Fonctions, définition

Fonction: sa d´efinition.
Une fonction est une r`egle qui associe `a chaque nombre dans un ensemble de nombres donn´es
une valeur unique d´etermin´ee par cette r`egle. Par exemple:
•Nous d´efinissons la r`egle fcomme ´etant la r`egle “doubler le nombre pour ensuite
additionner 4 `a la valeur obtenue”. La r`egle s’exercera que sur l’ensemble des nombres
entiers Z={. . . , −3,−2,−2,0,1,2,3, . . .}
–Ordinairement on utilise les mots “la fonction f” au lieu de dire “la r`egle f” et
on ´ecrit f:Z→Zpour dire que la fonction fagit sur les nombres entiers Z
associant chaque entier dans Z`a un autre entier dans Z.
–Pour simplifier encore davantage la d´efinition de cette fonction on ´ecrit:
f(x) = 2x+ 4
.
–Cette fa¸con d’´ecrire la r`egle est tr`es utile. On peut ´ecrire que la fonction fassocie
au nombre 7 le nombre f(7) = 2 ·7 + 4 = 18 et il associe au nombre 0 le nombre
f(0) = 2 ·0 + 4 = 4.
–Chaque fois qu’on d´efinit une fonction f, il faut ´egalement sp´ecifier l’ensemble
de nombres sur lequel cette fonction fagit. On appelle cet ensemble sur lequel
fagit le domaine de f. Dans notre premier exemple le domaine de la fonction
fest Z.
–Si une fonction f(x) agit sur une valeur xdans son domaine elle associe `a xune
valeur y=f(x). On dit que yappartient `a l’image de f.
∗Par exemple, pour la fonction f(x) = x3avec domaine tous les nombres r´eels,
`a la valeur de 2 dans le domaine de fon retrouve la valeur f(2) = 23= 8
dans l’image de f.
–Donc on communiquerait cette fonction `a quelqu’un comme suit: f(x) = 2x+ 4
avec domaine Z.
•Une fonction peut ˆetre tr`es simple ou tr`es complexe. L’important c’est qu’elle soit
clairement d´efinie et qu’elle associe `a chaque nombre dans son domaine une unique
valeur. Aussi il n’est pas n´ecessaire d’utiliser la lettre fpour la repr´esenter; on peut
utiliser g,k, ou ce que vous voulez. Voici un autre exemple:
g(y) =
8
4−y2
y(y−3) + 2yavec domaine = R− {−2,0,2,3}
1

–L’expression “avec domaine = R−{−2,0,2,3}” signifie “le domaine est l’ensemble
de tous les nombres r´eels `a l’exception des valeurs {−2,0,2,3}”. On accepte pas
ces 4 valeurs dans le domaine puisque si on remplace le ypar une de ces valeurs
nous effectuons une division par 0. Puisque la division par 0 n’est pas d´efinie il
faut exclure ces valeurs du domaine.
–Mais `a part de ces valeurs {−2,0,2,3}on voit que la fonction gest bien d´efinie.
Pour y= 4 nous avons:
g(4) =
8
4−42
4(4 −3) + 2 ·4
=
8
4−16
4+ 8
=
8
−12
4+ 8
=2
−3×1 4+ 8
=1
−6+ 8
= 75
6
–Donc g(4) = 47
6. Tandis que les valeurs g(−2), g(0), g(2) et g(3) ne sont pas
d´efinies.
•Voici une autre fonction, celle-ci tr`es simple: k(x) = 8 avec domaine R. Cette fonction
associe `a tous les nombres le nombre 8.
•Voici un derni`ere exemple: s(x) = √xavec domaine “tous les nombres r´eels qui sont
non-n´egatifs.
–Donc s(16) = 4.
–Pour certaines valeurs telles que x= 2 nous pouvons seulement ´ecrire s(2) = √2
ou encore obtenir une approximation de la valeur s(2) `a l’aide d’une calculatrice.
Dans les exemples donn´es ci-dessus on a toujours exprim´e une fonction sous la forme f(x) =
···. Par exemple, g(x) = 3x2+ 7.
•Mais on peut ´egalement exprimer la mˆeme fonction sous la forme d’´equation
y= 3x2+ 7
.
2

•On utilise cette forme d’´equation surtout lorsqu’on veut repr´esenter la courbe de la
fonction g(x) = 3x2+ 7 dans le plan cart´esien.
–´ Egalement on repr´esente traditionnellement l’axe des ordonn´ees par yet l’axe
des abcisses par x.
–On dit mˆeme tr`es souvent l’axe des y’s et l’axe des x’s plutˆot que l’axe des
ordonn´ees et l’axe des abcisses.
–Donc au lieu de dire pour, x= 1, g(1) = 3(1)2+7 = 10, on peut dire simplement,
pour x= 1, y= 10 et donc le point (1, 10) se trouve sur la courbe de y= 3x2+7.
c
Club Pythagore, 2007
3