ELCINQ_02 Resistances associations et diviseurs

G.P.
Questions de cours électrocinétique
Association de résistances :
Démontrer la formule d'association des résistances en série, des résistances en parallèle
Démontrer la formule des diviseurs de tension, des diviseurs de courant. Préciser les
conditions d'utilisation de ces formules.
En utilisant ces méthodes, résoudre les deux exercices proposés. Proposer une autre méthode
de résolution.
R3
E0
R1
V?
R4
R2
R2
I0
I?
R1
R3
R4
Réponse:
Lois d'association des résistances:
en série:
i
R3
R2
R1
u3
u2
u1
u
u=u 1u 2u3
G.P.
Questions de cours électrocinétique
u=R1 iR 2 iR3 i
u= R1R2 R3 i
L'ensemble se comporte donc comme une résistance égale à la somme des résistances.
Req =R1R 2R3
en parallèle:
R1
i1
i
R2
i2
R3
i3
u
i=i 1i 2i 3
i=G 1 uG 2 uG 3 u
i=G1G 2G 3 u
L'ensemble se comporte donc comme une conductance égale à la somme des conductances.
Geq =G1 G2G 3
Formule des diviseurs:
de tension:
i'=0
i
R3
R2
u
u= R1R2 R3 i
u 1=R1 i
donc
u1
R1
G.P.
Questions de cours électrocinétique
u1
R1
=
u R1R2 R3
il faut que la sortie du diviseur soit à vide pour que toute l'intensité parcourt la résistance
considérée.
de courant:
i
R1
i1
R2
u' = 0
R3
u
i=G1G 2G 3 u
i 1=G 1 u
donc
i1
G1
=
i G1G2G 3
il faut que la sortie du diviseur soit en court-circuit pour que toute la tension soit aux bornes de la
conductance considérée.
Exercice 1:
L'intensité,
délivrée
par
le
générateur,
parcourt
la
résistance
1
R1 R2 //  R 3R4 = R1
avec G 34=1 / R3R 4  (association de résistances). La
G 2G34 
1
G 2G34 
G1
=E 0
tension aux bornes de R2 //  R3R4  vaut donc E 0
1
1
G2 G34 G1

G1 G 2G34 
(diviseur de tension). On a donc obtenu la tension aux bornes de  R3R 4 et finalement
G1
R4
G1
G3
V =E 0
=E 0
(diviseur de tension).
G 2G 34G 1  R3R 4
G2 G34 G1 G 4G 3
V =E 0
G1 G 3
ou
G1 G3G 1 G 4G 2 G 3G 2 G 4G 3 G4
G.P.
Questions de cours électrocinétique
V =E 0
R2 R4
R1 R2R1 R3R1 R4 R2 R3R2 R4
Autre méthode:
Le générateur de Thévenin est transformé en générateur de Norton (courant G1 E 0 , conductance
interne G1 ). Ce générateur de courant G1 E 0 débite dans trois conductances en parallèle G1 ,
G2 , G34=1 / R3R 4  . La formule des diviseurs de courant donne l'intensité dans G34 :
G 34
G1 E 0 et la loi d'Ohm donne la tension cherchée en multipliant par R4 c'est à
G 1G 2G 34 
G1 G 34
E (vérifier que cela donne le même résultat).
dire en divisant par G 4 : V =
G 4 G1G2G 34 0
Exercice 2:
1
1
avec R34=
 R2R34 
G 3G4 
R

R
//
R

dans 2
de
vaut
donc
3
4
La tension du générateur est appliquée à la conductance G1
(association
de
résistances).
L'intensité
1
 R 2R34 
R1
I0
=I 0
(diviseur de courant). On a donc obtenu l'intensité totale
1
1
 R2R34 R1

R 1  R2R34 
R1
G4
dans  R3 // R4  et finalement I =I 0
(diviseur de courant).
 R 2R34 R1 G3 G 4 
R1 R 3
ou
R1 R 3R1 R4R 2 R3 R2 R4R 3 R4
G2G4
I =I 0
G1 G 2G 1 G 3G1 G 4G 2 G3G 2 G 4
I =I 0
Autre méthode:
Le générateur de Norton est transformé en générateur de Thévenin (force électromotrice R1 I 0 ,
résistance interne R1 ). Ce générateur de force électromotrice R1 I 0 débite dans trois résistances
en série R1 , R2 , R34=1/G3G 4  . La formule des diviseurs de tension donne la tension aux
R34
R I et la loi d'Ohm donne la tension cherchée en multipliant par
bornes de R34 :
 R1R 2R34  1 0
R1 R 34
G 4 c'est à dire en divisant par R4 : I =
I (vérifier que cela donne le même
R4  R1 R2R34  0
résultat).