Les probabilités - docsmaths

Chapitre 11
Les probabilités
1 Expérience aléatoires et loi de probabilité.
Définitions :
Une expérience est dite aléatoire si elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles que l'on ne peut ni prévoir, ni calculer.
L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'univers.
On notera souvent
Ω={x1; x2;..... ; xn}
l'ensemble des issues possibles.
Exemples :
On dispose d'un dé à six faces numéroté de 1 à 6. On lance ce dé en notant le résultat obtenu.
Ω=
On lance deux dés et on considère la somme S obtenue. L'univers associé à cette expérience aléatoire est
Ω=
Définitions :
Un événement est une partie de l'univers. (un ensemble d'issues)
L'événement impossible est l'ensemble vide noté
∅
.
L'événement certain est l'événement constitué de toutes les issues, c'est
Ω
Un événement élémentaire est une partie de
Ω
ne contenant qu'un seul élément.
Exemple :
On lance un dé à six faces.
Soit P l'événement "le résultat est pair" et I, l'événement "le résultat est impair"
P=
I=
L'événement "obtenir un nombre strictement supérieur à 6" est
L'événement "obtenir un nombre inférieur ou égal à 6" est
Définition:
On considère
Ω=
{
ω1;ω2;..... ;ωn
}
On définit une loi de probabilité p sur
Ω
en associant à chaque éventualité
ωi
un nombre réel
p(ωi)= pi
tel que :
pour tout
i∈Ω 0⩽p⩽1
p1+p2+....+pn=1
On dit que
pi
est la probabilité de l'éventualité
ωi
Pour tout événement A, on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A.
Si
A={a1;a2;..... ;ak}on a p(A)=p(a1)+p(a2)+....+p(ak)
On pose d'autre part:
p(∅)=0
i La probabilité de l'événement certain
Ω
est la somme des probabilités de toutes les éventualités et par définition on a
donc:
p(Ω)=1
Pour modéliser une expérience aléatoire on aura souvent recours au théorème de la loi des grands nombres dont
voici une version simplifiée:
La probabilité de l'apparition d'un résultat dans une épreuve est «pratiquement égale » à la fréquence d'apparition
de ce résultat quand on a répété un grand nombre de fois cette même épreuve.
Jacques ou Jakob Bernoulli (27 décembre 1654, Bâle - 16 août 1705) est un mathématicien et physicien suisse
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Exemples:
Pour un dé non truqué, on supposera que les différentes faces ont la même probabilité d'apparition, on utilisera la loi de
probabilité définie par:
Numéro
xi
123456
Fréquence
fi
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
La probabilité de l'événement A: "obtenir un numéro pair" est alors :
p(A)=
La loi de probabilité d'un dé truqué pourrait être donnée (par exemple) par le tableau suivant:
Numéro
xi
123456
Fréquence
fi
1
13
2
13
2
13
2
13
2
13
4
13
On vérifie bien que
1
13 +2 13 +2 13 +2 13 +2 13 +4 13 =1
La probabilité de l'événement A: "obtenir un nombre pair" est alors
p(A)=
2 Situation d'équiprobabilité:
Définition:
Lorsque tous les pi d'une loi de probabilité sont égaux, on est en situation d'équiprobabilité, on dit que la loi est
équirépartie.
Si l'univers de la loi contient n éléments, on a
pi=1
n
quel que soit i.
Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d'un événement A est la suivante:
p(A)=nombre d'issues favorables
nombre d'issues possibles
Exemples
Jeu de Pile ou Face:
Avec une pièce équilibrée, les deux faces ont la même probabilité de sortie, on a une loi équirépartie.
Pile Face
1
2
1
2
Lancement d'un dé
Avec un dé équilibré, toutes les faces ont la même probabilité de sortie, on a une loi équirépartie.
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3 Réunion et intersection d'événements.
Définitions:
Si A et B sont deux événements d'un univers
Ω
.
A
, événement contraire de A, est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas A.
A∩B
est l'ensemble des issues qui réalisent A et B. On parlera de l'intersection de A et B (A inter B)
A∪B
est l'ensemble des issues qui réalisent A ou B. On parlera de la réunion de A et B (A union B)
A∪B
est l'ensemble des issues qui réalisent A ou B.
Les événements A et B sont dits incompatibles si
A∩B=∅
(Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément)
Propriétés:
p étant une loi de probabilité quelconque sur un univers
Ω
.
Pour tout événement A, on a :
p(A)∈[0;1]
¯
A
étant le contraire de A, on a :
p (
¯
A ) =1−p ( A )
Si A et B sont deux événements quelconques, on a:
p(A∪B)+ p(A∩B)= p(A)+ p(B)
Si A est contenu dans B (noté
A⊂B
) c'est à dire que si l'événement A se réalise alors B se réalise également, on a :
p(A)⩽ p(B)
i Toutes ces formules se retrouvent facilement grâce au schéma suivant:
i Si A et B sont deux événements incompatibles, on a:
p(A∪B)= p(A)+ p(B)
Si
A1; A2;...... ; Ak
sont des événements deux à deux incompatibles (on dit aussi disjoints), on a:
p(A1∪A2∪.....∪Ak)=p(A1)+ p(A2)+....+p(Ak)
Exemple :
On lance un dé à six faces équilibré. Soit A l'événement "le résultat est pair" , B l'événement le résultat est strictement
inférieur à 4" et C l'événement "le résultat est 6"
A= p(A)=
B= p(B)=
A∩B: obtenir un résultat pair et inférieur ou égal à 3 A∩B= p(A∩B)=
A∪B: Obtenir un résultat pair ou inférieur ou égal à 3 A∪B= p(A∪B)=
On retrouve le dernier résultat en utilisant la formule
p(A∪B)= p(A)+ p(B)−p(A∩B)=3
6+3 6−1 6=5 6
C= C: le résultat est différent de 6 C= p ( C ) =
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