devoir maison 7 - Collège Eugène Varlin

Collège Eugène Varlin
Mathématiques
3ème DEVOIR MAISON 7
Calcul littéral &Equation
2015/2016
À rendre le :
Lun. 23 mai 2016
Exercice 1 (Découverte de la troisième identité remarquable).
1Développer et réduire l’expression : E=(3y+5)(3y−5). On détaillera les calculs.
On utilise la double distributivité dont on rapelle la formule : (a+b)×(c+d)=a×c+a×d+b×c+d×d
Ici, a=3y;b=5;c=3yet d=−5(attention au signe, pour coller à la formule).
(3y+5)(3y−5)=3y×3y+3y×(−5)+5×3y+5×(−5)
=9y2+(−15y)+15y+(−25)
=9y2+0y+(−25)
=9y2−25
2Démontrer la troisième identité remarquable de degré 2:
(a+b)×(a−b)=a2−b2(I)
en développant et réduisant le membre de gauche.
On utilise de nouveau la double distributivité :
(a+b)×(a−b)=a×a−a×b+b×a−b×b
=a2−a×b+a×b−b2
=a2−b2
On a prouvé cette identité remarquable en développant le membre de gauche, comme indiqué.
Exercice 2 (Utilisation de la troisième identité remarquable).
Utiliser directement la troisième identité remarquable (de degré 2) pour ...
1... développer et réduire les expressions suivantes :
F=(α−2)×(α+2)G=(6+5y)(6−5y)
Pour ce produit et par rapport à l’identité remarquable, on
peut réécrire en échangeant les facteurs : (α−2)×(α+2)=
(α+2)×(α−2).
Ainsi, on a : a=αet b=2; d’où :
(α−2)×(α+2)=(α+2)×(α−2)
=α2−22
=α2−4
Par rapport à l’identité remarquable : a=6et b=5y; donc :
(6+5y)×(6−5y)=62−(5y)2
=36 −25y2
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2... factoriser les expressions ci-après.
H=(2−x)2−62
I=25 −(5x−3)2.On pourra écrire 25 comme le carré d’un nombre entier.
H=(2−x)2−62;a=2−xet b=6
=[(2−x)+6]×[(2−x)−6]
=[2−x+6]×[2−x−6]; on supprime les parenthèses car il y un signe positif sous-entendu
=[8−x]×[−4−x]
I=25 −(5x−3)2
=52−(5x−3); on écrit 25 sous la forme 52pour coller à la formule ; aussi a=5et b=5x−3
=[5+(5x−3)] ×[5−(5x−3)]
=[5+5x−3]×[5−5x+3]
=[2+5x]×[8−5x]
Exercice 3 (Équations particulières du second degré).
L’objectif de cette question est de résoudre l’équation :
(5x−2)2=49 (∆)
Résoudre, dans n’importe quel ordre, les équations suivantes :
(∆)∶(5x−2)2=49 (∇)∶x2=121
Résolvons (∆)∶(5x−2)2=49.
(5x−2)2=49 ; mettons le membre de droite à 0, comme l’indique l’exemple
(5x−2)2−49 =49 −49
(5x−2)2−49 =0; faisons apparaître une troisième identité remarquable, ...
(5x−2)2−49 =0; ... pour factoriser et se ramener à une équation produit-nul :
(5x−2)2−72=0; application troisième identité remarquable avec a=5x−2et b=7
(5x−2)+7×(5x−2)−7=0; factorisation par la troisième identité remarquable
5x−2+7×5x−2−7=0; on supprime les parenthèses, il y a signe + sous-entedu
5x+5×5x−9=0
Comme un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins de ses facteurs est nul, alors :
5x+5=0OU 5x−9=0
5x−5+5=0+5
5x=5
5x
5=5 5
x=1
5x−9+9=0+9
5x=9
5x
9=9 5
x=9
5=1,8
Les solutions de l’équation (5x−2)2=49 sont donc 1et 1,8.
Résolvons (∇)∶x2=121 en reprenant strictement la même démarche que précédemment.
x2=121
x2−121 =121 −121 =0
x2−112=0
(x+11)×(x−11)=0
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Comme un produit de facteurs est nul lorsqu’un au de ses facteurs est nul, il vient :
x+11 =0OU x−11 =0
x+11 −11 =0−11
x=−11
x−11 +11 =0+11
x=11
Les solutions de l’équation x2=121 sont donc 11 et −11.
Problème (Aire d’un carré).
Dans ce problème, toute trace pertinente de réexion sera prise en compte dans l’évaluation.
D’après les informations portées sur la gure, trouver x.
5x+2
Aire (ABCD) = 64
A
B C
D
D’une part, l’aire du carré ABCD vaut 64.
D’autre part, d’après la formule : aire d’un carré = côté ×côté , comme un côté a pour longueur 5x+2, l’aire du carré ABCD
s’exprime, en fonction de xpar (5x+2)×(5x+2)=(5x+2)2; il vient donc l’équation :
(5x+2)2=64 (⋆)
On résout donc cette équation sur le modèle de celles de l’exercice précédent :
(5x+2)2=64
(5x+2)2−64 =64 −64
(5x+2)2−82=0
(5x+2)+8×(5x+2)−8=0
5x+2+8×5x+2−8=0
5x+10×5x−6=0
Comme un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins des facteurs est nul, alors :
5x+10 =0
5x+10 −10 =0−10
5x=−10
5x
5=
−10
5
x=−2
OU
5x−8=0
5x−8+8=0+8
5x=8
5x
5=8 5
x=8
5=1,6
Les valeurs de xcherchées sont donc −2et 1,6.
Extension : En fait la valeur x=−2ne convient pas car alors, on aurait :
5x+2=5×(−2)+2=−10 +2=−8<0; or, une longueur est nécessairement un nombre positif.
La valeur x=1,6convient car 5×1,6+2=8+2=10 >0.
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