1 Mesure de la composante horizontale du champ magnétique

MP1 Lycée Janson de Sailly
Corrigé du DM n°7
Corrigé du DM n°7
1
On sait que les positions d’équilibre de la boussole correspondent au cas où le moment magnétique est aligné avec le champ
magnétique. Dans le cas d’une boussole avec un axe de rotation
vertical, il faut que celle-ci soit alignée avec la composante horizontale :
−
→
µ0 MT sin θP →
−
Bh = +
ex
3
4π
R
Cependant, afin d’étudier la stabilité de l’équilibre, il vaut mieux
utiliser l’énergie potentielle magnétique du dipôle qui s’écrit :
Mesure de la composante horizontale du
champ magnétique terrestre
1) Localement au voisinage de la surface terrestre (sol), la verti−
−
cale est selon le vecteur →
e r et l’horizontale selon le vecteur →
e θ,
comme indiqué sur la figure ci-dessous :
→
−
er
−
→
Bh
→
−
eθ
→
−
B (M )
Direction nord
−
→→
−
−
→−
→
−
→ µ0 MT sin θP →
−
Ep = −M . B = −M .Bh = − M .
ex
4π
R3
µ0 MT sin θP
M cos(α)
=−
4π
R3
sol
Direction sud
d’où :
Ep = −
Il faut faire attention au fait que, dans l’hémisphère nord θP ∈
[0, π/2], donc cos(θP ) > 0 et sin(θP ) > 0, ce qui conduit à deux
composantes Br < 0 et Bθ < 0. Ainsi, la composante horizontale
Bh du champ magnétique (que l’on prendra positive Bh > 0)
est égale à − Bθ et elle est bien dirigée vers le nord magnétique
(qui correspond à θ = 0). De plus, le champ magnétique local est
dirigé vers le sol.
−
→
M
2) Utilisons le théorème du moment cinétique. La boussole tourne
autour d’un axe vertical Gz passant par son barycentre G. Son
−
moment cinétique s’écrit J α̇ →
ez . Les moments des actions auquelles elle est soumise s’écrivent :
y
•
→
−
eθ
• Force magnétique :
−
→ −
→ →
−
−
→
−
−
ΓG = M ∧ B = M ∧ (Bh →
ex + Bv →
ez )
−
→ −
−
= − M B sin α →
e +B M ∧→
e
→
−
ex
α −
→
Bh
→
−
ey
G
µ0 M MT sin θP
cos α
4π
R3
Pour θP fixé, Ep est une fonction de l’angle α. Les positions
d’équilibre correspondent à un minimum de Ep vis à vis de α ce
qui correspond à α = 0.
Le schéma ci-dessous indique la situation de la boussole vue du
dessus. Celle-ci tourne autour de l’axe vertical Gz passant par
son barycentre G, l’angle de rotation étant α :
x
h
•
→
−
ez
z
| v {z
→
⊥−
ez
−−→
−−→
• MG (poids) = GG ∧ m~g = ~0.
−−→
• Pivot parfaite donc MG (pivot) = ~0.
Boussole
1
z
}
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−
Le théorème du moment cinétique en projection sur →
ez conduit
à:
M Bh
J α̈ = − M Bh sin α ⇐⇒ α̈ +
sin α = 0
J
L’intensité du champ magnétique terrestre s’écrit :
→
−
µ 0 MT p
µ M p
2 θ + sin2 θ = 0 T
kBk=
4
cos
2 cos2 θ + 1
4π R3
4π R3
Elle est maximale aux pôles Nord et Sud magnétiques et minimale à l’équateur magnétique (θ = π/2). On a donc :
√
→
−
→
−
3 µ 0 MT
µ 0 MT
k B kmax =
et k B kmin =
4π R3
4π R3
−
→
µ0 MT sin θ
avec : Bh =
et M = kM k.
3
4π R
3) Pour de petites oscillations, sin α ≈ α.
r On obtient un oscillateur
M Bh
harmonique de pulsation propre ω =
et donc de période :
J
T0 =
2π
= 2π
ω
s
→
−
→
−
ce qui donne : k B kmin = 32 µT et k B kmax = 55 µT.
J
M Bh
2
4) On obtient les deux périodes τ1 et τ2 en remplaçant à partir du
résultat de la question précédente, en remplaçant Bh par Be +Bh
puis par Be − Bh . On obtient donc :
s
τ1 = 2π
J
et τ2 = 2π
M (Be + Bh )
s
1)
s
v0 =
J
M (Be − Bh )
τ1 2
τ2
=⇒ Bh = Be
2
τ1
1+
τ2
τ1
=
τ2
Be − Bh
Be + Bh
2Ec
=
m
s
2Ec NA
= 2,8 × 106 m.s−1
M (Li)
−
→
2) On sait que la force magnétique peut s’écrire, si M est constant :
−−→
−−→
−→
−
Fm = − grad Ep = grad(Mz Bz ) = Mz a →
ez
d’où :
s
Expérience de Stern et Gerlach
Il s’agit d’une force constante. La projection du principe fondamental de la dynamique sur les vecteurs de base conduit à :
1−

 x(t) =

 ẍ = 0
 z̈
5) Application numérique : Bh = 24 µT.
6) On a :
=
Mz a =⇒
 z(t) =
m
d’où par élimination de t :
Bh =
µ0 MT sin θP
4π
R3
d’où MT =
4πBh R3
µ0 sin θP
z=
A.N. : MT = 8,3.1022 A.m2
Mz a x2
Mz a x2
=
2mv0 2
4Ec
On a aussi y = 0 à tout instant.
2
v0 t
Mz a t2
2m
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3) La trajectoire est ensuite rectiligne uniforme avec la vitesse acquise à la sortie de la zone où règne le champ magnétique, c’est
à dire en x = `. En x = `, la vitesse vaut :
→
−
v =

 v0

Mz a`
mv0
d’où en changeant l’origine des temps et en convenant que t = 0
lorsque x = `


 x(t) = v0 t + `



 z(t)
=
Mz a` t
+ z(`)
mv0
Au moment de l’impact, x = ` + D donc t = D/v0 , ce qui implique :
z0 =
Mz a` D Mz a `2
Mz a` D
+
z(`)
=
+
2Ec
4Ec
mv02
soit :
Mz a `
`
D+
2Ec
2
z0 =
4) Il y a seulement deux valeurs possibles pour Mz et elles sont
opposées. Les valeurs de Mz sont donc quantifiées.
5) Application numérique : Mz = ± 9,55.10−24 A.m2 .
6) Aux deux valeurs possibles de Mz correspondent deux valeurs
possibles de Sz , qui valent numériquement :
Sz /~ = ±0,5
On trouve donc que le spin de l’électron vaut donc ±1/2.
3