Signal 5 Les oscillateurs forcés

Signal 5 Les oscillateurs forcés
Lycée Polyvalent de Montbéliard - Physique-Chimie - TSI 1 - 2016-2017
Contenu du programme officiel :
Notions et contenus Capacités exigibles
Régime sinusoïdal forcé, impédances complexes. - Établir et connaître l’impédance d’une résistance, d’un condensateur,
d’une bobine en régime harmonique.
Association de deux impédances. - Remplacer une association série ou parallèle de deux impédances par une
impédance équivalente.
Oscillateur électrique ou mécanique soumis à une exci-
tation sinusoïdale.
Résonance.
-Mettre en œuvre un dispositif expérimental autour du phéno-
mène de résonance.
- Utiliser la méthode des complexes pour étudier le régime forcé.
- À l’aide d’un outil de résolution numérique, mettre en évidence le rôle du
facteur de qualité pour l’étude de la résonance en élongation ou en tension.
- Relier l’acuité d’une résonance au facteur de qualité.
- Déterminer la pulsation propre et le facteur de qualité à partir de graphes
expérimentaux d’amplitude et de phase.
En gras les points devant faire l’objet d’une approche expérimentale.
Table des matières
1 Le régime sinusoïdal forcé 2
1.1 Exemple du circuit RC série ..................................... 2
1.2 Lerégimeforcé............................................. 2
2 La notation complexe pour l’étude des signaux 3
2.1 Rappel mathématique sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 L’amplitude complexe d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Dérivations et intégrations en notations complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Les impédances 4
3.1 Définition ................................................ 4
3.2 Impédance des dipôles usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Lois de l’électrocinétique en régime sinusoïdal forcé 6
4.1 LoisdeKirchhoff............................................ 7
4.2 Association d’impédances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Pontsdiviseurs............................................. 8
5 Étude du régime forcé du circuit RC 9
5.1 Positionduproblème.......................................... 9
5.2 Détermination de l’amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3 Utilisation de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Étude du phénomène de résonance en tension du circuit RLC 11
6.1 Position du problème et mise en évidence expérimentale de la résonance . . . . . . . . . . . . 11
6.2 La fonction de transfert du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3 Le phénomène de résonance et la bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.4 Résonance en élongation d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dans les premiers chapitres d’électricité ou de mécanique, nous avons toujours étudié les régimes transi-
toires entre deux régimes constants. Mais que se passe-t-il lorsque le régime d’excitation n’est pas constant,
mais qu’il dépend du temps ? C’est la question que nous allons traiter dans ce chapitre en étudiant en
détail le régime sinusoïdal forcé.
Maxime Champion - www.mchampion.fr 1/14

Signal 5 : Les oscillateurs forcés Maxime Champion
1 Le régime sinusoïdal forcé
1.1 Exemple du circuit RC série
Étudions le circuit électrique de la figure 1.
R
i
C
e(t) = e0sin ωt UC(t)
UR(t)
Fig. 1 – Un générateur de tension sinusoïdale e0sin ωt est branché sur un condensateur initialement déchargé
en série avec une résistance.
Relations des dipôles :
loi d’Ohm UR(t) = Ri(t);
relation du condensateur i(t) = dq(t)
dt=CdUC(t) dt.
Loi des mailles : e(t) = UR(t) + UC(t).
Équation différentielle : Par substitution, on trouve au final l’équation différentielle
dUC(t)
dt+1 τUC(t) = e0 τsin ωt (1.1)
avec τ=RC.
Forme de la solution générale de l’équation :
Solution homogène : USH(t) = Kexp(−t/τ)avec Kune constante ;
Solution particulière : le second membre de l’équation est une sinusoïde de pulsation ω, ainsi la théorie
générale des équations différentielles implique que la solution particulière est une fonction sinusoïdale
de même pulsation, d’amplitude différente et éventuellement déphasée. On note
USP(t) = Usin(ωt +ϕ)
avec Uet ϕdes constantes que nous ne cherchons pas à déterminer pour le moment.
Solution générale : au final, la solution de l’équation différentielle (1.1) est de la forme
UC(t) = USH(t) + USP(t) = Kexp(−t/τ) + Usin(ωt +ϕ).(1.2)
1.2 Le régime forcé
La solution (1.2) est une somme de deux fonctions du temps :
la partie exponentielle représente le régime transitoire que nous avons déjà étudié en détail dans les
chapitres précédents. En particulier, nous savons que pour t > 5τ, cette fonction est quasiment nulle et
nous pouvons la négliger ;
la partie sinusoïdale représente le régime permanent, au sens où cette fonction ne diminue pas d’am-
plitude en fonction du temps.
Définition. Le régime sinusoïdal forcé correspond au régime permanent d’un système physique lorsque
l’élément excitateur est de forme sinusoïdale. Ce régime est toujours établi après la disparition d’un régime
transitoire.
Expérience 1 : Le régime forcé du circuit RC.
En pratique, on suppose toujours que le régime transitoire est suffisamment court pour pouvoir être
négligé.
2/14

Signal 5 : Les oscillateurs forcés Maxime Champion
Remarque : L’étude des régimes transitoires a déjà été réalisée précédemment. Pour les sys-
tèmes d’ordre 1, on renvoie à la lecture du chapitre E3 sur les circuits linéaires du premier
ordre. Pour les systèmes d’ordre 2, le régime transitoire sera de la forme de ceux décrits dans
le chapitre S4 précédent sur les oscillateurs amortis.
Propriété. Considérons un système linéaire dont le signal d’entrée est de la forme
e(t) = e0sin ωt (1.3)
avec e0l’amplitude du signal d’entrée et ωsa pulsation imposée par l’opérateur.
Alors en régime sinusoïdal forcé, la théorie générale des équations différentielles linéaires impose que
les différents signaux mesurables en sortie seront tous des signaux sinusoïdaux de même pulsation et de
la forme
s(t) = Usin(ωt +ϕ)(1.4)
avec Ul’amplitude du signal de sortie et ϕle déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.
L’objectif d’un problème en régime sinusoïdal forcé est de trouver ces deux constantes.
Attention, comme nous l’avons constaté expérimentalement, ces constantes dépendent de la pulsation ω.
Le régime sinusoïdal permet d’étudier tous les régimes forcés des systèmes linéaires. En effet, si le signal
d’entrée n’est pas sinusoïdal, le traitement par le théorème de Fourier permet de le décomposer en une
somme de signaux sinusoïdaux, et donc de lui appliquer les règles que nous allons décrire dans ce chapitre.
En cours de mathématique, plusieurs méthodes ont étés décrites pour trouver les constantes Uet ϕ.
On peut par exemple injecter cette solution dans l’équation différentielle pour en déduire des équations sur
ces constantes ou, de manière équivalente, utiliser une méthode complexe. Dans le cadre de notre étude,
nous présentons la méthode standard en physique, qui consiste à formaliser cette méthode complexe sur
les systèmes électriques et mécaniques.
2 La notation complexe pour l’étude des signaux
2.1 Rappel mathématique sur les nombres complexes
Le module d’un nombre complexe z=a+ib vaut |z|=√a2+b2. L’argument φd’un nombre complexe
z=a+ib vaut φ= arctan(b/a). Ces résultats se retrouvent géométriquement par une étude dans le plan
complexe. Avec ces notations, le nombre complexe peut s’écrire z=|z|ejφ.
=z
<z
O
|z|=√a2+b2
z
b=|z|sin φ
a=|z|cos φ
φ
Le module d’une fraction z1/z2vaut le rapport des modules |z1|/|z2|. L’argument d’une fraction z1/z2
vaut arg z1- arg z2.
Application 1 : Quelle est la notation exponentielle du nombre j? Et celle de 1/j ?
2.2 L’amplitude complexe d’un signal
Définition. Lors de l’étude des signaux, on note jle nombre complexe tel que
j2=−1.
3/14

Signal 5 : Les oscillateurs forcés Maxime Champion
On utilise cette notation pour ne pas confondre ce nombre complexe avec le courant électrique, noté
généralement i.
Propriété. Prenons la fonction réelle u(t) = Ucos(ωt +ϕ). L’application de la formule mathématique
d’Euler implique que u(t)est la partie réelle d’une exponentielle complexe soit
Ucos(ωt +ϕ) = <Uej(ωt+ϕ).
En s’appuyant sur la propriété précédente, plutôt que de manipuler des fonctions sinusoïdales, on utili-
sera toujours la forme exponentielle complexe, plus simple à manipuler grâce à la propriété de l’exponentielle
eaeb= ea+b.
Définition. Soit le signal physique u(t) = Ucos(ωt +ϕ). Sa notation complexe est U(t) = Uejϕejωt . On
note l’amplitude complexe du signal u(t)
U=Uejϕ .
À partir de l’amplitude complexe, on déduit
l’amplitude réelle du signal U=|U|;la phase du signal ϕ= arg U.
Le soulignement permet de ne pas oublier que l’on manipule des grandeurs complexes.
Remarque : Si le signal est un sinus au lieu d’un cosinus, cela rajoute un déphasage de π/2
dans l’exponentielle qui ne change rien au raisonnement global.
Propriété. Les deux inconnues Uet ϕde la solution du régime forcée (1.4) sont contenues dans la grandeur
complexe U. L’objectif d’une étude d’un oscillateur forcé est donc de trouver cette grandeur.
2.3 Dérivations et intégrations en notations complexes
Calculons la dérivée du signal complexe U(t). On a
dU(t)
dt=d dtUejωt=Udejωt dt=Ujωejωt =jωU(t).
Propriété. La dérivation du signal complexe U(t)correspond à une multiplication par jω.
Cette propriété permet de simplifier grandement tous les calculs de dérivée, et même d’intégrales.
Application 2 : Comment manipuler une dérivée d’ordre 2 ? Et une intégration ?
3 Les impédances
3.1 Définition
Définition. Une impédance est une grandeur physique définie comme un rapport de proportionnalité
entre deux grandeurs physiques dont le produit a une signification énergétique.
4/14

Signal 5 : Les oscillateurs forcés Maxime Champion
Définition. En électricité, on définit l’impédance Zd’un dipôle comme le rapport entre la tension U(t)
et le courant i(t)en convention récepteur, soit la loi d’Ohm en régime sinusoïdal forcé
U(t) = Z i(t).
L’impédance électrique Za la dimension d’une résistance, son unité est l’ohm.
Z
i(t)
U(t)
Fig. 2 – Une impédance en convention récepteur.
Le régime sinusoïdal forcé en électricité est donc l’étude des tensions ou courants en notation complexe.
La notion d’impédance permet d’exprimer toutes les grandeurs électriques en notation complexe, et donc
permet l’étude des régimes sinusoïdaux forcés.
Propriété. Comme pour les résistances, l’impédance
 Z = 0 impose une tension nulle quel que soit le courant, c’est un fil ;
|Z| → +∞impose un courant nul quelle que soit la tension, c’est un interrupteur ouvert.
3.2 Impédance des dipôles usuels
ILes résistances
On a en régime réel la loi d’Ohm U(t) = Ri(t), soit en régime complexe, on a donc U(t) = Ri(t).
Propriété. L’impédance ZRd’une résistance Rvaut ZR=R .
Déphasage : Si UR(t) = Uejωt, on a donc iR(t) = U
Rejωt. Il n’y a pas de déphasage entre courant et
tension. C’est dû au fait que l’impédance d’une résistance est réelle.
Le courant traversant une résistance et la tension à ses bornes sont en phases.
ILes condensateurs
On a en régime réel la loi i(t) = CdU(t)
dt, soit en régime complexe i(t) = CdU(t) dt=jCωU (t).
Propriété. L’impédance ZCd’un condensateur Cvaut ZC=1
jCω .
Déphasage : Si UC(t) = Uejωt, on a donc iC(t) = U
ZC
ejωt =jCωU ejωt =CωUej(ωt+π
2). Il a un déphasage
de π/2entre courant et tension. C’est dû au fait que l’impédance d’un condensateur est un imaginaire pur.
Le courant traversant un condensateur est en avance de phase de π
2par rapport à la tension à ses
bornes.
=z
<z
O
UC(t)
iC(t)
ωt
Fig. 3 – Schématisation dans le plan complexe de la tension aux bornes d’un condensateur et du courant le
traversant.
5/14