EPFL - Printemps 2017 M. Troyanov
Géométrie Riemannienne I Exercices
Série 5 30 mars 2017
5.1. Soit γ(t)=(t, c) = t+ic une portion d’horocycle et soit Xt=a1(t) + ia2(t)un champ le
long de γ. L’équation différentielle qui exprime que Xest parallèle fait intervenir les symboles
de Christoffel de la métrique hyperbolique calculés à la série précédente. Tous calculs faits, on
obtient ∇tXt= 0 si et seulement si
˙a1
˙a2=01
c
−1
c0·a1
a2
On résout cette équation par un calcul d’exponentielle de matrice (voir plus bas). On a finalement,
Xt=C1sin(t/c) + C2cos(t/c) + i(D1sin(t/c) + D2cos(t/c))
où les constantes dépendent des conditions initiales.
5.2. On considère en effet le cône tangent à la sphère dont l’intersection est exactement le cercle en
question.
Je ne donne pas de détails de calculs mais seulement les arguments théoriques qu’il faut utiliser.
Il y a deux choses importantes à remarquer :
(1) Le transport parallèle dans la sphère est le même que le transport parallèle dans le cône. En
effet, dans les deux cas la métrique est la métrique euclidienne induite par celle de R3.
(2) Le transport parallèle dans le cône est beaucoup plus simple à analyser que celui de la sphère.
En effet le cône est un objet euclidien (c’est un quotient par une rotation d’un domaine de
R2). Le transport parallèle est donc le même que dans le plan.
Pour terminer complètement l’exercice, il reste à exprimer l’angle au sommet du cône en fonction
de la position du cercle par rapport à l’équateur, puis d’en déduire par quelle rotation il faut
quotienter R2pour obtenir le cône en question. Plus de détails dans Gallot Hulin, Lafontaine
Riemannian geometry p.79.
5.3. (a) On vérifie que l’application
B:TgG−→ g
x7−→ X(p) = dgLpx
est un inverse de A(le champ Xainsi défini est invariant à gauche).
(b) Un théorème de topologie affirme que chaque champ de vecteur sur la sphère S2s’annule en
un point. Ici, dans un groupe de Lie, le résultat précédent implique que l’on peut trouver
des champs de vecteurs qui forment une base en chaque point. On prends en effet une base
quelconque de TeGet on construit avec ces vecteurs de base des champs invariants à gauche.
En chaque point ces champs forment une base.
(c) Il suffit de montrer que l’espace des champs invariants à gauche est une sous-algèbre de Lie
de l’algèbre de tous les champs de vecteurs. On montre alors que le crochet de deux champs
invariants à gauche est un champ invariant à gauche. On a en effet
Lg∗[X, Y ] = [Lg∗X, Lg∗Y]
puisque Lgest un difféomorphisme.