Le théorème de représentation intégrale dans les

Séminaire Brelot-Choquet-Deny.
Théorie du potentiel
G USTAVE C HOQUET
Le théorème de représentation intégrale dans les
ensembles convexes compacts
Séminaire Brelot-Choquet-Deny. Théorie du potentiel, tome 4 (1959-1960), exp. no 3,
p. 1-11
<http://www.numdam.org/item?id=SBCD_1959-1960__4__A3_0>
© Séminaire Brelot-Choquet-Deny. Théorie du potentiel
(Secrétariat mathématique, Paris), 1959-1960, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Brelot-Choquet-Deny. Théorie du potentiel »
implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction
pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire BRELOT-CHOQUET-DENY
3-01
(Théorie du Potentiel)
4e année, 1959/60,
3
.
LE
THÉORÈME
DE
15 février 1960
REPRÉSENTATION INTÉGRALE
DANS LES ENSEMBLES CONVEXES COMPACTS
Gustave CHOQUET
Dans
un
Soit
travail antérieur
trisable, ~
de Radon
séparé, ©.
convexe
une
convexe
points extrémaux de (B . Alors si 03- est mé(E. est barycentre d’au moins une
tout point de
de S
un
positive portée
9
et
par
0
0
en utilisant
Récemment, Errett BISHOP et Karel de
intéressante, ont pu simplifier notre démonstration et étendre
forme atténuée
partie
S l’ensemble des
et
est
démontre le théorème suivant :ô
avons
nous
espace vectoriel localement
un
compacte de V ,
mesure
[2J~
au cas
où
idée nouvelle fort
le théorème sous une
une
úl n’est pas métrisable
o
de ß est alors
barycentre d’une mesure de Radon positive sur ß,
dispseudo-portée par ~ en ce sens qu’elle ne charge aucun compact de
joint de ~ ; et il existe des cas où l’expression "pseudo-portée" ne peut être remTout
point
Baire ( )
placée
par
"’portée".
L’utilisation
analyse~ du théorème de représentation intégrale,
l’enseignement une démonstration simpleo
fréquente~
rend souhaitable pour
en
Nous allons ici reprendre la méthode de
Bishop
et de
en
la
simplifierons~
notamment en supposant dès le départ que
métrisable ~ d’autre part9 nous
n’utiliserons pas comme eux l’inégalité de Schwarz ; pour cela9 nous remplacerons
leurs fonctions f~ (où f est linéaire) par des fonctions convexes quelconques y
plus maniables.
Leeuw ;
nous
(S. est
Dans
leur
une
seconde et
travail,
pour
en
une
troisième partie~
préciser
la
portée ;9
nous
cet
quelques points de
amènera à poser quelques
reviendrons
examen nous
sur
problèmes.
(1)
de
Un
compact
voisinages,
de Baire de S est un compact
autrement dit qui est un
G.
o
qui
a; dans
une
base dénombrable
3-02
représentation intégrale.
1. Le théorème de
Les outils que
0
utiliserons sont1
nous
1° Lemme de Zorno
(2) :
2° Théorème élémentaire des sections
compacts métrisables,
nion dénombrable de
sur
topologique séparé ;
F
(3)
classe borélienne
3° Intégration des
sur
A
B . Nous supposerons
de
est
où
NOTATIONS. -
V,
f
une
et
A
Soient
topologique séparé et réuE
une application continue de
application g de première
E
f
telle que
E
dans
mesuresr
continue de
application
alors il existe
F
de
et
Soit
g
des
de Radon
identité.
mesures
la définition et les
connues
=
deux espaces
B
dans
une mesure
o
positive
sur
propriétés élémentaires
A .
topologique (sur R ) , séparé
espace vectoriel
compacte de Y
(B,
une
(;
l’ensemble des éléments extrémaux
partie
convexe
Jrt (resp. m,
tives et de
0
l’ensemble des
mesures
de Radon
positives sur ß (resp. posi-
1 ).
norme
ensemble des fonctions affines continues sur
des fonctions
C~ ensemble
Relation d’ordre
/f
qui
se
=
l’ensemble
!-il - P2
/f
pour toute
A
est
homéomorphe
A
on
sur
+
constante).
a1 0
dira que
majore
si
notera
de Cantor
Xn
positives
CY 0
sur m+ . - Soient 1, 2 ~ m+ ;
f
vue de renseignement, en voici
adique
(linéaire
continues
convexes
partout XBT
Nous noterons
10
et localement
.
convexe0
ce
compacts, et 03C6 une
de Radon positives
est homéomorphe à
à A .
E
a.
une
(cette
condition
équivaut
à dire
démonstration simple : l’ensemble tri-
{0 , l} ,
donc aussi à
({0, 1}) ;
donc
Comme [0 ~ 1J est image continue de A, il en est alors de même de [0, 1 1
[0 , 1 ] , un tel espace est donc
comme tout compact métrisable est plongeable dans
image continue d’une partie fermée de A
est
continue d’un
Il en résulte aussitôt que l’espace E de
mé de R+: E=03C6(B) avec (p continue, et B fermé cR .
0
l’énoncé
image
-
_
et. pour tout x e F , posons k(x) =
classe
dans R+ est semi-continue inférieurement, donc de Drom1ere
cherchée
borélienne. L’application g = ~ 0 k de F dans E est la section
est une F 0 pour tout ouvert 03C9 de F"
c’est-à-dire que
Posons
cation k
c3)
h = f
de F
3-03
que
et
p
ont
~2
même
2°
masse
totale et
f
pour toute
e
même
barycentre)
o
C.
La réflexivité et la transitivité de la relation sont
et
Donc cette relation est bien
Pi = ~2 .
L’ensemble 03C0+
En
ont même
Soit
X
soit
effet,
totale5 donc
masse
est relativement
X
f
D’autre part, pour toute
/f
totalement ordonnée de
/f
X . Evidemment
santes de
relation
une
valeur d’adhérence de
une
p0
(4)
d’ où
ainsi ordonné est
partie
une
d’autre part
pour toute
on a
..t 2 - ~ 1 ~
évidentes ;
=
E ~ ~
~E X
toutes les
compact.
suivant le filtre des sections finis-
X
/f d 0 pour toute f
les /f dp convergent
c:
CL
en
et
toute
croissant
~ X.
vers
d’où
f d 0
Donc
bien
majore
toute
~ X
o
X.
La démonstration montre
outre
en
l’unicité de la valeur d’adhérence
est
COROLLAIRE 1. - Toute
Ce corollaire
et
pour toute
s’applique
en
majorée
particulier
par
une mesure
aux mesures
}.l 0
0
maximale.
0
ponctuelles
g
x
(où
x E
(~)~
d’où le corollaire suivant1
COROLLAIRE 2. - Tout point
x
est
de ß
barycentre d’une
positive ma-
mesure
’
ximale de
1
totale
masse
0
est
LEMME2. - La relation
compatible avec l’addition.
C’est évident pour l’addition d’un nombre fini de termes. On
néralement que
a ~
v(a)
d’un espace
déduit plus
gé-
s
(v a
où
en
a
et
a -
vI
K
compact
LEHÏ01523. - Soient
drc
pour tout
-~’
(a)
sont des
dans 3’Î ,
et v
a
e 1,1
et
a
applications continues (ce qui suffira ici)
où 03C0 est une mesure positive sur K.
avec
03BD Si 03BD est maximale,
est
aussi maximale.
(4)
d
sépare
les
points de B
donc
(STONE-WEIERSTRASS)
les
polynômes
par rap-
éléments de 0. forment un ensemble total dans C(lll) j or~ un tel polyport
nôme est différence de deux polynômes convexes positifs, donc C est total dans
aux
C ( (11)
.
3-04
Posons
V
/
=
v
+
p
et
+03A0:
TC
1 u’
v
v
on
aurait
barycentre
x ,
on a
ù D’autre
part> .
II
,
serait pas maximale
ne
Q, , et toute
x OE
telle que
Il
p
OE
m1
de
0
.
On sait déjà
/f
x ; donc
+
4. - Pour tout
~X
p.’ f.
S’il exista,it
0
/f de x /£ djJ,
,S /f
f(x) $ /f
à£
convexe
et
OE
continue,
o
cette
car
.
elle est évidente
duit, puisque toute
même barycentre.
OE
p
LEMME 5. - Lorsque
male
f
pour toute
dy
x
f
pour toute
=
que
m1
est limite faible de
métrisable,
i
d@ ZÎ" 3st port(e
discrète;
est
si
&
est
le
cas
inégalité s’ écriti
général s’en dé-
et toute
G 03B4
l’,/ ,
discrètes de
mesures
un
on a
mesure
de
maxi-
~ .
par:.
o
DÉMONSTRATION.
6
1° Soit
x2) ~
la
---’2--
de
£5
x
ú3
son
L’application
1’,Ù
relèvement de
un
(©ig) ;
morphie.
et soit
ÔL
l’application
o
est
points
.p
p«(B2~)
Ko 3 donc
un
extrémaux de
non
13
Son
0
aussi; or,
ce
ë;
complément
G03B4 .
un
2° Soit
sur
13
dans
11’ est au.tre que l’ ensemble des
est donc
x
(túBt,)
métrisable,
13 est
Comme
(G
diagonale je
Donc
tp
première
classe de
existence résulte du théorème des ,sections
h
g
=
h
(x1 , x,) - §(c ’,
0
est
Wo
telle que pour tout
x
E
03C8(x) ~ ~x
Une
t: )
+
application
(lBB&)
on
et
£52
de
de
(03B22B0394).
l’application p de
rappelé
dans
première
m1
au
est
classe de
début de le
une
homéo-
(03B2B~)
dans
ait:i
x
=
barjcentre
](x)
de
0
m1,
E
3° Sboit
nI
p n’étant pas portée par & ’3 on va mon,trer que
pas maximale ; il suffira de montrer pour aula qu’il existe une
qui n’est
est
pas maxim.ale (lemmo 3) . Commo &
-mesurable, il existe (théorème de Lusin)
K do
tel- que
un compact
1- Q
que J_a .restriction d-J 4T à
K soit c’ontinue. Désignons par v la partie de Il portée par ii .
f
Pour toute
Soit
fa
E
C
et tout
K
on
sait
point du support fermé de
pour laquelle
v 00FF
x0
un
E
C ,
a E
(îenzme 4 )
comme
que
C
existe
~C
Comme les deux membres de cette
1’ ,
sur
On
la méme inégalité
on a
inégalité
pour tout
sont des fonctions continues de
point
a
K
de
assez
voisin de
a
x 0
donc ~
a
ou encoret
On
a
donc ~ ~
THÉORÈME. localement
Soit
convexe
-~’
de
C6
n’est pas maximale.
-B;
compact métrisable
o
(espace vectoriel topologique
cY
des points extréma.ux de (B, est
barycentre d’au moins une mesure de... Radon 0
0
point
(lemme 2)~
est
6
un
6 .
portée par
C’est la
03
~v «
comme
séparé). L’ensemble
convexe
et tout
Gô
et
conséquence immédiate
du corollaire 2 du lemme
et du lemme 5.
1,
Résultats auxiliaires.
o
Jib
1° Le lemme montre que toute ~ ~
préciser la
aussi)i soient
pouvons
m1
et
Xl
de
Xi
que
p~
est évidemment
Dans
x
tre que l’ensemble
des m
X2
Xi
lorsque S
deux espaces identiques
x
X2 ’
fermé ;
non
la
l’ensemble
A
projection
de
m1;
maximales de
autrement dit, l’ensemble des éléments maximaux
tat
par
nature de cette relation
diagonale
~.
majorée
est
maximale;
métrisable (donc
une mesure
est
à m1
des
et soit A
couples
(A B:.)
sur
est
un
résulte que dans
l’ensemble B des
Xl x
extrémale est un
or~ d’aDrès le lemme 1$ la projection de
p ~ -
peut donc relever cette projection
(~1 ’ ~2)
on
obtient
p - p( p) de m1
(5)
au-
un
GD (même
(}.1-1’
en
on
2°
n’est
Xl
tels
résul-
dans ~ ).
Il
X2 ’
la
(~ ~ ~2)
cet ensemble est donc
de m1
nous
Supposons
Une
vert 03C9
dans
application analytique (donc
dans
de
encore (B
E 0
universellement
mesurable)
03C6( )
maximale.
lui-même telle
f
application
do F , f (uj)
analytiques
la
une
en
avec
métrisable ;
dans
F
appartient
au
de
E
soit
avec ~
Xl est
dans
application analytique (5)
composant avec la projection sur
Xl
x
B
A
en une
de
Xl
~
f
une
application universellement
est dite ici analytique si pour tout oucorps borélion engendré par les ensembles
3-06
mesurable de
a
T
x ; so it
°
dit que
telle que pour tout
diffusion associée
est la
f(x) ~
x
E
f(x)
~: 9
ait pour
11
f ~ on a évidemment
x ~ ~ 9 le môme raisonnement que
pour tout
e
x
dans lui-même définie par
de
l’ application
T
outre,
~; ’~
dans
à
barycentre
~f(x) dx On
Si, en
.
celui du lemme 5
montre que
(l-l =
soit
Ors
et converge
vers une mesure
f. T
avoir p
w
(° )
w
a
Des
0
est croissante pour la relation
exemples simples
deuxième classe,
de
et
=
montrent que l’on
,
peut
si
lim
=
oep
on
13
=
définit
par les
alors 03B1
limo croissante des
.
n
partie dénombrable de C qui est totail en résulte que toute partie totalement ordonnée je ~~+ (pour
~) est cofinale à une suite finie ou dénombrable. En particulier, il
Comme
l’ordre
un
}la
il existe
métrisable,
est
a
le dans
que
o
0)
par
o
Pour tout ordinal
existe
= T n0
; la suite
E
0
portée
est
}l
ordinal
a
de deuxième classe tel que
portée par (;
soit
une
)la
c’ est-à-dire tel
=
0
PROBLÈMES.
0
1° Supposons
,
soit
2°
l’image
une
par
montrer
(se
diffusion du
relation 1
ramener au cas
suivantt
~1 et 2 étrangères
compact quelconque.
2. Sur
o
ces
La
somme
de deux
Le point de
départ
(6 )
Prendre
(8 =
portées
maximales est-
/p( a)
a
dv
de
mesures
trois problèmes sont évidenteso
sur
X
compact.
de BISHOP et de LEEUW est lt étude du dual d’un espace vecto-
rial de fonctions continues
explicitement qu’ils
et
par
mesures
espace vectoriel de fonctions continues
l espace dual
p1
( 1 2)~( 1= 2)).
généralement, est-ce qu’une intégrale
maximale ( v mesure positive sur m+ ) ?
Les relations entre
entraîne que
positive portée
elle maximale ? Plus
maximales est
2
type défini plus haut ?
°
alors que
convexe
’
métrisabloo Est-ce que touto
encore
& est maximale?
ß
a
de 1
Supposons
3° Soit
métrisableo Est-ce que la
ß
ne
[0 , 2J
le
sur un
espace X
font, l’équivalence
et
T
quei
compact Fous allons montror, plus
0
entre cette étude et cel le des
support
dc
x
’
1[
pour tout
3-07
ensembles
Soit
X
un
m(X)
forme ; soit
B
continues
son
X y muni
sur
muni de la
dual,
contient les constantes; et soit
l’application canonique
Soit 03C6
l’espace vectoriel
de la topologie de la
topologie faible.
On
tion
C
sur
convergence uni-
B*
qui sépare les points de X et
le dual de B , muni de la topologie faible.
de
]l(X)
dans
B*;
r (X) ~
B*
on a
=
vertu du théo-
en
comme?
est la trace d’une
rème de Hahn-Banach toute forme linéaire continue sur ß
forme linéaire continue
nu-
Cr(X)
sous-espace vectoriel de
un
des fonctions
Cr(X)
soit
compact ;
espace
mériques réelles
Soit
compacts.
convexes
~(m(x»)
0
peut évidemment identifier B* 2 l’espace quotient
par la rela-
de
d’équivalence :
(Notons
/ gdp 1 = gd 2
si
1-11 fBJ 1-12
(1-11 fBJ ~2~ (il (X) = 112 (X))
que
g E B
pour toute
.
).
Posons :
~(X)
Comme
affine
f
comme
On
)J.
avec
~
ble des
BISHOP et de
par
telle que
Autrement
dit,
de
e
X
engendre B~
donc
les
(B )
de
=
mesures
~
est
(po f
l’application
dans
sépare
B
les
points
X
(x) )~
p.
X
dans
)J.
on a
et par
=
l’ ensem-
ê
o
~(ë) .
ri
o
positives
X y dont l’image 03C6( ) est exest frontière. En effet :
x
sur
rd
é
~) ~ (()J.p ~X , où x est frontière).
D’abord
pui s i ’ image p ’ d,e p par 1 ’ homéomo rphi e f o p do 11
03C6( )
X ;
est frontière si pour
(p.E m+
dan s m1 ( x ) j
f o (p(X) est
et
de
o
(B*)1
a.
de
homéomorphie.
trëmale dans
sont les
base
une
o
LEEUW, qu’un point x de
)~ PJ ex (ce qui entraîne
f(M(B) )
a
une
(B~)
et
l’ensemble des points frontière de
M(B)
points extrémaux
On
(B~)~
(B )
continue, et biunivoque puisque
est
y’~(X)
désignera
x ~
compacta c’est
est
X
Disons,
toute
convexe
l’application
(B*)1
dans
X
c5ne
du
compacte
Soit
~(X) y
engendre
mesures
s 3, où
est
st
=
l’homéomorphie fo 03C6 de Xsur
puisl’image ’ de par
03C6( )
(B*)+
une
e
extrémale, donc p.’
homéomorphes~ donc
a
t~
de barvcentre 03C6( );
positive sur
un support ponctuel ;
les
est de la forme
Ce
mesure
c .
o
supports
point x
or
et
est
sur
sont
’
frontière
est
y
sinon
3-08
il existerait
(p(e )
b.
mesure v
e , telle que
elle ëpaussi dequi laestforme
impossible d’après
~0 ~
aurait alors
on
=
qu’on
ce
seconde
une
ce
e
vient de voir.
e & Sinon
point frontière ~ je dis que
donc
serait milieu de deux points distincts do
~p(~) où
est frontière.
x
or ceci est exclu puisque
/
et
Inversement, soit
un
x
o
(B~) ~
p
e
Conséquence :i L’application
vexe
(B* ) 1
compact
On
se
a.
Pour
problème
~ m1 (X) ,
toute
plonge homéomorphiquemont
f
et transforme
pose alors le
M(B)
sens
moins
ou
con-
en ~.
existe-t-il
(X) telle
une mesure v
soit portée
plus
dans le
X
suivanti
(ou encore
un
=
que
M(B)
et par
par
p
en
strict.
0
se traduit par ~
~(~) est barycentre
Remarquons que la condition
de
V’ ~ image de v par l’ homéomorphie f o tp. La réponse au problème a sera
donc positive si la réponse au problème ? suivant est positivet
6. Soit &, un ensemble convexe compact d’un espace vcctorieltopdLpgique’-locale5 l’ensemble de ses points extrémaux. Est-ce que
ment convexe séparée et soit
masse totale 1,
tout point de (8 est barycentro d’une mesure positive v
=
o
portée
§ ~ et par
par
6
en un
plus
sens
ou
moins strict ?
°
Inversement,
problème
une
réponse positive
problème p entraîne
au
a .
constitué par les
C r ( @)
effet, soit B le sous-espace de
frontières affines continuas; on a ici ë= 1-1(B) , donc
comme un cas particulier du problème a 0
au
En
réponse positive
une
le
problème ? apparaît
’
30 Etude d’un
exemple.
BISHOP et de LEEUW démontrent que les
positive, même si X
pression ~mesure portée par
dans le langage des mesures
ponse
DÉFINITION. - Soit
de Radon positive
pour tout
10
A
2°
K
(7)
Si
firmer
compact
n
K
X
un
un
sens
X
dû
très large$ que
et
ont
p
une
ré-
de définir
nous
traduirons ici
de Radonr
espace
compacta soit
On dit que
sur
K
lg§ ’1 dans
a
est
A
et soit
pSGudo-portée par
J1
A
une mesure
si
p(15)
=
0 .,
toi quet
;
c
-
est
X
n’est pas
problèles équivalents
métrisable à condition
un
G. ~
X
est tel que tout
= 0 .
(~)
compact
de
X
soit
’
un
Go
de
X ,
on
peut
’
alors af-
3-09
plus large
Cette condition est
encore
0 ; elle
que la
est
~
môme compatible
On
âtre tenté de croire
donc
pourrait
=
0
0
o
n’est
que le résultat de BISHOP et do
Nous allons montrer
possible.
pas le "neilleur
p/ (8.)
la relation
avec
qu’il
n’en est
rien,
en
utilisant
exemples construits par ces auteursi
Soit X
b , c } ~ l’ensemble des (t ~ a) sera désigné par
[0} 1 j
on définit de
même Xb et Xc. La topologie de X est définie comme la moins
fine des topologies telles que
1° Toute partie de (X u X ) est ouverto ;
0) x {a $ b} c }
est ouvert
2° Pour toute partie ouverte w de [0 j 1 j p
dans X 9
3° Pour tout x e X y {x} est fermé.
l’un des
-
x
=
,
On vérifie que
""’1
est compact 9 et que tout
X
-
est l’ensemble des fonctions
B
pour tout
[0 , 1]
t e
On vérifie que
(X a
de
numériques
continues
X c)
u
o
telles que,
sur X
g
est fini.
ait1
on
M(B)
compact
-
X , et que les mesures positives pseudo-portées
sont les mesures qui ne chargent aucun point de
une telle mesure
par M(B)
peut donc charger X ; ce paradoxe apparent résulte de ce que tout compact K
de
est au plus dénombrable.
Xb qui est un
X
=
u
(X)
Il est immédiat que pour toute
pseudo-portée
simplexe) j
un
pseudo-portée
M(B)
par
or, la
de
mesure
M(B)
malgré
X
=
Par
BISHOP et de LEEUW
ouvert,
et telle
u
m
Lebesgue,
X On
ne
0
la circonstance
il existe
une mesure
Il
(il résulte
par
exemple y
est
unique ~ ~
de là que
(B*) 1
portée
X.
par
0
est
et
peut donc pas améliorer le résultat de
priori favorable
a
est ici
que
donc universellement mesurable.
o
PROBLÈMES.
4°
a.
Soit
infini de
que
A
X
un
espace
X . Existe-t-il
est
fini,
X
compact métrisable
un
doit être de dimension
relèvent alors do la topologie
Peut-on
en
outre choisir
revient [; dire que
bo Que dire des
B
sous-espace
A
X
tel que
A
de
Cr(X)
tel que
A
c
soit
=
un
Gô
M(B) ? (Lors
finie; les conditions de possibilité
algébrique )
B
B , ordonné
J1(B)
et
lorsque
o
telle sorte que
par
X
(B 5
n’est
(B’~)~
soit
soit réticulé ?
plus métrisable ?
un
simplexe,
qui
3-10
5° Avec les notations initiales, désignons par B le cône convexe des g ) 0
de B . Pour tout élément b de B* qui est 0 sur B y on a :i b
Sinon, en effet, il existerait une forme linéaire l faiblemcnt continue dans
o
B* ,
telle que
élément de
B ~
t(b)
0
dire
qu’il
0
pour toute
t(b)
et ~ ~0
est
(B*)+
(B ) signifie
sur
~0
o
sur
B
x 9
sur
par le
B
cône
normé et ordonné
Il
Il est donc
impossible
que
ce
0
répétant
an
(h) 9
C
(B ) )
par
démonstration
une
B ~ (ordonné
que si
B+ )
par
dans
connue
est
où
est de
B
l’est aussi.
réciproque est inexacte ; on offotp quand B ct
b , c}), B
l’exemple précédent (X = [0 , 1J
sont définis
X
est
x
ne
cas
réticulé, B’’~ (ordonné
La
réticulé,
comme
dans
tandis que
l’est pas.
Peut-on mettre la condition
culée
où
le
dans
cas
B’
serait
localement
un
"
B*
est réticulé"
un convexe
espace vectoriel contcnant
qui sont
pseudo-portées
par
6
(B
est
0
pseudo-portée
La réciproque est-elle vraie ?
Dans cet ordre d’ idéess on peut
sens
que
F’
et associé à
B
barycentro d’au plus
p(1)
=
0
un
p
E
compact
K
un
portées
par
ë
cône
convexe
plus
barycentre
est rétiB ?
(C’ost
pour
une
o
ost
qui soit
disjoint de
simplcxe, tout point
quasi-portée par ~ on
un
& .
antérieurement pour
(CHOQUET [2]).
0
Ce résultat s’étend
d’ailleurs, avec une formulation adaptée
quelconques, à tout cône convexe saillant e tel quei
a. Toute suite décroissante û’ éléments de C
converge vcrs
(l’ordre étant
réticulé
simplexe.
montrer que si ß
une
pour tout
est
18,
est
La démonstration est presque la même que- celle donnée
mesures
i~
non
ordre propre. Donc si tout roint de
est
la forme
métrisable d’un espace vectoriel topologique
l’ensemble de ses points oxtrémaux. L’ensemble
compact
et soit S
séparé,
~ m+(ß)
de ß
sous
précédent).
6° Soit ß
ce
0
que
B
résulte,
en
la forme
fl
encore
n’est
qui précède montre quo.continues et positives sur l’espace
)
convexe
autre que l’ensemblo des formes
son
un
0 .
Ordonnons
B
est identifiable à
o
celui associé â ~
canoniquement).
o
auc
convexes
élément do
e
3-11
b. Pour tout ensemblo totalement ordonné
dénombrable
coo
co-initial à
Pour tout élément extrdmal
contenant pas
6
y
l’enveloppe
A
c
C y il existe
un
sous-ensemble
A .
6
convexe
et tout sous-"c$ne fermé 03B1 ~ C
fermée de
J
ne
contient pas
ne
6 .
Il
BIBLIOGRAPHIE
[1]
BISHOP (Errett) and LEEUW (Karel de). - The representation of linear functionals by measures on sets of extreme points, Ann. Inst. Fourier Grenoble,
t. 9, 1959, p. 305-331.
[2]
CHOQUET
(Gustave). - Existence et unicité des représentations intégrales au
moyen des points extrémaux dans les cônes convexes, Séminaire Bourbaki,
t. 9, 1956/57, exposé n° 139.