devoir maison 7 - Collège Eugène Varlin

Collège Eugène Varlin
Mathématiques
3ème
DEVOIR
MAISON 7
Calcul littéral & Equation
2015/2016
À rendre le :
Lun. 23 mai 2016
Exercice 1 (Découverte de la troisième identité remarquable).
1 Développer et réduire l’expression : E = (3y + 5)(3y − 5). On détaillera les calculs.
On utilise la double distributivité dont on rapelle la formule : (a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + d × d
Ici, a = 3y ; b = 5 ; c = 3y et d = −5 (attention au signe, pour coller à la formule).
(3y + 5)(3y − 5) = 3y × 3y + 3y × (−5) + 5 × 3y + 5 × (−5)
= 9y 2 + (−15y) + 15y + (−25)
= 9y 2 + 0y + (−25)
= 9y 2 − 25
2 Démontrer la troisième identité remarquable de degré 2 :
(a + b) × (a − b) = a2 − b2
(I)
en développant et réduisant le membre de gauche.
On utilise de nouveau la double distributivité :
(a + b) × (a − b) = a × a − a × b + b × a − b × b
= a2 − a × b + a × b − b2
= a2 − b2
On a prouvé cette identité remarquable en développant le membre de gauche, comme indiqué.
Exercice 2 (Utilisation de la troisième identité remarquable).
Utiliser directement la troisième identité remarquable (de degré 2) pour ...
1 ... développer et réduire les expressions suivantes :
F = (α − 2) × (α + 2)
G = (6 + 5y)(6 − 5y)
Pour ce produit et par rapport à l’identité remarquable, on
peut réécrire en échangeant les facteurs : (α − 2) × (α + 2) =
(α + 2) × (α − 2).
Par rapport à l’identité remarquable : a = 6 et b = 5y ; donc :
Ainsi, on a : a = α et b = 2 ; d’où :
(6 + 5y) × (6 − 5y) = 62 − (5y)2
(α − 2) × (α + 2) = (α + 2) × (α − 2)
= 36 − 25y 2
2
2
=α −2
= α2 − 4
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2015/2016
2 ... factoriser les expressions ci-après.
H = (2 − x)2 − 62
I = 25 − (5x − 3)2 . On pourra écrire 25 comme le carré d’un nombre entier.
H = (2 − x)2 − 62 ; a = 2 − x et b = 6
= [(2 − x) + 6] × [(2 − x) − 6]
= [2 − x + 6] × [2 − x − 6] ; on supprime les parenthèses car il y un signe positif sous-entendu
= [8 − x] × [−4 − x]
I = 25 − (5x − 3)2
= 52 − (5x − 3) ; on écrit 25 sous la forme 52 pour coller à la formule ; aussi a = 5 et b = 5x − 3
= [5 + (5x − 3)] × [5 − (5x − 3)]
= [5 + 5x − 3] × [5 − 5x + 3]
= [2 + 5x] × [8 − 5x]
Exercice 3 (Équations particulières du second degré).
L’objectif de cette question est de résoudre l’équation :
(5x − 2)2 = 49
Résoudre, dans n’importe quel ordre, les équations suivantes :
(∆) ∶ (5x − 2)2 = 49
(∇) ∶ x2 = 121
Résolvons (∆) ∶ (5x − 2)2 = 49.
(5x − 2)2
(5x − 2)2 − 49
(5x − 2)2 − 49
(5x − 2)2 − 49
(5x − 2)2 − 72
[(5x − 2) + 7] × [(5x − 2) − 7]
[5x − 2 + 7] × [5x − 2 − 7]
[5x + 5] × [5x − 9]
=
=
=
=
=
=
=
=
49
49 − 49
0
0
0
0
0
0
; mettons le membre de droite à 0, comme l’indique l’exemple
;
;
;
;
;
faisons apparaître une troisième identité remarquable, ...
... pour factoriser et se ramener à une équation produit-nul :
application troisième identité remarquable avec a = 5x − 2 et b = 7
factorisation par la troisième identité remarquable
on supprime les parenthèses, il y a signe + sous-entedu
Comme un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins de ses facteurs est nul, alors :
5x + 5 = 0
OU
5x − 9 = 0
5x − 9 + 9 = 0 + 9
5x − 5 + 5 = 0 + 5
5x
= 9
5x
= 5
5x
5x
5
= 95
=
9
5
5
x
= 1
x
= 95 = 1, 8
Les solutions de l’équation (5x − 2)2 = 49 sont donc 1 et 1, 8.
Résolvons (∇) ∶ x2 = 121 en reprenant strictement la même démarche que précédemment.
x2
x2 − 121
x2 − 112
(x + 11) × (x − 11)
2/3
=
=
=
=
121
121 − 121 = 0
0
0
(∆)
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Comme un produit de facteurs est nul lorsqu’un au de ses facteurs est nul, il vient :
x + 11 = 0
OU
x − 11 = 0
x − 11 + 11 = 0 + 11
x + 11 − 11 = 0 − 11
x
= −11
x = 11
Les solutions de l’équation x2 = 121 sont donc 11 et −11.
Problème (Aire d’un carré).
Dans ce problème, toute trace pertinente de réflexion sera prise en compte dans l’évaluation.
A
D
Aire (ABCD) = 64
D’après les informations portées sur la figure, trouver x.
5x + 2
B
C
D’une part, l’aire du carré ABCD vaut 64.
D’autre part, d’après la formule : aire d’un carré = côté × côté , comme un côté a pour longueur 5x + 2, l’aire du carré ABCD
s’exprime, en fonction de x par (5x + 2) × (5x + 2) = (5x + 2)2 ; il vient donc l’équation :
(5x + 2)2 = 64
(⋆)
On résout donc cette équation sur le modèle de celles de l’exercice précédent :
(5x + 2)2
(5x + 2)2 − 64
(5x + 2)2 − 82
[(5x + 2) + 8] × [(5x + 2) − 8]
[5x + 2 + 8] × [5x + 2 − 8]
[5x + 10] × [5x − 6]
=
=
=
=
=
=
64
64 − 64
0
0
0
0
Comme un produit de facteurs est nul lorsque l’un au moins des facteurs est nul, alors :
5x − 8
5x + 10
= 0
5x − 8 + 8
5x + 10 − 10 = 0 − 10
5x
OU
5x
= −10
5x
5x
= −510
5
5
x
= −2
x
= 0
= 0+8
= 8
= 85
= 85 = 1, 6
Les valeurs de x cherchées sont donc −2 et 1, 6.
Extension : En fait la valeur x = −2 ne convient pas car alors, on aurait :
5x + 2 = 5 × (−2) + 2 = −10 + 2 = −8 < 0 ; or, une longueur est nécessairement un nombre positif.
La valeur x = 1, 6 convient car 5 × 1, 6 + 2 = 8 + 2 = 10 > 0.
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