TD1/TME1 : Matrices généralités

TD1/TME1 : Matrices g´ en´ eralit´ es
P. Tr´ ebuchet
17 f´ evrier 2010
Exercice 1 – Manipulations simples
Question 1
Donner la matrice Rde la rotation de centre l’origine et d’angle 30 degr´ es relativement ` a la base canonique. Puis
donner la matrice R0de ce mˆ eme op´ erateur relativement ` a la base 2e1, e2.
Question 2
´
Ecrire la matrice Mdonnant les coordonn´ ees de e1puis e2dans la base {2e1, e2}. Donner les coordonn´ ees du vecteur
3e1+ 5e2dans la base {2e1, e2}, comparer avec le produit matrice-vecteur M 3
5!. Que conjecturer alors quant `
a
M. Calculer alors la matrice M0des coordonn´ ees de 2e1, e2dans la base e1, e2. Que vaut le produit M M0?
Question 3
Calculer le produit M−1R0Met le comparer ` aR.Ret R0sont dites equivalentes.
Question 4
Dans le plan en deux dimensions, ´ ecrire la matrice de la rotation de centre l’origine et d’angle 30 degr´ es, en consid´ erant
comme base de d´ epart les vecteurs 2e1, e2et comme base d’arriv´ ee les vecteurs e1et e2.
Question 5
En consid´ erant l’espace ` a trois dimensions, ´ ecrire la matrice de la rotation autour de l’axe passant par l’origine, de
vecteur directeur (1,1,1) et d’angle 120 degr´ es relativement ` a la base canonique.
Exercice 2 – Espace projectif et repr´ esentation matricielle
Dans cet exercice nous allons ´ etudier la repr´ esentation que l’on fait habituellement de l’espace en trois dimensions
dans tous les programmes de mod´ elisation (et donc dans les jeux vid´ eos et plus particuli` erement dans la biblioth` eque
OpenGL).
Question 1
Expliquer ` a l’aide d’un exemple pourquoi la rotation autour de l’axe passant par le point (1,0,0) et d’axe de vecteur
directeur (0,1,0) n’est pas une application lin´ eaire.
Indication : regarder l’image de (0,0,0) par cette application et rappeler la d´ efinition de lin´ earit´ e.
Question 2
On repr´ esente les points de l’espace ` a trois dimensions (celui dans lequel on vit !) par leur trois coordonn´ ees usuelles
et une quatri` eme pos´ ee ` a1. En faisant une analogie avec la construction des vecteurs dans le plan ` a partir de points,
donner une d´ efinition d’un vecteur de l’espace dans cette repr´ esantation. D´ efinir alors la translation d’un point Ppar
un vecteur v. Est-ce que cette translation est une application lin´ eaire dans ce contexte ? Si oui, en donner la matrice.
1

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Question 3
On appelle espace projectif l’espace d´ efini plus haut. A quels point de l’espace affine correspondent les points projec-
tifs (1,1,1,1) et (2,2,2,2) ?
Question 4
La repr´ esentation d´ efinie ` a la question 2 est commun´ ement appel´ ee espace projectif. Dans cette repr´ esentation, donner
la matrice de la rotation d’angle 30 degr´ es autour d’un axe passant par l’origine de l’espace (i.e. le point (0,0,0,1))
et parall` ele ` a l’axe des abscisses.
Question 5
Montrer que dans la contexte de espaces projectifs la translation dans l’espace affine est une op´ eration lin´ eaire et
donnez la matrice d’une translation par rapport ` a un vecteur v.
Question 6
En d´ eduire une construction de la matrice de rotation par rapport ` a un axe ne passant pas par l’origine.
Question 7
OpenGL utilise la notion de matrice de transformation pour creer ses objets ; les seules primitives de cr´ etion d’objet
disponibles cr´ eent un objet centr´ e en l’origine du rep` ere en cours. Ce rep` ere en cours est obtenu ` a partir du rep` ere
canonique en multipliant l’identit´ e pour une matrice de transformation. Expliquer ce que fait le code ci dessous.
GLfloat rDG[] = { 1.0 - 1.0/4.0, -0.5, -0.5 - 1.0/6.0 };
GLfloat rDD[] = { 1.0 - 1.0/4.0, -0.5, 0.5 + 1.0/6.0 };
GLfloat rAG[] = { -1.0 + 1.0/4.0, -0.5, -0.5 - 1.0/6.0 };
GLfloat rAD[] = { -1.0 + 1.0/4.0, -0.5, 0.5 + 1.0/6.0 };
void automobile (void) {
parallelepipede(2.0, 1.0, 1.0, orange);
glPushMatrix();
glTranslatefv(rDG);
roue(0.05, 1.0/3.0, violet);
glPopMatrix();
glPushMatrix();
glTranslatefv(rDD);
roue(0.05, 1.0/3.0, cyan);
glPopMatrix();
glPushMatrix();
glTranslatefv(rAG);
roue(0.05, 1.0/3.0, vert);
glPopMatrix();
}
Exercice 3 – algorithmique matricielle
Question 1
Ecrire l’algorithme du produit matriciel naif (trois boucles).
Solution:
Voila du code ecrire juste l’algo :
c
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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<generateur.h>
//On supposera les matrices stockees column major
prodmat(double *res, double *a, double *b,int size)
{
int i,j,k;
for(i=0;i<size*size;i++)
res[i]=0;
for(i=0;i<size;i++)
for(j=0;j<size;j++)
for(k=0;k<size;k++)
res[i*size+j]+=a[k*size+i]*b[j*size+k];
}
int main(int argc, char** argv)
{
double *a,*b,*res;
int size=atol(argv[1]);
a=generate(size);
b=generate(size);
res=malloc(size*size*sizeof(double));
prodmat(res,a,b,size);
}
Question 2
Ecrire ensuite l’algorithme du produit matriciel par blocs dans le cas ou la taille des blocs divise la taille de la matrice.
Solution:
Voila du code ecrire juste l’algo :
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<generateur.h>
//#define SIZEBLOCK 10
//On supposera les matrices stockees column major
prodmat(double *res, double *a, double *b,int size)
{
int i,j,k;
for(i=0;i<size*size;i++)
res[i]=0;
for(i=0;i<size/SIZEBLOCK;i++)
for(j=0;j<size/SIZEBLOCK;j++)
for(k=0;k<size/SIZEBLOCK;k++)
{
int ii,jj,kk;
for(ii=0;ii<SIZEBLOCK;ii++)
for(jj=0;jj<SIZEBLOCK;jj++)
for(kk=0;kk<SIZEBLOCK;kk++)
res[(i*size+j)*SIZEBLOCK+ii*size+jj]+=
a[(k*size+i)*SIZEBLOCK+kk*size+ii]
*b[(j*size+k)*SIZEBLOCK+jj*size+kk];
c
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}
}
int main(int argc, char** argv)
{
double *a,*b,*res;
int size=atol(argv[1]);
a=generate(size);
b=generate(size);
res=malloc(size*size*sizeof(double));
prodmat(res,a,b,size);
}
Question 3
Que rajouter pour g´ erer aussi les autres cas ?
Exercice 4 – Multiplication rapide de matrices
Question 1 – Donn´ ees intuitives
Donner la complexit´ e de l’algorithme d’addition de deux entiers ` anchiffres, et celle de l’algorithme de multiplication
par l’algorithme na¨ ıf.
Question 2 – Un algorithme de Winograd
En d´ eveloppant le produit :
(ai,j +bj0,k)(ai,j0+bj,k),
en supposant npair et en posant j0=n−j, donner un algorithme permettant de limiter le nombre de multiplications
coefficients/coefficients. Quelle est le nombre total de multiplications dans ce cas l` a ?
Question 3 – Algorithme de Strassen
En consid´ erant deux matrices de taille 2×2,A= a b
c d !et B= α β γ δ !, et en d´
eveloppant les produits :
–q1= (a−b)δ
–q2= (c−d)α
–q3=d(α+γ)
–q4=a(β+δ)
–q5= (a+b)(δ−α)
–q6= (a+c)(α+β)
–q7= (b+d)(γ+δ)
Expliciter l’un des ´ el´ ements suivants :
–q1−q3−q5+q7
–q4−q1
–q2+q3
–−q2−q4+q5+q6
Question 4 – Algorithme de Strassen, la suite
Compter le nombre de multiplications n´ ecessaires pour effectuer un produit de matrices 2×2. Imaginer alors un
algorithme r´ eccursif permettant de multiplier deux matrices de taille n= 2m.
Question 5
En appelant T(n)le coˆ ut de la multiplication par cet algorithme de matrices de taille n, donner une formule de
c
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r´ ecurrence permettant de d´ eduire la complexit´ e de cet algorithme. R´ esoudre cette formule (log2(7) est voisin de
2.81).
Exercice 5 – Notion de suppl´ ementaire
Question 1
Soit Eun espace vectoriel, et E0et E00 deux sous espaces vectoriels de E. On d´ efinit l’addition de E0et E00 comme
´
etant l’ensemble des vecteurs vtel que vs’´ ecrive comme v=vE0+vE00 , o` uvE0appartient ` aE0et vE00 appartient ` a
E00. Montrer E0+E00 est un espace vectoriel, et mˆ eme un sous espace vectoriel de E.
Question 2
On dit que E0et E00 sont en somme directe si E0∩E00 ={0}. Montrer que dans ce cas on a unicit´ e de l’´ ecriture
v=vE0+vE00 pour v∈E0+E00.
Question 3
On appelle projection une application lin´ eaire φtelle que φoφ =φ, montrer que l’espace vectoriel des vecteurs vtels
que φ(v)=0est en somme directe avec l’espace vectoriel engendr´ e par les vecteurs vtels que φ(v)6= 0.
Question 4
En se plac¸ant dans l’espace, et en utilisant le produit vectoriel, d´ eterminer une matrice de la projection sur le plan
{(1,1,0),(0,0,1)}, attention il faudra recourir ` a la repr´ esentation projective de l’espace.
En TP leur faire faire des manipulations en Maple la dessus avec animate pour que cela soit joli.
Exercice 6 – Implantation de la multiplication na¨ ıve de matrices
Les matrices seront repr´ esent´ ees dans nos programmes Cpar repr´ esentations un gros tableau de coefficients, o` u les
´
el´ ements seront stock´ es colonnes par colonne.
Question 1
´
Ecrire en Cune fonction prenant en entr´ ee trois matrice stock´ ees sous forme de gros tableau et calculant le produit
matrice-matrice des deux premi` eres, de mani` ere na¨ ıve, et mettra le r´ esultat dans le troisi` eme param` etre (cf canevas
donn´ e).
Question 2
En utilisant l’option -shared de gcc cr´ eer un biblioth` eque dynamique contenant votre fonction de multiplication.
Question 3
´
Ecrire un programme Cprenant sur sa ligne de commande le nom d’une biblioth` eque dynamique et un entier n,
utilisant les appels syst` emes dlopen et dlsym pour trouver dans la bilbioth` eque dynamaique le symbole mat mul,
g´ en´ erant deux matrices al´ eatoires de double de taille npar net appelant la fonction de multiplication sur ces deux
matrices. attention la notion de pointeur sur fonction est utilis´ ee ici !
Question 4
Ecrire une deuxi` eme fonction de produit matriciel mais cette fois par bloc. Et cr´ eer une deuxi` eme biblioth` eque conte-
nant ce produit.
Question 5
En faisant varier la taille des blocs et la taille des matrices faire des comparaisons de performance.
Exercice 7 – Interface avec Maple
c
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