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EPFL - Printemps 2017
Géométrie Riemannienne I
M. Troyanov
Exercices
Série 5
30 mars 2017
5.1. Soit γ(t) = (t, c) = t + ic une portion d’horocycle et soit Xt = a1 (t) + ia2 (t) un champ le
long de γ. L’équation différentielle qui exprime que X est parallèle fait intervenir les symboles
de Christoffel de la métrique hyperbolique calculés à la série précédente. Tous calculs faits, on
obtient ∇t Xt = 0 si et seulement si
a˙1
0 1c
a
=
· 1
1
a˙2
−c 0
a2
On résout cette équation par un calcul d’exponentielle de matrice (voir plus bas). On a finalement,
Xt = C1 sin(t/c) + C2 cos(t/c) + i(D1 sin(t/c) + D2 cos(t/c))
où les constantes dépendent des conditions initiales.
5.2. On considère en effet le cône tangent à la sphère dont l’intersection est exactement le cercle en
question.
Je ne donne pas de détails de calculs mais seulement les arguments théoriques qu’il faut utiliser.
Il y a deux choses importantes à remarquer :
(1) Le transport parallèle dans la sphère est le même que le transport parallèle dans le cône. En
effet, dans les deux cas la métrique est la métrique euclidienne induite par celle de R3 .
(2) Le transport parallèle dans le cône est beaucoup plus simple à analyser que celui de la sphère.
En effet le cône est un objet euclidien (c’est un quotient par une rotation d’un domaine de
R2 ). Le transport parallèle est donc le même que dans le plan.
Pour terminer complètement l’exercice, il reste à exprimer l’angle au sommet du cône en fonction
de la position du cercle par rapport à l’équateur, puis d’en déduire par quelle rotation il faut
quotienter R2 pour obtenir le cône en question. Plus de détails dans Gallot Hulin, Lafontaine
Riemannian geometry p.79.
5.3. (a) On vérifie que l’application
B : Tg G −→ g
x
7−→ X(p) = dg Lp x
est un inverse de A (le champ X ainsi défini est invariant à gauche).
(b) Un théorème de topologie affirme que chaque champ de vecteur sur la sphère S2 s’annule en
un point. Ici, dans un groupe de Lie, le résultat précédent implique que l’on peut trouver
des champs de vecteurs qui forment une base en chaque point. On prends en effet une base
quelconque de Te G et on construit avec ces vecteurs de base des champs invariants à gauche.
En chaque point ces champs forment une base.
(c) Il suffit de montrer que l’espace des champs invariants à gauche est une sous-algèbre de Lie
de l’algèbre de tous les champs de vecteurs. On montre alors que le crochet de deux champs
invariants à gauche est un champ invariant à gauche. On a en effet
Lg∗ [X, Y ] = [Lg∗ X, Lg∗ Y ]
puisque Lg est un difféomorphisme.
(d) GLn (R) est un ouvert dense de Mn (R). On a donc
Te GLn (R) = Mn (R).
SLn (R) est une sous-variété de Mn (R) donnée par l’équation
SLn (R) = {M ∈ Mn (R) | detM − 1 = 0} .
Soit f la fonction
f : Mn (R) −→ R
M
7−→ detM − 1
On sait que le tangent à la sous-variété SLn (R) est décrit par le noyau de la différentielle de
f . Pour dériver l’application déterminant sur Mn (R), on peut consulter le "petit guide de
calcul différentiel" de F. Rouvière. On trouve
dI f · H = trH.
Le tangent de SLn (R) en I est donc constitué de l’ensemble des matrices de trace nulle.
Montrons ensuite que le crochet de deux matrices A et B est la matrice AB − BA. On utilise
la caractérisation suivante du crochet :
Lemme 1 Soit X et Y deux champs et soit θt le groupe à un paramètre de difféomorphismes
de M (le flot de Y ). Alors
d
θt X.
[X, Y ] =
dt |t=0 ∗
Le champ invariant à gauche associé à une matrice B ∈Mn (R) = TI GLn (R) est le champ
Bg ) = gB. Il est facile de voir, en résolvant explicitement l’équation différentielle que le flot
est donnée par
θt (g) = g exp(tB).
On obtient rapidement
θt∗ A = exp(tB)A exp(−tB).
La dérivée de cette quantité en 0 est bien BA − AB.
(e) L’idée est comme d’habitude de dire qu’un champ invariant à gauche est caractérisé par sa
valeur en un point.
(f) On fixe tout d’abord le paramètre s et on pose
fs : t 7→ γ(s + t)
et
gs : t 7→ γ(s)γ(t).
Il s’agit de montrer que ces deux fonctions sont les mêmes, pour chaque s. Vérifions que f et g
sont toutes d’eux des géodésiques. C’est évident pour fs puisque c’est une reparamétrisation
à vitesse constante d’une géodésique. On cherche ensuite à calculer ∇g˙s g˙s . On remarque que
gs (t) = Lγ(s) γ(t).
D’où
g˙s (t) = dγ(t) Lγ(s) γ̇(t).
L’équation d’invariance à gauche pour ∇ montre qu’alors
˙
= 0.
∇g˙s (t) g˙s (t) = Lg∗ ∇γ̇(t) γ(t)
2
L’équation différentielle des géodésiques est une équation d’ordre 2. Il faut donc montrer que
fs et gs ainsi que leurs dérivées coïncide en un point. Il est clair que
fs (0) = gs (0) = γ(s).
Pour montrer que les dérivées coïncident, on pose
ϕ(s) = f˙s (0)
et
ψ(s) = g˙s (0).
On procède comme précédemment pour montrer que ϕ et ψ sont les mêmes. Ces deux
fonctions prennent la même valeur en 0, en l’occurrence γ̇(0) (par hypothèse γ(0) = e).
Il reste à montrer que ces deux fonctions sont solutions de la même équation différentielle
d’ordre 1. On vérifie facilement comme plus haut que
∇ϕ ϕ = ∇ψ ψ = 0
et cette équation est bien d’ordre 1 (comme pour l’équation des champs parallèles).
5.4. Quelques propriétés de l’exponentielle dans le groupe GLn (exercice facultatif ).
J’ai tiré ces questions du livre Method’X Algèbre de Xavier Merlin (aucun lien...) dans le chapitre
dédié.
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