corrigé du TP4 1. Résistance d`un générateur - Jean
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1 TRACÉ ET MODÉLISATION DE CARACTÉRISTIQUES - corrigé du TP4 1. Résistance d’un générateur • Pour mesurer une résistance, l'ohm-mètre utilise son alimentation pour imposer un courant dans le dipôle étudié et compare (puisque c'est un voltmètre) la tension correspondante à celle aux bornes d'une résistance étalon parcourue par le même courant : Eʼ V r rʼ ohm-mètre V • L'ensemble étant parcouru par un même courant, le principe du pont diviseur de tension permet d'en déU duire la résistance : r = rʼ . U" • Si au contraire on branche un générateur dont la force électromotrice n'est pas nulle, les tensions mesurées ne correspondent pas à ce qui est supposé par le procédé de mesure : ! générateur B.F. (avec sa résistance) E Eʼ r V rʼ ohm-mètre V E" # E donc les tensions mesurées sont (avec le générateur considéré r" + r r E" + r"E E" # E comme récepteur) : U = E + r I = et Uʼ = rʼ I = rʼ . r" + r r" + r Le courant est dans ce cas : I = ! U r E" + r"E L'ohm-mètre affiche alors la grandeur : rapp = rʼ = qui n'est pas une expression affine de E. U " E" # E ! ! r" E 1+ # & r E" ≈ r. %1+ r" + r E ( = r + r" + r E. Toutefois, pour E << Eʼ, on peut considérer : rapp = r E r E" ' E" $ 1# ! ! E" ◊ remarque : ce raisonnement n'est pas indispensable, puisqu'au voisinage de E = 0 toute courbe relative! ! ment régulière peut être approchée par sa tangente à l'origine : il suffit de considérer la limite correspondant ! à l'intersection de la courbe avec l'axe. 2 2. Représentations de Thévenin et de Norton • La f.e.m. E correspond à la tension UAB dans le cas particulier où le courant en sortie I est nul. Dans ces conditions, le courant est le même dans R1 et R3, ainsi en série, donc le principe du pont diviseur de tension permet de calculer : R3 R4 UAN = U et de même UBN = U . R1 + R 3 PN R 2 + R 4 PN Ainsi : E = UAB = UAN - UBN = ! R 2R 3 " R1R 4 U . (!R1 + R3 ).(R2 + R4 ) PN • Par ailleurs, le générateur est alors branché sur une résistance équivalente à R1 + R3 en parallèle avec R2 + R4 : ! R1 + R 3 ).(R 2 + R 4 ) ( Rʼ = . R1 + R 3 + R 2 + R 4 R" Le principe du pont diviseur de tension indique alors : UPN = E 0. R 0 + R" ! R 2R 3 " R1R 4 • La combinaison de ces relations donne finalement : E = E0 . (R + R )(R + R 1 3 2 4 ) + R 0 .(R1 + R 2 + R 3 + R 4 ) ! • Inversement, le courant de court-circuit Ic correspond au courant de sortie I dans le cas particulier où la ! tension UAB est nulle (court-circuit). Dans ces conditions, la tension est la même pour R1 et R2, ainsi en parallèle, donc le principe du pont diviseur de courant donne : G1 R2 R4 I1 = I0 = I0 et de même I3 = I . G1 + G2 R1 + R 2 R3 + R4 0 ! R 2R 3 " R1R 4 Ainsi : Ic = IAB = I1 - I3 = I . (R1 + R2 ).(R3!+ R4 ) 0 ! • Par ailleurs, le générateur est alors branché sur une résistance équivalente à l'assemblage en série de R1R 2 R 3R 4 R1R 2 R 3R 4 (R1 et R!2 en parallèle) et de ; ainsi : R” = + . R1 + R 2 R3 + R4 R1 + R 2 R3 + R4 ! E0 La loi de Pouillet indique alors : I0 = . R 0 + R "" ! ! ! • La combinaison de ces relations donne finalement : R2R3 " R1R4 Ic = E0 . ! R0 (R1 + R2 )(R3 + R4 ) + R1R2 (R3 + R4 ) + R3R4 (R1 + R2 ) ! 3 3. Pont de Wheatstone et mesure d’une résistance Ra permet de calculer la résistance étudiée ; toutefois, cela cumule les incertitudes Rb sur les résistances, de l'ordre de 0,5 % en valeur relative. • La condition Rx = R Pour les produits et les quotients de trois mesures indépendantes (Ra, Rb et R), on ajoute quadratiquement ! les incertitudes relatives : précision relative 3 x 0,5 % ≈ 0,9 %. Il faut de plus tenir compte des incertitudes sur l'ajustement de la condition d'équilibre du pont, mais avec une boite à quatre décades, l'effet est très faible : on peut considérer au total une incertitude relative ≈ 1 %. ! • La méthode est ainsi généralement moins précise que l'utilisation directe d'un ohm-mètre électronique de précision ≈ 0,5 %. Mais son but n'est pas là ; l'intérêt est d'être capable de comparer “directement” des résistances, sans avoir besoin pour cela d'un multimètre de précision : cette méthode est capable de mesurer juste même avec un voltmètre (ou ampèremètre) faux... pourvu que son zéro soit correct ! Ainsi certains ohm-mètres électroniques de qualité “ordinaire” peuvent donner une indication de résistance approximative quand leur pile est un peu usée : leur conception est basée sur des mesures de tension et leur fonctionnement est parfois perturbé par une tension un peu faible délivrée par leur pile (ceux de bonne qualité le détectent et l'affichent).
