Signal 5 Les oscillateurs forcés

Signal 5 Les oscillateurs forcés
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus
Régime sinusoïdal forcé, impédances complexes.
Association de deux impédances.
Oscillateur électrique ou mécanique soumis à une excitation sinusoïdale.
Résonance.
Capacités exigibles
- Établir et connaître l’impédance d’une résistance, d’un condensateur,
d’une bobine en régime harmonique.
- Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une
impédance équivalente.
- Mettre en œuvre un dispositif expérimental autour du phénomène de résonance.
- Utiliser la méthode des complexes pour étudier le régime forcé.
- À l’aide d’un outil de résolution numérique, mettre en évidence le rôle du
facteur de qualité pour l’étude de la résonance en élongation ou en tension.
- Relier l’acuité d’une résonance au facteur de qualité.
- Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes
expérimentaux d’amplitude et de phase.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Le régime sinusoïdal forcé
1.1 Exemple du circuit RC série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le régime forcé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 La notation complexe pour l’étude des signaux
2.1 Rappel mathématique sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 L’amplitude complexe d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dérivations et intégrations en notations complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
4
3 Les impédances
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Impédance des dipôles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
4 Lois de l’électrocinétique en régime sinusoïdal forcé
4.1 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Association d’impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Ponts diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
7
8
5 Étude du régime forcé du circuit RC
5.1 Position du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Détermination de l’amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Utilisation de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
10
6 Étude du phénomène de résonance en tension du circuit RLC
6.1 Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance
6.2 La fonction de transfert du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Le phénomène de résonance et la bande passante . . . . . . . . . . . . .
6.4 Résonance en élongation d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
13
13
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Dans les premiers chapitres d’électricité ou de mécanique, nous avons toujours étudié les régimes transitoires entre deux régimes constants. Mais que se passe-t-il lorsque le régime d’excitation n’est pas constant,
mais qu’il dépend du temps ? C’est la question que nous allons traiter dans ce chapitre en étudiant en
détail le régime sinusoïdal forcé.
Maxime Champion - www.mchampion.fr
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Signal 5 : Les oscillateurs forcés
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1.1
Maxime Champion
Le régime sinusoïdal forcé
Exemple du circuit RC série
Étudions le circuit électrique de la figure 1.
UR (t)
i
R
e(t) = e0 sin ωt
C
UC (t)
Fig. 1 – Un générateur de tension sinusoïdale e0 sin ωt est branché sur un condensateur initialement déchargé
en série avec une résistance.
Relations des dipôles :
. loi d’Ohm UR (t) = Ri(t) ;
dq(t)
dUC (t)
=C
.
dt
dt
Loi des mailles : e(t) = UR (t) + UC (t) .
. relation du condensateur i(t) =
Équation différentielle : Par substitution, on trouve au final l’équation différentielle
e0
dUC (t) 1
+ UC (t) =
sin ωt
dt
τ
τ
(1.1)
avec τ = RC.
Forme de la solution générale de l’équation :
. Solution homogène : USH (t) = K exp(−t/τ ) avec K une constante ;
. Solution particulière : le second membre de l’équation est une sinusoïde de pulsation ω, ainsi la théorie
générale des équations différentielles implique que la solution particulière est une fonction sinusoïdale
de même pulsation, d’amplitude différente et éventuellement déphasée. On note
USP (t) = U sin(ωt + ϕ)
avec U et ϕ des constantes que nous ne cherchons pas à déterminer pour le moment.
. Solution générale : au final, la solution de l’équation différentielle (1.1) est de la forme
UC (t) = USH (t) + USP (t) = K exp(−t/τ ) + U sin(ωt + ϕ) .
1.2
(1.2)
Le régime forcé
La solution (1.2) est une somme de deux fonctions du temps :
. la partie exponentielle représente le régime transitoire que nous avons déjà étudié en détail dans les
chapitres précédents. En particulier, nous savons que pour t > 5τ , cette fonction est quasiment nulle et
nous pouvons la négliger ;
. la partie sinusoïdale représente le régime permanent, au sens où cette fonction ne diminue pas d’amplitude en fonction du temps.
Définition. Le régime sinusoïdal forcé correspond au régime permanent d’un système physique lorsque
l’élément excitateur est de forme sinusoïdale. Ce régime est toujours établi après la disparition d’un régime
transitoire.
Expérience 1 : Le régime forcé du circuit RC.
En pratique, on suppose toujours que le régime transitoire est suffisamment court pour pouvoir être
négligé.
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Remarque : L’étude des régimes transitoires a déjà été réalisée précédemment. Pour les systèmes d’ordre 1, on renvoie à la lecture du chapitre E3 sur les circuits linéaires du premier
ordre. Pour les systèmes d’ordre 2, le régime transitoire sera de la forme de ceux décrits dans
le chapitre S4 précédent sur les oscillateurs amortis.
Propriété. Considérons un système linéaire dont le signal d’entrée est de la forme
e(t) = e0 sin ωt
(1.3)
avec e0 l’amplitude du signal d’entrée et ω sa pulsation imposée par l’opérateur.
Alors en régime sinusoïdal forcé, la théorie générale des équations différentielles linéaires impose que
les différents signaux mesurables en sortie seront tous des signaux sinusoïdaux de même pulsation et de
la forme
s(t) = U sin(ωt + ϕ)
(1.4)
avec U l’amplitude du signal de sortie et ϕ le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.
L’objectif d’un problème en régime sinusoïdal forcé est de trouver ces deux constantes.
Attention, comme nous l’avons constaté expérimentalement, ces constantes dépendent de la pulsation ω.
Le régime sinusoïdal permet d’étudier tous les régimes forcés des systèmes linéaires. En effet, si le signal
d’entrée n’est pas sinusoïdal, le traitement par le théorème de Fourier permet de le décomposer en une
somme de signaux sinusoïdaux, et donc de lui appliquer les règles que nous allons décrire dans ce chapitre.
En cours de mathématique, plusieurs méthodes ont étés décrites pour trouver les constantes U et ϕ.
On peut par exemple injecter cette solution dans l’équation différentielle pour en déduire des équations sur
ces constantes ou, de manière équivalente, utiliser une méthode complexe. Dans le cadre de notre étude,
nous présentons la méthode standard en physique, qui consiste à formaliser cette méthode complexe sur
les systèmes électriques et mécaniques.
2
2.1
La notation complexe pour l’étude des signaux
Rappel mathématique sur les nombres complexes
√
Le module d’un nombre complexe z = a + ib vaut |z| = a2 + b2 . L’argument φ d’un nombre complexe
z = a + ib vaut φ = arctan(b/a). Ces résultats se retrouvent géométriquement par une étude dans le plan
complexe. Avec ces notations, le nombre complexe peut s’écrire z = |z|ejφ .
=z
b = |z| sin φ
2
2
|z
O
√ a
|=
+
b
z
φ
a = |z| cos φ
<z
Le module d’une fraction z1 /z2 vaut le rapport des modules |z1 |/|z2 |. L’argument d’une fraction z1 /z2
vaut arg z1 - arg z2 .
Application 1 : Quelle est la notation exponentielle du nombre j ? Et celle de 1/j ?
2.2
L’amplitude complexe d’un signal
Définition. Lors de l’étude des signaux, on note j le nombre complexe tel que
j 2 = −1 .
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On utilise cette notation pour ne pas confondre ce nombre complexe avec le courant électrique, noté
généralement i.
Propriété. Prenons la fonction réelle u(t) = U cos(ωt + ϕ). L’application de la formule mathématique
d’Euler implique que u(t) est la partie réelle d’une exponentielle complexe soit
U cos(ωt + ϕ) = < U ej(ωt+ϕ)
.
En s’appuyant sur la propriété précédente, plutôt que de manipuler des fonctions sinusoïdales, on utilisera toujours la forme exponentielle complexe, plus simple à manipuler grâce à la propriété de l’exponentielle
ea eb = ea+b .
Définition. Soit le signal physique u(t) = U cos(ωt + ϕ). Sa notation complexe est U (t) = U ejϕ ejωt . On
note l’amplitude complexe du signal u(t)
U = U ejϕ .
À partir de l’amplitude complexe, on déduit
. l’amplitude réelle du signal U = |U | ;
. la phase du signal ϕ = arg U .
Le soulignement permet de ne pas oublier que l’on manipule des grandeurs complexes.
Remarque : Si le signal est un sinus au lieu d’un cosinus, cela rajoute un déphasage de π/2
dans l’exponentielle qui ne change rien au raisonnement global.
Propriété. Les deux inconnues U et ϕ de la solution du régime forcée (1.4) sont contenues dans la grandeur
complexe U . L’objectif d’une étude d’un oscillateur forcé est donc de trouver cette grandeur.
2.3
Dérivations et intégrations en notations complexes
Calculons la dérivée du signal complexe U (t). On a
d jωt dU (t)
dejωt
=
Ue
=U
= U jωejωt = jωU (t) .
dt
dt
dt
Propriété. La dérivation du signal complexe U (t) correspond à une multiplication par jω.
Cette propriété permet de simplifier grandement tous les calculs de dérivée, et même d’intégrales.
Application 2 : Comment manipuler une dérivée d’ordre 2 ? Et une intégration ?
3
3.1
Les impédances
Définition
Définition. Une impédance est une grandeur physique définie comme un rapport de proportionnalité
entre deux grandeurs physiques dont le produit a une signification énergétique.
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Définition. En électricité, on définit l’impédance Z d’un dipôle comme le rapport entre la tension U (t)
et le courant i(t) en convention récepteur, soit la loi d’Ohm en régime sinusoïdal forcé
U (t) = Z i(t) .
L’impédance électrique Z a la dimension d’une résistance, son unité est l’ohm.
U (t)
i(t)
Z
Fig. 2 – Une impédance en convention récepteur.
Le régime sinusoïdal forcé en électricité est donc l’étude des tensions ou courants en notation complexe.
La notion d’impédance permet d’exprimer toutes les grandeurs électriques en notation complexe, et donc
permet l’étude des régimes sinusoïdaux forcés.
Propriété. Comme pour les résistances, l’impédance
. Z = 0 impose une tension nulle quel que soit le courant, c’est un fil ;
. |Z| → +∞ impose un courant nul quelle que soit la tension, c’est un interrupteur ouvert.
3.2
Impédance des dipôles usuels
I Les résistances
On a en régime réel la loi d’Ohm U (t) = Ri(t), soit en régime complexe, on a donc U (t) = Ri(t).
Propriété. L’impédance ZR d’une résistance R vaut ZR = R .
U
Déphasage : Si UR (t) = U ejωt , on a donc iR (t) = ejωt . Il n’y a pas de déphasage entre courant et
R
tension. C’est dû au fait que l’impédance d’une résistance est réelle.
Le courant traversant une résistance et la tension à ses bornes sont en phases.
I Les condensateurs
On a en régime réel la loi i(t) = C
dU (t)
dU (t)
, soit en régime complexe i(t) = C
= jCωU (t).
dt
dt
Propriété. L’impédance ZC d’un condensateur C vaut ZC =
1
.
jCω
π
U jωt
e = jCωU ejωt = CωU ej (ωt+ 2 ) . Il a un déphasage
ZC
de π/2 entre courant et tension. C’est dû au fait que l’impédance d’un condensateur est un imaginaire pur.
π
Le courant traversant un condensateur est en avance de phase de
par rapport à la tension à ses
2
bornes.
Déphasage : Si UC (t) = U ejωt , on a donc iC (t) =
iC (t)
=z
UC (t)
ωt
O
<z
Fig. 3 – Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d’un condensateur et du courant le
traversant.
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1
, on a
jCω
. aux basses fréquences, soit ω → 0, il vient |ZC | → +∞, le condensateur est équivalent à un
interrupteur ouvert ;
. aux hautes fréquences, soit ω → +∞, il vient |ZC | → 0, le condensateur est équivalent à un fil.
Comportement fréquentiel : Pour un condensateur d’impédance ZC =
Remarque : Le régime basses fréquences en régime forcé est équivalent au régime permanent
en régime temporel. En effet, un signal de fréquence nulle correspond bien à un signal constant.
I Les inductances
On a en régime réel la loi U (t) = L
di(t)
di(t)
, soit en régime complexe U (t) = L
= jLωi(t).
dt
dt
Propriété. L’impédance ZL d’une bobine L vaut ZL = jLω .
U jωt
U jωt
U j (ωt− π )
2 . Il a un déphasage
e
=
e
=
e
ZL
jLω
ωL
de π/2 entre courant et tension. C’est dû au fait que l’impédance d’une bobine est un imaginaire pur.
π
Le courant traversant un condensateur est en retard de phase de
par rapport à la tension à ses
2
bornes.
Déphasage : Si UL (t) = U ejωt , on a donc iL (t) =
=z
UL (t)
ωt
O
<z
iL (t)
Fig. 4 – Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d’une bobine et du courant la traversant.
Comportement fréquentiel : Pour un condensateur d’impédance ZL = jLω, on a
. aux basses fréquences, soit ω → 0, il vient |ZC | → 0, l’inductance est équivalente à un fil ;
. aux hautes fréquences, soit ω → +∞, il vient |ZC | → +∞, l’inductance est équivalent à un
interrupteur ouvert.
I Les impédances en mécanique
On utilise les équivalence électriques et mécaniques décrites en fin de chapitre précédent.
4
Mécanique
Électricité
Capacité 1/C
Raideur du ressort k
Résistance R
Inductance L
Coefficient de frottement λ
Masse m
Impédance mécanique
k
jω
λ
jmω
Lois de l’électrocinétique en régime sinusoïdal forcé
L’intérêt des impédances est qu’elles vérifient la loi d’Ohm. Ainsi, tout se passe en régime sinusoïdal
forcé comme si tous les dipôles étaient des résistances. Les lois de l’électricité en continu des chapitres E1
et E2 se retrouvent donc toutes.
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4.1
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Lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff restent vraies dans le cadre de l’ARQS (voir chapitre E1), c’est-à-dire qu’on peut
négliger les phénomènes de propagation des courants et tensions électriques. Théoriquement, cela impose
une fréquence limite dépendant de la vitesse de propagation et de la taille du circuit. En pratique, cette
fréquence sera toujours beaucoup plus grandes que les fréquences utilisées.
Propriété. La loi des mailles et la loi des nœuds restent valables en régime sinusoïdal forcé dans le
cadre de l’ARQS.
4.2
Association d’impédances
I Association en série
Considérons deux impédances Z1 et Z2 en série, donc parcourues par un même courant i(t). On note
U (t) la tension aux bornes des deux impédances.
Z1
Z2
i(t)
U1 (t)
U2 (t)
U (t)
On a par la loi d’Ohm U1 (t) = Z1 i(t) et U2 (t) = Z2 i(t). Par ailleurs, par définition, il vient U (t) =
U1 (t) + U2 (t) et donc on a U (t) = (Z1 + Z2 )i(t). Tout se passe donc comme si U (t) était la tension aux
bornes d’une impédance équivalente Zeq .
Propriété. En série, les impédances s’ajoutent
Zeq = Z1 + Z1 .
Application 3 : Que vaut l’impédance d’une résistance R en série avec un condensateur C ?
I Association en parallèle
Considérons deux impédances Z1 et Z2 en parallèles, donc ayant une même tension U (t) à leurs bornes.
On note i(t) le courant total parcourant le dispositif.
U (t)
i1 (t)
Z1
i(t)
i2 (t)
Z2
On a par la loi d’Ohm U (t) =!Z1 i1 (t) et U (t) = Z2 i2 (t). Par ailleurs, par la loi des nœuds, il vient
1
1
i(t) = i1 (t) + i2 (t) =
+
U (t). Tout se passe donc comme si U (t) était la tension aux bornes d’une
Z1 Z2
impédance équivalente Zeq .
Propriété. En parallèle, les inverses des impédances s’ajoutent
1
1
1
=
+
.
Zeq
Z1 Z2
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Application 4 : Quelle est l’impédance équivalente de l’ensemble ci-dessous.
R
L
C
4.3
Ponts diviseurs
Les ponts diviseurs restent valables en régime sinusoïdal forcé et ils vont prendre une grande importance
dans les études électriques.
I Le pont diviseur de tension
On est confronté à la situation de la figure 5 où U (t), Z1 et Z2 sont connus et on cherche U2 (t) (ou
U1 (t)). Les deux impédances sont en série, on a donc U (t) = (Z1 + Z2 )i(t) et de même U2 (t) = Z2 i(t).
U (t)
U2 (t)
=
.
Ainsi, i(t) =
Z1 + Z2
Z2
Propriété. Le pont diviseur de tension indique que
U1 (t) =
Z1
U (t)
Z1 + Z2
U2 (t) =
et
Z1
Z2
U (t) .
Z1 + Z2
Z2
i(t)
U1 (t)
U2 (t)
U (t)
Fig. 5 – Le pont diviseur de tension.
Application 5 : Quelle est l’expression de la tension UL (t) dans le circuit ci-dessous en fonction de
la tension U (t) ?
U (t)
R
L
UL (t)
I Le pont diviseur de courant
On est confronté à la situation de la figure 6 où i(t), Z1 et Z2 sont connus et on cherche i2 (t) (ou
Z1 Z2
i1 (t)). Les deux impédances sont en parallèle, on a donc U (t) = Zeq i(t) avec Zeq =
et de même
Z1 + Z2
Z1 Z2
U (t) = Z2 i2 (t). Ainsi, U (t) =
i(t) = Z2 i2 (t).
Z1 + Z2
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Propriété. Le pont diviseur de courant indique que
i1 (t) =
Z2
i(t)
Z1 + Z2
i2 (t) =
et
Z1
i(t) .
Z1 + Z2
U (t)
Z1
i1 (t)
i(t)
i2 (t)
Z2
Fig. 6 – Le pont diviseur de courant.
5
Étude du régime forcé du circuit RC
5.1
Position du problème
Reprenons le problème du circuit RC étudié en début de chapitre figure 1.
On étudie la tension aux bornes du condensateur en régime sinusoïdal forcé. Nous supposons donc que
le régime transitoire est achevée. Ainsi, on a
UC (t) = U0 sin(ωt + ϕ) .
En notations complexes, on a
e(t) = e0 ejωt = eejωt
UC (t) = U0 ejϕ ejωt = UC ejωt .
et
On cherche les constantes U0 et ϕ contenue dans la grandeur complexe UC .
5.2
Détermination de l’amplitude complexe
I À partir de l’équation différentielle
Repartons de l’équation (1.1)
dUC (t)
1
e0
+
UC (t) =
sin ωt
dt
RC
RC
que nous pouvons réécrire en grandeurs complexes
dUC (t)
1
e0 jωt
+
UC (t) =
e
dt
RC
RC
soit
jωUC ejωt +
1
e0 jωt
UC ejωt =
e .
RC
RC
On peut isoler UC et l’on constate que
UC =
e0
.
1 + jRCω
I À partir du circuit électrique
Reprenons le circuit de la figure 1 que nous réécrivons en terme d’impédances.
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ZR
ZC
e(t)
UC (t)
Fig. 7 – Représentation du circuit de la figure 1 directement en grandeurs complexes à l’aide des impédances.
On reconnaît un pont diviseur de tension, soit
UC (t) =
ZC
1/(jCω)
1
e(t) =
e(t) =
e(t)
ZC + ZR
1/(jCω) + R
1 + jRCω
soit en simplifiant par ejωt pour se ramener uniquement aux amplitudes complexes, il vient à nouveau
UC =
e0
.
1 + jRCω
Cette méthode est beaucoup plus rapide que la précédente, car l’établissement de l’équation différentielle
est un raisonnement qui peut prendre du temps.
I La fonction de transfert
Définition. La fonction de transfert d’un système H(ω) est définie par
H(ω) =
s
s(t)
=
e(t)
e
avec s(t) le signal complexe de sortie du système (s son amplitude complexe) et e(t) le signal complexe
d’entrée du système (e son amplitude complexe).
Remarque : Comme les signaux sont juste une amplitude complexe multipliée par le facteur
ejωt , la fonction de transfert se réduit au rapport des amplitudes complexes avec les exponentielles se simplifie. Cela est possible car toutes les grandeurs oscillent à la même pulsation, ce qui
est imposé par le fait que nous cherchons des solutions particulières d’équations différentielles
avec second membre sinusoïdale.
La fonction de transfert contient toutes les informations recherchées sur la phase et l’amplitude de UC .
En effet, dans le problème du circuit RC, le signal d’entrée est le signal e(t) tandis que le signal de sortie
est le signal UC (t), soit donc
UC = H(ω)e0 = H(ω)e0 .
Ainsi, à l’aide des calculs précédents, on a montré que la fonction de transfert du circuit RC vaut
Dans le circuit RC, on a
1
H(ω) =
1+j
où l’on a pose ω0 =
5.3
ω
ω0
1
. On constate que cette grandeur est bien une fonction de la pulsation ω.
RC
Utilisation de la fonction de transfert
On sait que UC = U0 #”
e jϕ = H(ω)e0 .
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I Amplitude du signal de sortie
Propriété. On a par définition
U0 = |H(ω)|e0 .
L’amplitude du signal de sortie dépend de la pulsation du signal d’entrée.
On peut calculer la norme de la fonction de transfert
|H(ω)| = 1
1
= s
.
ω2
1 + j ω 1+ 2
ω0 ω
0
I Déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée
La phase du signal d’entrée e(t) valait ωt. Par construction, celle du signal de sortie vaut ωt + ϕ. Ainsi,
ϕ représente bien le déphasage entre le signal d’entrée et le signal de sortie.
Propriété. On a par définition
ϕ = arg H(ω) .
Le déphasage dépend de la pulsation du signal d’entrée.
On peut calculer l’argument de la fonction de transfert en utilisant le rappel sur les nombres complexes
du paragraphe 2.1, c’est-à-dire que la tangente de la phase d’un nombre complexe vaut la partie imaginaire
divisée par la partie réelle, soit
ω
arg H(ω) = arg 1 − arg 1 + j
ω0
= − arctan
ω
.
ω0
I Solution finale
Ainsi, avec un signal d’entrée de pulsation ω fixée et choisie par l’opérateur, on peut calculer la fonction
de transfert puis, à l’aide du module et de l’argument de celle-ci, on peut en déduire l’amplitude et le
déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.
On peut manipuler les fonctions correspondantes sur l’animation [1].
Schématiquement, on a
e(t) = e0 cos ωt
6
6.1
Circuit RC
s(t) = |H(ω)|e0 cos (ωt + arg H(ω))
Étude du phénomène de résonance en tension du circuit RLC
Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance
On souhaite maintenant étudier le circuit RLC série représenté figure 8.
À l’aide de l’animation [2], on constate que, pour certaines valeurs des composants R, L et C, l’amplitude
de la tension de sortie peut être supérieure à celle de la tension d’entrée.
Nous allons réaliser une étude détaillée en régime sinusoïdal forcé pour le mettre en évidence.
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Signal 5 : Les oscillateurs forcés
Maxime Champion
e(t) = e0 sin ωt
i(t)
R
C
L
uC (t)
Fig. 8 – Un circuit RLC série est alimenté par une tension sinusoïdale. On s’intéresse à la tension aux bornes
du condensateur.
Expérience 2 : TP 18 - Résonance en tension du circuit RLC
6.2
La fonction de transfert du système
À partir de la figure 8, on passe directement en régime forcé et, à l’aide d’un pont diviseur de tension,
on obtient immédiatement
ZC
UC (t) =
e(t)
ZC + ZR + ZL
soit, en remplaçant les impédances par leurs valeurs
UC (t) =
1/(jCω)
e(t) .
1/(jCω) + R + jLω
On met ce terme sous la forme d’une fonction rationnelle en ω, et il vient
H(ω) =
UC (t)
=
e(t)
1
1−
ω2
ω02
!
1 ω
+j
Q ω0
.
(6.1)
Par identification, on constate que
1
Q=
R
s
L
C
et
ω0 = √
1
.
LC
On retrouve le facteur de qualité et la pulsation propre de l’oscillateur amorti.
Comme pour l’étude du circuit RC, schématiquement, on a
e(t) = e0 cos ωt
Circuit RLC
s(t) = |H(ω)|e0 cos (ωt + arg H(ω))
Les différentes fonctions sont tracées figure 9. À partir du graphe du déphasage, on peut en mesurer la
pulsation propre du système.
Propriété. On constate sur la relation (6.1) que, pour ω = ω0 , la fonction de transfert est un imaginaire
pure, le déphasage entre la tension aux bornes du condensateur et la tension aux bornes du générateur
π
vaut alors − .
2
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Signal 5 : Les oscillateurs forcés
Maxime Champion
|H(ω)|
arg H(ω)
ω0
Q=3
ω
0
Q = 1.5
Q = 0.6
Q = 0.6
−
π
2
Q = 1.5
Q=3
1
ω
0
ω0
−π
Fig. 9 – Effet du facteur de qualité Q sur l’allure de la réponse en tension du circuit RLC série. Selon sa
valeur, un maximum existe ou non pour la tension aux bornes du condensateur. Ce maximum n’a pas lieu pour
la pulsation propre ω0 . Par contre, le déphasage de −π/2 a toujours lieu pour ω0 .
6.3
Le phénomène de résonance et la bande passante
Définition. Le phénomène de résonance correspond à l’existence d’une gamme de pulsation telle que
l’amplitude du signal
√ de sortie soit supérieure à l’amplitude du signal d’entrée. Ce phénomène n’apparaît
que pour Q > 1/ 2.
La pulsation ωr pour laquelle le signal de sortie est maximal est la pulsation de résonance.
Définition. La bande passante [ω1 , ω2 ] d’un système correspond à l’ensemble des pulsations tels que
ω ∈ [ω1 , ω2 ]
=⇒
|H(ω)| >
Hmax
.
2
Plus le facteur de qualité est élevé, plus la bande passante est petite. On parle de résonance aïgue.
√
Remarque : On utilise un facteur 1/ 2 sur la bande passante pour se ramener aux grandeurs
énergétiques. En effet, la puissance est proportionnelle au carré du signal, donc à de H 2 (ω). La
bande passante correspond donc à l’ensemble des fréquences pour lesquelles au moins la moitié
de l’énergie maximale transmissible passe du générateur vers la grandeur étudiée.
Les différentes notions sont visualisée figure 10. Il faut être capable de mesurer √
la pulsation de résonance
sur un graphique de ce type. Si le graphe n’a pas de résonance, c’est que Q < 1/ 2.
6.4
Résonance en élongation d’un ressort
Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, il y a une équivalence entre les systèmes électriques et
mécaniques. En effet, reprenons l’équation différentielle de l’oscillateur amorti, il vient
z̈(t) +
ω0
ż(t) + ω02 z(t) = ω02 z0 (t)
Q
avec z0 (t) la position du plafond, qui est maintenant variable avec le temps.
Cette équation décrit assez bien le fonctionnement d’un amortisseur de voiture, composé d’un ressort
et d’un système de frottement visqueux.
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Signal 5 : Les oscillateurs forcés
Maxime Champion
|H(ω)|
Hmax
√
Hmax / 2
0
ω(rad · s−1 )
ω1 ωr ω2
∆ω
Fig. 10 – Pulsation propre et bande passante pour la résonance en tension. Plus le facteur de qualité est grand,
plus la résonance est aïgue.
En passant en régime complexe, on constate que
H(ω) =
z(t)
=
z0 (t)
1
1−
ω2
!
ω02
1 ω
+j
Q ω0
,
soit la même fonction de transfert que celle du circuit RLC.
Ainsi, un phénomène de résonance a aussi lieu sur l’élongation du ressort, qui doit nécessairement être
contrôlé, surtout dans le cas des amortisseur où un tel phénomène doit être absolument évité. On pourra
manipuler le phénomène sur l’animation [3].
Références
[1] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Alternatif/
transfert1RLC.php
[2] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Alternatif/
transfert2RLC.php
[3] http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Oscillateurs/
suspension.php
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