas ?
Quelle valeur faut-il donner à p pour que les deux joueurs aient tous deux les mêmes chances de gagner.
20
C
Le quart d’une population a été vacciné contre une maladie.
Lors d’une épidémie, on constate que parmi les malades, 20 % ont été vaccinés. De plus, on constate que dans l’ensemble des
vaccinés, 1 sur 12 a quand même été malade.
Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de tomber malade ?
21
C
10% de la population d’un pays a été vacciné contre une maladie M. Au cours d’une épidémie de cette maladie, on a constaté une
proportion de 2% de malades parmi les personnes vaccinées et une proportion de 5% de personnes vaccinées parmi les malades.
On tire au hasard une personne dans la population.
1)
2)
Les événements « la personne a été malade » et « la personne a été vaccinée » sont-ils indépendants ?
Si la personne tirée n’a pas été vaccinée, quelle est la probabilité qu’elle ait été malade ?
22
C
La probabilité pour un dossier de se trouver dans un meuble secrétaire est p (0 < p < 1). Ce meuble a cinq tiroirs, et le dossier a des
probabilités égales de se trouver dans l’un ou l’autre de ces cinq tiroirs.
er
1) Quelle est la probabilité que le dossier soit dans le 1 tiroir ? dans aucun des quatre premiers tiroirs ?
2) On a examiné les quatre premiers tiroirs sans trouver le dossier ; quelle est la probabilité qu’il soit dans le cinquième ?
23
C
Soit p un réel de l’intervalle ouvert ]0; 1[ : Une personne joue à un jeu de pile ou face.
A chaque lancer, elle a une probabilité p d’obtenir "pile" et une probabilité 1 - p d’obtenir "face".
La personne est déclarée gagnante dès qu’elle a obtenu deux "piles" de plus que de "faces", et est déclarée perdante dès qu’elle a
obtenu deux "faces" de plus que de "piles".
1) Quelle est la probabilité pour que la partie dure plus de 2n lancers ?
2) Quelle est la probabilité pour que la personne gagne ?
24
On considère deux urnes A et B, contenant des boules blanches et des boules noires : l’urne A contient des boules blanches en
proportion a, l’urne B contient des boules blanches en proportion b (a et b sont dans ]0 ; 1[).
On effectue N tirages avec remise. Au départ, on choisit une urne à pile ou face, puis on y tire une boule. Ensuite, si la boule tirée
est blanche, on tire la boule suivante dans la même urne, sinon on tire la boule suivante dans l’autre urne. On continue cette règle
jusqu’au N–ième tirage.
On appelle pn la probabilité d’obtenir une boule blanche au n–ième tirage et qn la probabilité pour que le n–ième tirage soit
effectué dans l’urne A.
1) Calculer p1, q2, p2.
2) Trouver une relation entre qn et qn-1.
3) Exprimer qn et pn en fonction de a, b et n.
25
Une urne contient r boules rouges et n boules noires. Une boule est choisie au hasard, on note sa couleur, et on la remet avec d
boules supplémentaires de la même couleur.
Puis on recommence la même procédure aussi souvent que nécessaire.
Trouver la probabilité que :
1) La seconde boule tirée soit noire.
2) La première boule est noire, sachant que la seconde est noire.
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
26
On lance deux dés jusqu’à ce qu’une somme de 5 ou 7 apparaisse.
1) Soit En l’événement "une somme de 5 apparaît au n-ème double jet et sur les n-1 premiers jets ni la somme de 5 ni celle
de 7 n’apparaît". Calculer P(En).
2) Trouver la probabilité qu’on s.arrête sur une somme de 5.
3) Trouver la probabilité qu’on s.arrête sur une somme de 7.
4) Quelle est la probabilité que le jeu ne s.arrête jamais ?
Formule des probabilités totales :
1
C
Pour les semailles, on prépare des semences de froment de premier choix, mêlées de petites quantités de semences de deuxième,
troisième et quatrième choix. On désigne par A1 le fait qu’une graine choisie au hasard dans la semence utilisée soit dans la
catégorie I, et par A2, A3 et A4 le fait qu’elle soit, respectivement, de la catégorie II, III ou IV, avec les probabilités :
p(A1) = 0,96
p(A2) = 0,01
p(A3) = 0,02
p(A4) = 0,01.
D’autre part, la probabilité pour que la semence engendre un épi de 50 grains au moins est égale à :
0,5 pour une semence de la catégorie I
0,15 pour une semence de la catégorie II
0,20 pour une semence de la catégorie III
0,05 pour une semence de la catégorie IV
Quelle est la probabilité pour que l’épi engendré par une semence prélevée au hasard porte 50 grains ?
2
C
Deux usines fabriquent des ampoules électriques ; la 1 assure 70 % et la 2 30% de cette production.
ère
D’autre part, sur 100 ampoules fournies par la 1 usine, 83 en moyenne satisfont aux normes prescrites alors que cette moyenne
n’est que de 63 dans le cas de la seconde usine.
Quelle est la probabilité pour qu’une ampoule soit conforme aux normes ?
ère
nde
Le théorème de Bayes :
1
C
Une matière étant enseignée par 3 professeurs A, B, C le sujet d’examen est susceptible d’être donné par l’un des 3 enseignants.
D’après les statistiques des années précédentes et aussi d.après les charges d’examens prévues, les
étudiants évaluent à :
0,35 la probabilité que ce soit l’enseignant A qui pose le sujet.
0,40 la probabilité que ce soit l’enseignant B qui pose le sujet.
0,25 la probabilité que ce soit l’enseignant C qui pose le sujet.
Par ailleurs, ils redoutent qu’un certain chapitre R fasse l’objet d’une question à l’examen. Par des déductions psychologiques, ils
évaluent à 10% la probabilité que le chapitre R soit choisi si c’est l’enseignant A qui pose le sujet, 40% si c’est l’enseignant B, 80% si
c’est l’enseignant C. Le jour J arrive et l’événement tant redouté se produit.
Quelles sont les probabilités que le sujet ait été posé par :
1) L’enseignant A ?
2) L’enseignant B ?
3) L’enseignant C ?
2
C
Un voyageur arrive à un carrefour où se trouvent deux routes : la bonne et la mauvaise.
Il y a trois personnes F1, F2 et F3 à proximité de ce carrefour ; F1 (resp. F2, resp. F3) dit une fois sur 10 la vérité (resp. 5 fois sur 10,
resp. 9 fois sur 10).
Le voyageur s’adresse au hasard à une et une seule des trois personnes pour demander son chemin.
1) Quelle est la probabilité que la route qui lui est indiquée soit la bonne ?
2) Le voyageur s’aperçoit que la route indiquée est la bonne.
Quelle est la probabilité qu’il se soit adressé à Fi ? (i = 1, 2, 3)
3
C
Dans un atelier, la probabilité pour que l’article fabriqué satisfasse aux normes requises est de 0,96. On se propose d’adopter un
procédé simplifié de contrôle qui identifie comme « bons » avec une probabilité de 0,98 les articles effectivement conformes aux
normes, et avec une probabilité de 0,05 seulement ceux qui n’y satisfont pas.
1) Quelle est la probabilité pour qu’un article ayant subi le contrôle avec succès soit effectivement conforme aux normes ?
2) Quelle est la probabilité pour qu’un article ayant subi à deux reprises avec succès ce contrôle soit effectivement
conforme aux normes ?
4
C
Parmi les pièces produites par une machine, 8 % sont défectueuses. Le test de qualité donne une pièce défectueuse comme dans
défectueuse dans 95 % des cas et une pièce correcte comme correcte dans 90 % des cas.
1)
2)
Quelle est la probabilité qu’une pièce déclarée défectueuse soit effectivement défectueuse ?
On choisi une pièce quelconque au hasard. Quelle est la probabilité qu’il y ait eu une erreur de tri sur cette pièce ?
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
Formule du crible
1
(Oral ESCP 3.13.02) : Soient n et r deux entiers strictement positifs. Lors de la kermesse d.une association, n personnes sont
présentes. On tire r fois au sort une personne (avec remise) pour offrir r lots aux personnes
présentes.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Calculer, en fonction de n et de r, la probabilité qu’une personne donnée P1 ne reçoive aucun lot.
Soit k un entier inférieur strictement à n. Calculer, en fonction de n et de r, la probabilité que les personnes P1, P2,….Pk
ne reçoivent aucun lot.
Rappeler la formule du crible.
Calculer, en fonction de n et de r, la probabilité que chaque personne ait reçu au moins un lot.
Soit m un entier strictement inférieur à n. Déduire de la question précédente le calcul, en fonction de n; r et m; de la
probabilité pm qu’exactement m personnes, parmi les n personnes présentes, n’aient rien reçu.
Comment calculer la probabilité q qu’au moins m personnes n’aient rien reçu ?
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
CORRIGE :
1
C
Soient A et B deux évènements tels que P(A) = 0,2 ; P(B) = 0,3 et P (A∪B)=0,4.
Calculer PB (A) et PA (B)
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0.1
P(A ∩ B) 0.1 1
PB (A) =
=
=
P(B)
0.2 2
P(A ∩ B) 0.1 1
PA (B) =
=
=
P(A)
0.4 4
2
C
Soient A et B deux évènements tels que PB (A) =
1
2
; PA (B) = et P (A∪B)=0,2.
2
3
Calculer P (A) et P (B).
On pose x = P(A) et y = P(B)
1
2
P(A ∩ B) = y = x
2
3
3
C
1
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ⇒ x + y − y = 0.2.
2
1
2
 3 x = 2 y
On doit donc résoudre le système : 
soit x = 0.12 et y = 0.16
x + 1 y = 0.2
 2
Soient A et B deux évènements tels que P(A) = 0.2 ; PA (B) = 0.3 ; PB (A) = 0.08 .
Calculer P(A ∩ B) ; P(B) et P(A ∪ B)
P(A ∩ B) = P(A)PA (B) = 0.2 x 0.3 = 0.06 ;
P(A ∩ B) 0.06
=
= 0.75
PB (A)
0.08
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.2 + 0.75 − 0.06 = 0.89
P(B) =
4
C
Soient A et B deux évènements tels que P(A) =
1
2
1
; P (B) = et PA (B) =
3
9
6
Calculer PB (A) et PA (B)
1 1
x
P(A ∩ B) P(A).PA (B) 3 6 1
PB (A) =
=
=
=
2
P(B)
P(B)
4
9
5
C
1
2 1 1 1
P(A ∩ B) 6 1
P(A ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B) = − x = ; PA (B) =
= =
2 4
9 3 6 6
P(A)
3
1
1
1
Soient A et B deux évènements tels que P(A) = ; P(B) = et P(A ∩ B) =
3
4
5
Calculer PB (A) ; PA (B) et P(A ∪ B)
PB (A) =
6
18
C
P(A ∩ B) 4
P(A ∩ B) 3
23
= ; PA (B) =
= et P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =
P(B)
5
P(A)
5
60
Soient A et B deux évènements tels que P(A) ≠ 0 . Montrer que PB (A) + PA (B) = 1
Une urne contient 10 boules blanches et 20 boules rouges. On tire successivement n boules en remettant la boule après le tirage si
elle est blanche et en ne la remettant pas si elle est rouge. Quelle est la probabilité de tirer exactement une boule rouge ?
Soit A l’évènement : « on tire exactement une boule rouge sur les n lancers »
Soit Bk : « on tire une boule blanche lors du lancer k » et Rk : « on tire une boule rouge lors du lancer k »
n
A=
U(B
1
∩ B2 ∩ .... ∩ Bk−1 ∩ Rk ∩ Bk+1 ∩ ... ∩ Bn )
k =1
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
n
P(A) =
∑ P(B
1 ∩ ... ∩ Rk
∩ ... ∩ Bn )
k=1
n
=
∑P(B )P(B
1
2 / B1 )P(B 3 / B1 ∩ B2 ).....P(Rk
/ B1 ∩ ... ∩ Bk−1 )P(Bk +1 / B1 ∩ ... ∩ Rk ).....P(Bn / B1 ∩ ... ∩ Bn−1 )
k =1
n
 29 

n
n
1  10 
1  10 
 2   1  10 
 29 
 15  = 15  10    29  − 1 
=
     =  
  =  
   

2  29 
2  29  1 − 29
7  29    15 
 3   3  29 
 15 


k =1
k =1
15
Deux joueurs lancent à tour de rôle une pièce truquée qui amène « pile » avec la probabilité p. A
commence. A gagne dès qu’il obtient « pile » et le jeu s’arrête alors. B gagne s’il obtient face, et le jeu s’arrête alors.
On pose Ai l’évènement : « A gagne lors de son i-ème lancer » et Bi l’évènement : « B gagne lors de son i-ème lancer ».
n
∑
19
C
k −1
n−k
n n
n 1−
k
∑
A1
B1
A1
A2
B1
B2
A2
B2
1)
Quelle est la probabilité pour que A gagne lors de son n-ième lancer ?
A n = A 1 ∩ B 1 ∩ A 2 ∩ B 2 .....B n−1 ∩ A n
p(A n ) = p(A 1 ∩ B 1 ∩ A 2 ∩ B 2 .....B n−1 ∩ A n )
= p(A A ) × p A (B 1 ) × p A
1
1 ∩B1
(A 2 ) × ........ × p A
1 ∩B1 ∩.....∩Bn −1
(A n )
= (1 − p)n−1 × p n−1 × p
2)
= (1 − p)n−1 × p n
Quelle est la probabilité pour que A gagne.
∞
A=
UA
+∞
n
; p(A) =
+∞
n)
∑(p − p²)
n−1
=p
n=1
n=1
3)
∑p(A
n=1
=
p
p² − p + 1
Quelle est la probabilité pour que le jeu ne s’arrête pas ?
+∞
De même, p(B) =
∑
+∞
p(B n) =
n=1
∑(1 − p)
n+1 n−1
n=1
p
=
(1 − p)²
p² − p + 1
p
(1 − p)²
−
=0
p² − p + 1 p² − p + 1
Quelle valeur faut-il donner à p pour que les deux joueurs aient tous deux les mêmes chances de gagner.
La probabilité que le jeu ne s’arrête pas est donc : 1 − p(A) − p(B) = 1 −
4)
p(A) = p(B) ⇔ p² − 3p + 1 = 0 ⇔ p =
la seule solution est p =
20
3± 5
2
3+ 5
≈ 0.38
2
On pose V l’évènement : « la personne est vaccinée » et M l’évènement : « la personne est malade ».
P(V)xP(M / V) 5
P(M) =
=
P(V / M)
48
5
1 1 1
P(M ∩ V) = P(M) − P(V ∩ M) = P(M) − P(M / V)xP(V) =
− x =
48 12 4 12
P(M / V) =
P(M ∩ V)
P(V)
=
1 4 1
x =
12 3 9
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
21
Soient les événements suivants :
M : « La personne tirée est malade ».
V : « La personne tirée est vaccinée »
On a p(V) = 0,1, p(M/V) = 0,02 et p(V/M) = 0,05.
1) M et V sont indépendants si p(M ∩V) = p(M).p(V)
p(M ∩V) = p(M/V)p(V) = 0,02 ×0,1 = 0,002
1
p(M) =p(M ∩ V) ×
= 0,04
p(V/M)
Donc p(V) ×p(M) = 0,1 ×0,04 = 0,004 et 0,004 ≠0,002 et donc p(M ∩V) ≠ p(V) ×p(M)
Les événements « la personne a été malade » et « la personne a été vaccinée » ne sont pas indépendants.
2) On cherche p(M/ V ) :
p(M/ V ) =
p(M ∩ V )
p( V )
Or p( V ) = 1 – p(V) = 1 – 0,1 = 0,9
P(M ∩ V ) = p( V /M) ×p(M) = 0,95 ×0,04 = 0,038.
D’où p(M/ V ) = 0,038/0,9 ≈ 0,042
Si la personne tirée n’a pas été vaccinée, la probabilité qu’elle ait été malade est d’environ 0,042.
22
Soient les événements suivants :
A : « Le dossier se trouve dans le meuble » p(A) = p. Bi : « Le dossier se trouve dans le tiroir n°i » (i = 1, 2, 3, 4, 5)
p
Les Bi sont équiprobables : p(Bi) =
5
er
1) Quelle est la probabilité que le dossier soit dans le 1 tiroir ? dans aucun des quatre premiers tiroirs ?
p
p
er
p(B1) = : la probabilité que le dossier soit dans le 1 tiroir est de .
5
5
C : « Le dossier n’est dans aucun des 4 premiers tiroir »
C = A ∪ B5
p(C) = p( A ∪ B5) = p( A ) + p(B5) – p( A ∩B5) = 1 – p +
p
5
5-4p
5 – 4p
: La probabilité que le dossier ne soit dans aucun des 4 premiers tiroirs est de
.
5
5
2) On a examiné les quatre premiers tiroirs sans trouver le dossier ; quelle est la probabilité qu’il soit dans le cinquième ?
p(B5)
p
p(B5/C) =
=
p(C) 5-4p
p
.
La probabilité que le dossier soit dans le cinquième tiroir sachant qu’il n’est pas dans les quatre premiers est de
5-4p
p(C) =
23
1) Quelle est la probabilité pour que la partie dure plus de 2n lancers ?
Soit la suite (un) définie par un = P(N2n) ; N2n étant l’événement : "la partie dure au moins 2n lancers"
N2n est réalisé si et seulement si il y a eu autant de piles que de faces lors des 2n premiers lancers sans qu’il y ait eu lors de tirages
intermédiaires deux piles de plus que de faces et inversement. Introduisons pour tout k ≥_ 1 les événements Pk (resp Fk) : "le kième tirage donne pile (resp face)". Ainsi pour tout entier naturel non nul n :
P(N2n+2 ) = P((N2n ∩ P2n+1 ∩ F2n+2 ) ∪ (N2n ∩ F2n+1 ∩ P2n+2 )
= P(N2n ∩ P2n+1 ∩ F2n+2 ) + P(N2n ∩ F2n+1 ∩ P2n+2 )
= P(N2n )P(P2n+1 )P(F2n+2 ) + P(N2n )P(F2n+1 )P(P2n+2 )
= 2p(1 − p)P(N2n )
(un) est donc géométrique de raison 2p(1 - p).
On peut montrer que 2p(1 – p) ∈ [0 ; 0.25] pour tout p ∈ [0 ; 1].
P(N2n+2 ) = [2p(1 − p)]n−1 P(N2 ) = [2p(1 − p)]n−1 (P(F1 ∩ F2 ) + P(F1 ∩ P2 )) = [2p(1 − p)]n−1 x2p(1 − p) = [2p(1 − p)]n
2) Quelle est la probabilité pour que la personne gagne ?
Soit G l’évènement : « la personne gagne » et pour tout n ≥ 1 : G2n : « la personne gagne à l’issue d’un nombre pair de
lancers ».
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
G = ∪G2n et G2n = N2n−2 ∩ P2n−1 ∩ P2n
+∞
P(G) = P(∪G2n ) =
∑
+∞
P(G2n ) =
n=1
=
∑
+∞
P(N2n−2 )P(P2n−1 )P(P2n ) =
n=1
∑[2p(1 − p)]
n−1
p² série géométrique convergente
n=1
p²
p²
=
1 − 2p(1 − p) 2p² − 2p + 1
Formule des probabilités totales :
1
C
On choisit une graine. Soient les événements suivants :
p(A1) = 0,96
A1 : « la graine est de catégorie I »
A2 : « la graine est de catégorie II »
p(A2) = 0,01
A3 : « la graine est de catégorie III »
p(A3) = 0,02
p(A4) = 0,01
A4 : « la graine est de catégorie IV»
Soit l’événement B : « la graine engendre un épi de 50 grains au moins ».
P(B/A1) = 0,5
p(B/A2) = 0,15
p(B/A3) = 0,2
p(B/A4) = 0,05
Or A1, A2 , A3 et A4 forment une partition de Ω.
Donc p(B) = p(B/A1) p(A1) + p(B/A2) p(A2) + p(B/A3) p(A3) + p(B/A4) p(A4)
p(B) = 0,5 ×0,96 + 0,15 ×0,01 + 0,2 ×0,02 + 0,05 ×0,01 = 0,486
La probabilité pour que l’épi engendré par une semence prélevée au hasard porte 50 grains est de 0,486.
2
C
On considère les événements suivants :
A1 : « l’ampoule sort de U1 »
A2 : « l’ampoule sort de U2 »
B : « l’ampoule est conforme aux normes »
On a : p(A1) = 0,7, p(A2) = 0,3, p(B/A1) = 0,83 et p(B/A2) = 0,63
Or A1 et A2 sont deux événements disjoints qui forment une partition de .
Donc : p(B) = p(B ∩A1) + p(B ∩A2) = p(B/A1)p(A1) + p(B/A2)p(A2)
= 0,83 ×0,7+ 0,63 ×0,3 = 0,77
La probabilité pour qu’une ampoule soit conforme aux normes est donc de 0,77
Le théorème de Bayes :
1
C
Quelles sont les probabilités que le sujet ait été posé par :
Soit R l’évènement : « le chapitre R est tombé à l’examen ».
a)
L’enseignant A ?
P(R / A)P(A)
0.1x 0.35
=
≈ 0.0886
P(R / A)P(A) + P(R / B)P(B) + P(R / C)P(C) 0.1x 0.35 + 0.4x 0.4 + 0.25x 0.8
b) L’enseignant B ?
0.4x 0.4
P(B / R) =
≈ 0.40506
0.1x 0.35 + 0.4x 0.4 + 0.25x 0.8
c) L’enseignant C ?
0.25x 0.8
P(C / R) =
≈ 0.50633
0.1x 0.35 + 0.4x 0.4 + 0.25x 0.8
Soit les événements suivants :
Ai : « Le voyageur s’adresse à Fi » (i = 1, 2, 3)
B : « La route indiquée est la bonne »
1
1
5
9
p(Ai) = , p(B/A1) = , p(B/A2) = et p(B/A3) =
3
10
10
10
1) Comme les Ai forment une partition de l’espace fondamental, nous avons :
p(B) = p(B/A1) p(A1) + p(B/A2) p(A2) + p(B/A3) p(A3)
1 1 5 1 9 1
= × + × + ×
10 3 10 3 10 3
1 5 9 15 1
= + + = =
30 30 30 30 2
1
La probabilité que la route qui est indiquée au voyageur soit la bonne est de .
2
P(A / R) =
2
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PROBABILITES CONDITIONNELLES
p(B/Ai)p(Ai)
p(B)
1 1
5 1
×
×
10 3 1
10 3 1
Donc p(A1/B) =
=
; p(A2/B) =
= ;
1
15
1
3
2
2
2) D’après le théorème de Bayes : p(Ai/B) =
3
C
9 1
×
10 3 3
p(A3/B) =
=
1
5
2
Dans un atelier, la probabilité pour que l’article fabriqué satisfasse aux normes requises est de 0,96. On se propose d’adopter un
procédé simplifié de contrôle qui identifie comme « bons » avec une probabilité de 0,98 les articles effectivement conformes aux
normes, et avec une probabilité de 0,05 seulement ceux qui n’y satisfont pas.
1) Quelle est la probabilité pour qu’un article ayant subi le contrôle avec succès soit effectivement conforme aux normes ?
0.98x 0.96
P=
≈ 0.9979
0.98x 0.96 + 0.05x 0.04
2) Quelle est la probabilité pour qu’un article ayant subi à deux reprises avec succès ce contrôle soit effectivement
conforme aux normes ?
4
C
1)
2)
Quelle est la probabilité qu’une pièce déclarée défectueuse soit effectivement défectueuse ?
0.08x 0.95
p=
≈ 0.452
0.08x 0.95 + 0.92x 0.10
On choisi une pièce quelconque au hasard. Quelle est la probabilité qu’il y ait eu une erreur de tri sur cette pièce ?
p = 0.08x 0.05 + 0.92x 0.10 ≈ 0.096
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