Generer des nombres premiers, un problème de P?
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Generer des nombres premiers, un problème de P? Soutenance de projet 03 juin 2015 TROCLET PHILLIPPE ESSNOUSSI REDA SAID EMILIO Grenoble-INP - ENSIMAG Plan: Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats expérimentaux Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion Résultats expérimentaux Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Introduction Generer des nombres premiers, un problème de P? 2 Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Présentation I L’algorithme AKS. I Implémentation et résultats. I Résultats théoriques sur les nombres premiers. I Génération des nombres premiers en pratique. Résultats expérimentaux Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Algorithme AKS Outils utilisés Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques 3 I Identité AKS: soient a ∈ Z n ∈ N tel que pgcd(a, n) = 1 On a: (X + a)n ≡ X n + a[n] I Minoration du ppcm Soit n ∈ N, n ≥ 7, alors on a ppcm(1, ..., n) ≥ 2n I Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats expérimentaux Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion soit n ∈ N, n ≥ 2, alors il existe r ≤ max(3, dlog5 (n)e) tel que: or (n) > log2 (n) 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Algorithme AKS Validité de l’algorithme Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction 1. si n = ab pour a ∈ N et b > 1, alors n est COMPOSÉ. Résultats théoriques 4 Algorithme AKS Théorie des nombres 2. Déterminer le plus petit entier r tel que or (n) > log 2 (n). Résultats expérimentaux 3. Si 1 < a ∧ n < n pour un entier a ≤ r , alors n est COMPOSÉ . Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion 4. Si n ≤ r , alors n est PREMIER. p 5. Pour a = 1 à b ϕ(r ) log nc : si (X + a)n 6≡ X n + a [X r − 1, n], alors n est COMPOSÉ. 6. n est PREMIER. 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Théorie des nombres Répartition chaotique Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS 5 Théorie des nombres Résultats expérimentaux 1. Existence d’une borne maximale? Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Théorie des nombres Répartition chaotique Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS 5 Théorie des nombres Résultats expérimentaux 1. Existence d’une borne maximale? Algorithme AKS 2. Tentatives de majoration. Génération des nombres premiers Conclusion 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Théorie des nombres Répartition chaotique Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS 5 Théorie des nombres Résultats expérimentaux 1. Existence d’une borne maximale? Algorithme AKS 2. Tentatives de majoration. Génération des nombres premiers 3. Tentatives de minoration. Conclusion 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Théorie des nombres Répartition chaotique Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS 5 Théorie des nombres Résultats expérimentaux 1. Existence d’une borne maximale? Algorithme AKS 2. Tentatives de majoration. Génération des nombres premiers 3. Tentatives de minoration. Conclusion 4. Théorème de Linnik. 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Algorithme AKS Un algorithme trop coûteux: Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats expérimentaux 6 Algorithme AKS Génération des nombres premiers Conclusion Figure: évolution du temps d’exécution en fonction de la taille de l’entrée. 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Génération des nombres premiers Heuristique sur la distance entre nombres premiers Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats expérimentaux Algorithme AKS 7 Génération des nombres premiers Conclusion Figure: évolution de l’espérance d’arrêt en fonction de k (1024 bits). 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Génération des nombres premiers Algorithmes de génération de nombres premiers Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats expérimentaux Algorithme AKS 8 Génération des nombres premiers Conclusion Figure: Comparaison d’algorithmes de génération de nombres premiers. 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Génération des nombres premiers Algorithmes de génération de nombres premiers Generer des nombres premiers, un problème de P? Introduction Résultats théoriques Algorithme AKS Théorie des nombres Résultats expérimentaux Algorithme AKS 9 Génération des nombres premiers Conclusion Figure: Comparaison d’algorithmes de génération de nombres premiers. 9 Grenoble-INP - ENSIMAG Merci pour votre attention!
