Fonctions, définition

Fonction: sa définition.
Une fonction est une règle qui associe à chaque nombre dans un ensemble de nombres donnés
une valeur unique déterminée par cette règle. Par exemple:
• Nous définissons la règle f comme étant la règle “doubler le nombre pour ensuite
additionner 4 à la valeur obtenue”. La règle s’exercera que sur l’ensemble des nombres
entiers Z = {. . . , −3, −2, −2, 0, 1, 2, 3, . . .}
– Ordinairement on utilise les mots “la fonction f ” au lieu de dire “la règle f ” et
on écrit f : Z → Z pour dire que la fonction f agit sur les nombres entiers Z
associant chaque entier dans Z à un autre entier dans Z.
– Pour simplifier encore davantage la définition de cette fonction on écrit:
f (x) = 2x + 4
.
– Cette façon d’écrire la règle est très utile. On peut écrire que la fonction f associe
au nombre 7 le nombre f (7) = 2 · 7 + 4 = 18 et il associe au nombre 0 le nombre
f (0) = 2 · 0 + 4 = 4.
– Chaque fois qu’on définit une fonction f , il faut également spécifier l’ensemble
de nombres sur lequel cette fonction f agit. On appelle cet ensemble sur lequel
f agit le domaine de f . Dans notre premier exemple le domaine de la fonction
f est Z.
– Si une fonction f (x) agit sur une valeur x dans son domaine elle associe à x une
valeur y = f (x). On dit que y appartient à l’image de f .
∗ Par exemple, pour la fonction f (x) = x3 avec domaine tous les nombres réels,
à la valeur de 2 dans le domaine de f on retrouve la valeur f (2) = 23 = 8
dans l’image de f .
– Donc on communiquerait cette fonction à quelqu’un comme suit: f (x) = 2x + 4
avec domaine Z.
• Une fonction peut être très simple ou très complexe. L’important c’est qu’elle soit
clairement définie et qu’elle associe à chaque nombre dans son domaine une unique
valeur. Aussi il n’est pas nécessaire d’utiliser la lettre f pour la représenter; on peut
utiliser g, k, ou ce que vous voulez. Voici un autre exemple:
g(y) =
8
4−y2
y(y − 3)
+ 2y
avec domaine = R − {−2, 0, 2, 3}
1
– L’expression “avec domaine = R−{−2, 0, 2, 3}” signifie “le domaine est l’ensemble
de tous les nombres réels à l’exception des valeurs {−2, 0, 2, 3}”. On accepte pas
ces 4 valeurs dans le domaine puisque si on remplace le y par une de ces valeurs
nous effectuons une division par 0. Puisque la division par 0 n’est pas définie il
faut exclure ces valeurs du domaine.
– Mais à part de ces valeurs {−2, 0, 2, 3} on voit que la fonction g est bien définie.
Pour y = 4 nous avons:
g(4) =
=
=
8
4−42
4(4 − 3)
8
4−16
4
+2·4
+8
8
−12
+8
4
2
1
=
× +8
−3 4
1
=
+8
−6
5
= 7
6
– Donc g(4) =
définies.
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6 .
Tandis que les valeurs g(−2), g(0), g(2) et g(3) ne sont pas
• Voici une autre fonction, celle-ci très simple: k(x) = 8 avec domaine R. Cette fonction
associe à tous les nombres le nombre 8.
√
• Voici un dernière exemple: s(x) = x avec domaine “tous les nombres réels qui sont
non-négatifs.
– Donc s(16) = 4.
√
– Pour certaines valeurs telles que x = 2 nous pouvons seulement écrire s(2) = 2
ou encore obtenir une approximation de la valeur s(2) à l’aide d’une calculatrice.
Dans les exemples donnés ci-dessus on a toujours exprimé une fonction sous la forme f (x) =
· · · . Par exemple, g(x) = 3x2 + 7.
• Mais on peut également exprimer la même fonction sous la forme d’équation
y = 3x2 + 7
.
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• On utilise cette forme d’équation surtout lorsqu’on veut représenter la courbe de la
fonction g(x) = 3x2 + 7 dans le plan cartésien.
– Également on représente traditionnellement l’axe des ordonnées par y et l’axe
des abcisses par x.
– On dit même très souvent l’axe des y’s et l’axe des x’s plutôt que l’axe des
ordonnées et l’axe des abcisses.
– Donc au lieu de dire pour, x = 1, g(1) = 3(1)2 +7 = 10, on peut dire simplement,
pour x = 1, y = 10 et donc le point (1, 10) se trouve sur la courbe de y = 3x2 + 7.
c Club Pythagore, 2007
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