Théor`eme de Pythagore

3`eme G´eom´etrie 2015/2016
Th´eor`eme de Pythagore
1 Carr´e et racine carr´ee d’un nombre relatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Th´eor`eme de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 R´eciproque du th´eor`eme de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Contrapos´ee du th´eor`eme de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
●Nombres et calculs : carr´e et racine carr´ee d’un nombre positif, les quatre op´erations
●G´eom´etrie : triangles et quadrilat`eres, angles
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3`eme : Th´eor`eme de Pythagore 2015/2016
1 Carr´e et racine carr´ee d’un nombre relatif
1(Carr´e d’un nombre).
On appelle carr´e d’un nombre a, le nombre a×a, not´e a2, et qui se lit ≪aau carr´e ≫.
Exemple
(a) 42=16 car 42=4×4=16.
(b) 2,52=6,25 car 2,52=2,5×2,5=6,25.
(c) (−3)2=9 car (−3)2=(−3)×(−3)=+9.
(d) −1,32=−1,69 car −1,32=−1,3×1,3=−1,69.
Remarque Le carr´e d’un nombre est n´ecessairement positif (r`egle des signes).
Un carr´e parfait est un nombre qui est le carr´e d’un nombre entier. Par exemple, 529 est un
carr´e parfait car il est le carr´e de 23 (232=23 ×23 =529).
Donner les vingt-et-un premiers carr´es parfaits (c’est-`a-dire des nombres entiers compris entre 0 `a 20).
2(Racine carr´ee d’un nombre).
Une racine carr´ee d’un nombre positif aest un nombre, not´e √a, qui, ´elev´e au carr´e, donne a; c’est-`a-
dire, (√a)2=a.
Exemple
(a) √25 =5 car 52=5×5=25. (b) √1,96 =1,4 car 1,42=1,4×1,4=1,96.
Remarque
1. La racine carr´ee est le processus inverse du carr´e.
2. La racine carr´ee est toujours calcul´ee `a partir d’un nombre positif (car le carr´e d’un nombre est toujours
positif).
2 Th´eor`eme de Pythagore
1(Th´eor`eme de Pythagore).
Si un triangle est rectangle, alors le carr´e de l’hypot´enuse est ´egal `a la somme des carr´es de l’angle
droit ; autrement dit,
si ABC est un triangle rectangle en A,
alors
BC2=AB2+AC2(´ Egalit´e de Pythagore)
Illustration
Hypoth`eses Th´eor`eme de Pythagore Conclusion
hypot´enuse
cˆot´es de l’angle droit
a
b
c
A
B
C
⇒a2=b2+c2
BC2=AB2+AC2
2

3`eme : Th´eor`eme de Pythagore 2015/2016
D´ emonstration : [Repose sur les propri´et´es des angles et des quadrilat`eres]
Pour cette d´emonstration, on reproduit `a l’identique le triangle rectangle marron a 4 fois par figure et on
les dispose comme sur les figures ci-dessous :
Figure 1
A B
CD
E
F
G
H
b
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
b
I
JK
L
M
N
OP
Q
a
b
a
b
b
a
b
a
Figure 2
A B
C
D
E
F
G
H
f1
e2
a1
g1
f2
b1
c1
g2
h1
d1
h2
e1
I
JK
L
M
N
OP
Q
a
b
a
b
b
a
a
b
On d´emontre d’une part que AABC D =2×ab+c2et d’autre part que AI J KL =2×ab+a2+b2pour en conclure
finalement que c2=a2+b2.
◻
Exemple
1. Trouver la longueur de l’hypot´enuse.
Soit ABC un triangle rectangle en Atel que {AB =12
AC =5. Calculons la longueur de l’hypot´enuse BC.
Comme le triangle ABC rectangle en A, alors on applique le th´eor`eme de Pythagore :
BC2=AB2+AC2
=122+52
=144 +25
=169
d’o`u BC =+√169
=13
2. Trouver la longueur d’un cˆot´e de l’angle droit.
Soit EF G un triangle rectangle en Ftel que {EF =4
F G =5. Calculons la longueur EG.
Comme le triangle EF G est rectangle en E, alors appliquons le th´eor`eme de Pythagore :
EG2+EF 2=F G2
EG2+42=52
EG2+16 =25
donc EG2=25 −16
EG2=9
et enfin EG =+√9
EG =3
1. Calculer la longueur d’une diagonale d’un rectangle de longueur 8 et de largeur 6.
2. Calculer la longueur de la petite diagonale d’un losange de cˆot´e 13 et de grande diagonale 24 (on rappelle
que les diagonales d’un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires entre elles).
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3`eme : Th´eor`eme de Pythagore 2015/2016
3 R´eciproque du th´eor`eme de Pythagore
2(R´eciproque du th´eor`eme de Pythagore).
Dans un triangle,
si le carr´e du plus grand cˆot´e est ´egal `a la somme des carr´ees des deux autres cˆot´es, alors ce triangle
est rectangle et son hypot´enuse est le plus grand cˆot´e ; autrement dit,
si ABC est un triangle qui v´erifie BC2=AB2+AC2o`u [BC]est le plus grand cˆot´e,
alors ABC est rectangle en A.
Illustration
Donn´ees R´eciproque Conclusion
? ?
a
b
c
A
B
C
⇒
OUI !!
a
b
c
A
B
C
a2=b2+c2
BC2=AB2+AC2ABC est un triangle rectangle en A
Exemple On consid`ere le triangle BLE v´erifiant ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
BL =5,7
LE =9,5
BE =7,6
. Montrons que ce triangle est rectangle.
Le plus grand cˆot´e est [LE], donc si le triangle est rectangle, il l’est en Bet [LE]en est l’hypot´enuse.
Comme {BE2+BL2=7,62+5,72=57,76 +32,49 =90,25
LE2=9,52=90,25
alors BE2+BL2=LE2; d’apr`es le (la r´eciproque du) th´eor`eme de Pythagore on en conclut que le triangle BLE
est rectangle en B.
Le triangle MNO tel que ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
MN =7
MO =24
NO =25
est-il rectangle ? Justifier.
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3`eme : Th´eor`eme de Pythagore 2015/2016
4 Contrapos´ee du th´eor`eme de Pythagore
1(Contrapos´ee du th´eor`eme de Pythagore).
Dans un triangle,
si le carr´e du plus grand cˆot´e n’est pas ´egal `a la somme des carr´es des deux autres cˆot´es,
alors le triangle n’est pas rectangle ; autrement dit,
si ABC est un triangle qui v´erifie BC2≠AB2+AC2o`u [BC]est le plus grand cˆot´e,
alors ABC n’est pas rectangle.
Illustration
Donn´ees Contrapos´ee Conclusion
? ?
a
b
c
A
B
C
⇒
NON !!
a
b
c
A
B
C
a2≠b2+c2
BC2≠AB2+AC2ABC n’est pas rectangle.
Exemple On consid`ere le triangle UV W tel que ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
UV =7
UW =7
V W =12
. Le triangle UV W est-il rectangle ?
Si UV W ´etait un triangle rectangle, il le serait en Ucar [V W ]est le plus grand cˆot´e et serait alors son
hypot´enuse. {UV 2+UW 2=72+72=49 +49 =98
V W 2=122=144 , donc V W 2≠UV 2+UW 2.
On en d´eduit, avec le (la contrapos´ee du) th´eor`eme de Pythagore que U V W n’est pas rectangle mais isoc`ele en
U.
Le triangle IJK tel que ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
IJ =4
IK =5
JK =6
est-il rectangle ? Justifier.
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