Cobordisme algébrique II

S0764-4442(01)01833-X/FLA AID:1833 Vol.332(0) P.1 (1-6)
CRAcad 2001/04/12 Prn:13/04/2001; 14:21 F:PXMA1833.tex by: p. 1
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 1–6, 2001
Géométrie algébrique/Algebraic Geometry
Cobordisme algébrique II
Marc LEVINE a,FabienMORELb
aDepartment of Mathematics, Northestearn University, Boston, MA 02115, USA
bInstitut de mathématiques, Université Paris-7, 2, place Jussieu, 75251 Paris, France
Courriel : [email protected]; [email protected]r
(Reçu et accepté le 27 décembre 2000)
Résumé. Pour tout corps kde caractéristique 0, nous établissons pour le cobordisme algébrique
l’analogue d’un théorème de Quillen concernant le cobordisme complexe : l’anneau de
cobordisme algébrique Ω∗(Spec(k)) du corps de base s’identifie à l’anneau Lde Lazard
et plus généralement, pour toute k-variété Xlisse et irréductible l’anneau de cobordisme
algébrique Ω∗(X)est engendré comme module sur l’anneau Lpar l’unité 1∈Ω0(X)et les
éléments de degré strictement positifs. Ce résultat implique la formule du degré conjecturée
par Rost, sous sa forme la plus générale. Enfin, nous relions explicitement l’anneau de Chow
ainsi que le K0d’une k-variété lisse XàΩ∗(X).2001 Académie des sciences/Éditions
scientifiques et médicales Elsevier SAS
Algebraic cobordism II
Abstract. For any field kof characteristic 0we prove for the algebraic cobordism the analogue of
a theorem of Quillen on complex cobordism: the cobordism ring of the ground field is the
Lazard ring Land for any smooth k-variety X, the algebraic cobordism ring Ω∗(X)is
generated, as an L-module, by 1∈Ω0(X)and the element of positive degrees. This implies
Rost’s conjectured degree formula. We also give a relation between the Chow ring, the K0
of a smooth k-variety Xand Ω∗(X).2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques
et médicales Elsevier SAS
Abridged English version
We retain the notations of [5]. Let A∗be an oriented cohomology theory. The operation c1defines
the natural transformation of pointed set valued functors on Lk,c1:Pic→A2, which in general is not
additive. Following the method of Quillen [9] one can show there is a unique power series FA(u, v)∈
A∗(Spec(k))[[u, v]] such that c1(L⊗M)=FA(c1(L),c1(M)) for each pair of line bundles L,M
on an X∈Lk. In addition FA∈A∗(Spec(k))[[u, v]] defines a rank one commutative formal group
on A∗(Spec(k)), i.e., a power series F(u, v)∈A∗(Spec(k))[[u, v]] satisfying the evident properties of
identity, commutativity and associativity. We let (F,L)denote the universal rank one, commutative formal
group; Lis called the Lazard ring. One hence has a canonical homomorphism φA:L→A∗(Spec(k)) with
φA(F)=FA.
Note présentée par Jean-Pierre SERRE.
S0764-4442(01)01833-X/FLA
2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 1

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M. Levine, F. Morel
We recall from [5] the existence of a universal oriented cohomology theory Ω∗on Lk,wherekis a field
of characteristic zero.
THEOREM 1. – The homomorphism φΩ:L→Ω∗(Spec(k)) is an isomorphism.
Remark 1. – Both the Chow ring CH∗(X), and the Grothendieck group of algebraic vector bundles
K0(X)form oriented cohomology theories on Lk(for K0, one needs to adjoin a formal “Bott element” β
of degree −2to give the graded theory K0(X)[β,β−1]). In fact, the canonical natural transformations Ω∗→
CH∗and Ω∗→K0[β,β−1]induce the identifications CH∗∼
=Ω∗⊗LZand K0[β,β−1]∼
=Ω∗⊗LZ[β,β−1].
The homomorphisms L→Z,L→Z[β,β−1]required to define the tensor products correspond to the
additive and the multiplicative formal groups, respectively.
For a projective morphism f:Y→Xin Lkof pure codimension with Xirreducible with field of
functions k(X),letdeg f∈Lbe the image of the class of f∈Ω∗(X)via
Ω∗(X)−→ Ω∗k(X)∼
=L,
where the second map is the inverse of the natural isomorphism L∼
=Ω∗(k(X)) of Theorem 1). Finally,
for X∈Lkirreducible and projective over k,let[X]∈Ldenote the class of Xin L∼
=Ω∗(Spec(k)) and
M(X)⊂Lbe the ideal generated by classes [Y],whereY∈Lkis smooth projective over k, irreducible,
with dim(Y)<dim(X)and admits an Lk-morphism Y→X.
THEOREM 2. – Let f:Y→Xbe a map in Lk, with Xand Yprojective, irreducible. Then
[Y]−(deg f)[X]∈M(X).
Remark 2. – Let sd(X)denote the characteristic number of a smooth projective irreducible k-variety
Xof dimension dassociated with the Newton polynomial.Nowletf:Y→Xbe a morphism between
irreducible projective varieties in Lk, both having the same dimension d. In this case, deg fis just the usual
degree. Suppose that d=pn−1,paprimeandn>0. One then knows that sd(X)is always divisible by p.
As pointed out in [?], it follows from Theorem 2 that there is a zero-cycle zon Xsuch that
sd(Y)
p−(deg f)sd(X) p=deg(z)∈Z.
Cette note 1est la suite de [5]. Ici, kdésigne un corps commutatif de caractéristique 0.
1. L’anneau de cobordisme algébrique d’un corps
D’après ce que l’on a vu dans [5], on dispose d’une loi de groupe formelle commutative homogène de
degré 2sur Ω∗(Spec(k)) et donc d’un homomorphisme canonique d’anneaux gradués commutatifs
φ:L−→ Ω∗Spec(k).
Notons MU∗l’anneau de cobordisme complexe [2,8,9]. Soient σ:k→Cun plongement complexe de k
et Ψ:Ω
∗(Spec(k)) →MU∗,[X]→ [Xσ(C)] l’homomorphisme évident d’anneaux gradués commutatifs,
qui à une variété projective lisse Xde dimension nassocie la classe dans MU2nde la variété compacte
différentiable Xσ(C)des points complexes de X, munie de sa structure presque complexe évidente.2
Il est clair que le composé L→Ω∗(Spec(k)) →MU∗est exactement l’homomorphisme correspondant
à la loi de groupe formelle sur MU∗; c’est donc un isomorphisme d’après Quillen [9]. En particulier,
l’homomorphisme Φ:L→Ω∗(Spec(k)) est toujours injectif.
THÉORÈME 1.1. – L’homomorphisme φ:L→Ω∗(Spec(k)) est un isomorphisme.
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Cobordisme algébrique II
La surjectivité se démontre par récurrence sur la dimension des variétés et utilise [1]. L’injectivité a été
vue ci-dessus.
En particulier, l’homomorphisme Ψ:Ω
∗(Spec(k)) →MU∗précédent est un isomorphisme.
Remarque 1.2. – Soient ΨR:Ω
∗(Spec(R)) →MO∗,[X]→ [Xσ(R)] l’homomorphisme évident
d’anneaux commutatifs qui, à une variété projective lisse Xsur Rde dimension n, associe la classe dans
l’anneau de cobordisme (non orienté) MO∗de la variété compacte différentiable Xσ(R)des points réels
de X(observer que ΨRdivise les degrés par 2). D’après [9] la théorie des classes de Stiefel–Whitney définit
un épimorphisme L→MO∗dont le noyau est l’idéal (homogène) engendré par les coefficients de la série
formelle [2](u):=FU(u, u]∈L[[u]]. Il est clair que ΨR◦Φ:L→MO∗est l’épimorphisme précédent.
Puis que Φest un isomorphisme d’après le théorème 1.1 on obtient l’interprétation « géométrique » suivante
de l’épimorphisme MU∗=L→L/[2] = MO∗:soitx∈MU∗un élément « représenté » par une variété
projective lisse Vsur R. Alors la classe de cobordisme (non orienté) de V(R)=V(C)Z/2ne dépend que
de xet l’homomorphisme MU∗→MO∗ainsi obtenu s’identifie bien à l’épimorphisme L→L/[2].
Nous obtenons également comme corollaire :
COROLLAIRE 1.3. – Pour toute extension de corps (de caractéristique 0)k→Fl’homomorphisme
« extension des scalaires » Ω∗(Spec(k)) →Ω∗(Spec(F)) est un isomorphisme.
Pour toute variété Xlisse sur ket irréductible, de corps des fractions k(X), on dispose d’un homomor-
phisme Ω∗(X)→Ω∗(Spec(k(X))) « fibre générique ». D’après le théorème 1.1, Ω∗(Spec(k(X))) s’iden-
tifie à Let l’on note δ:Ω
∗(X)→Ll’homomorphisme ainsi obtenu dont on note 
Ω∗(X)le noyau ; δest
un inverse à gauche de Ω∗(Spec(k)) →Ω∗(X)et le L-module Ω∗(X)s’identifie donc à L⊕
Ω∗(X).Si
f:Y→Xest un morphisme projectif de pure codimension, on appelle degré de fl’élément δ(f)∈L.
C’est bien le degré de fdéfini par Rost [7]. Si fn’est pas dominant deg(f)=0et si dim(Y)=dim(X)
et fest dominant le degré de fest bien le degré de l’extension k(X)⊂k(Y)(observer que L0=Z).
Observons que, par construction même, l’élément [f]−δ(f)·[IdX]est dans 
Ω∗(X).
2. La formule du degré de Rost
THÉORÈME 2.1 (La formule du degré). – Soit f:Y→Xun morphisme projectif de pure codimension
entre k-variétés lisses, avec Xirréductible. Alors l’élément [f]−δ(f)·[IdX]s’écrit, dans Ω∗(X)comme
une somme finie de la forme :
[f]−δ(f)·[IdX]=
α
ωα·[Zα→X],
avec, pour chaque α,ωαun élément homogène de L,Zαlisse sur k, irréductible et dim(Zα)<dim(X)
et Zα→Xun morphisme projectif définissant un morphisme birationnel de Zαsur son image dans X.
On procède par récurrence sur dim(X). Pour dim(X)=0c’est essentiellement le théorème 1.1. En
général, le fait que [f]−δ(f)·[IdX]s’annule «génériquement» signifie qu’il s’annule par restriction à
un ouvert dense de X. Le théorème de localisation [5] et le théorème 1.1 permettent alors de conclure la
récurrence.
Dans le cas où δ(f)=1on obtient le résultat suivant :
COROLLAIRE 2.2. – Soit Y→Xun morphisme projectif birationnel avec Xet Ylisses irréductibles.
Alors l’élément [Y→X]−[IdX]s’écrit, dans Ω0(X)comme une somme finie de la forme :
[Y→X]−[IdX]=
α
ωα·[Zα→X],
avec, pour chaque α,ωαun élément homogène de Lde degré strictement négatif, Zαlisse sur k,
irréductible (et dim(Zα)<dim(X))et Zα→Xun morphisme projectif.
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M. Levine, F. Morel
Une forme affaiblie du théorème 2.1 fournit l’énoncé suivant, qui est l’analogue du théorème principal
de [9]:
COROLLAIRE 2.3. – Pour toute variété Xlisse sur ket irréductible, le L-module 
Ω∗(X)est engendré
par les éléments de degré strictement positifs, autrement dit par les classes des morphismes projectifs
Y→Xavec Ylisse et dim(Y)<dim(X).
Soit Xune k-variété projective lisse de dimension d. Rost introduit dans [7] l’ideal M(X)⊂L=
Ω∗(Spec(k)) engendré par les classes [Y]∈Ldes variétés projectives lisses Yde dimension <dpour
lesquelles il existe un k-morphisme Y→X.
Les deux énoncés suivants (théorèmes 2.4 et 2.6) avaient été conjecturés par Rost [7]:
THÉORÈME 2.4. – Pour toute k-variété projective lisse Xl’idéal M(X)est stable par les opérations
de Landweber–Novikov (voir [2,9]pour la définition des opérations de Landweber–Novikov sur l’anneau
de cobordisme complexe des variétés différentiables).
Ce résultat s’établit à l’aide de la propriété d’universalité du cobordisme algébrique [5] en définissant les
opérations de Landweber–Novikov par la méthode de Quillen [9] et en observant, à l’aide du théorème 2.1,
le :
LEMME 2.5. – L’idéal M(X)⊂Lest l’image par l’homomorphisme de Gysin associé à π:X→
Spec(k):
π∗:Ω
∗(X)−→ Ω∗−2dSpec(k),
du sous-L-module  Ω∗(X).
THÉORÈME 2.6. – Pour tout morphisme f:Y→Xentre deux k-variétes projectives lisses irréduc-
tibles de pures dimensions, alors
[Y]−δ(f)·[X]∈M(X).
Ce théorème résulte du théorème 2.1 en utilisant le morphisme de Gysin associé à π:X→Spec(k)et
le lemme précédent.
Soient dun entier 1et Ndle dième polynôme de Newton en les variables C1,...,C
d. Rappelons que si
les C1,...,C
dsont les dpremières fonctions symétriques élémentaires en les Xi,onaNd(C1,...,C d)=
iXd
i.Siξest un fibré vectoriel de rang rsur une k-variété lisse Xet c1(ξ),...,cr(ξ)ses classes de
Chern en théorie de Chow on pose Sd(ξ)=N
d(c1(ξ),...,cd(ξ)) ∈CHd(X). On voit immédiatement que
Sd(ξ⊕η)=S
d(ξ)+S d(η).
Si de plus Xest projective et de dimension d, on pose sd(X):=degS
d(τX)∈Z,τXdésignant le
fibré tangent de Xet deg : CHd(X)→Zl’homomorphisme degré usuel. On déduit facilement de ce qui
précède que si Xet Ysont deux k-variétés projectives lisses de dimension det d,onasd+d(X×Y)=0
si d>0et d>0. Autrement dit, l’homomorphisme sd:L−d→Zinduit par sds’annule sur les éléments
décomposables.
À l’aide du théorème 2.1, on obtient immédiatement le résultat suivant (en observant que sd(ωα·[Zα]) =
0implique dim(Zα)=0):
Soit f:Y→Xun morphisme entre deux variétés projectives lisses de dimension d∈N. Alors il existe
un 0-cycle de la forme αsd(ωα)·zα, dans lequel les zαsont des points fermés de X, et dont le degré
αsd(ωα)·[κ(xα):k]est égal à l’entier sd(Y)−deg(f)·sd(X).
Lorsqu’il existe un nombre premier pet un entier n1tels que d=pn−1on montre [2,8] que sd(X)
est toujours divisible par p. Sous cette hypothèse on peut donc diviser par pl’énoncé précédent et l’on
obtient le résultat suivant 3[7]:
COROLLAIRE 2.7. – Soit f:Y→Xun morphisme entre deux variétés projectives lisses de dimension
d∈N. Supposons qu’il existe existe un nombre premier pet un entier ntels que d=pn−1. Alors il existe
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Cobordisme algébrique II
un 0-cycle (à coefficients entiers)sur X, dont le degré est égal à l’entier
sd(Y)
p−deg(f)·sd(X) p.
Remarque 2.8. – Le théorème 3.1 permet également de retrouver la formule du degré d’ordre supérieur
établie dans [3].
3. Comparaison avec l’anneau de Chow et le K0
Dans l’énoncé suivant, Zest muni de la loi de groupe additive.
THÉORÈME 3.1. – Pour toute variété Xlisse sur k, l’homomorphisme évident Ω∗(X)⊗LZ→CH∗(X)
est un isomorphisme (voir [5]).
L’idée de la démonstration est la suivante. Soit Z⊂Xun sous-schéma fermé irréductible. Choisissons
une résolution  Z→Z(cf. [4]), autrement dit un morphisme projectif birationnel avec  Zlisse sur k.Àl’aide
du corollaire 2.2 (et de [4]) on voit que la classe de [ Z→X]∈Ω∗(X)⊗LZne dépend que de Z.
On définit ainsi un homomorphisme « canonique » Z∗(X)→Ω∗(X)⊗LZ,Z∗(X)désignant le groupe
abélien libre de base les sous-schémas fermés irréductibles de Xque l’on gradue par la codimension. On
vérifie ensuite à l’aide du théorème 2.1 que cet homomorphisme est surjectif et que l’homomorphisme
composé M∗(X)+→Ω∗(X)→Ω∗(X)⊗LZest égal au composé M∗(X)+→Z∗(X)→Ω∗(X)⊗LZ
dans lequel l’homomorphisme M∗(X)+→Z∗(X)envoie [f:Y→X]sur 0si dim(f(Y)=dim(Y)et
sur [k(Y):k(f(Y))] ·f(Y)si dim(f(Y)) = dim(Y).
On remarque ensuite que le sous-groupe R(X)⊂Z(X)des relations qui définissent l’anneau de
Chow de X(autrement dit, les équivalences rationnelles) est envoyé sur le sous-groupe trivial par
l’homomorphisme Z∗(X)→Ω∗(X)⊗LZcomme cela résulte de l’invariance par homotopie. On obtient
ainsi un homomorphisme (surjectif) CH∗(X)→Ω∗(X)⊗LZ, dont le composé avec Ω∗(X)⊗LZ→
CH∗(X)est l’identité. Ce qui achève la démonstration. ✷
Une filtration du cobordisme algébrique. – Soient Xune k-variété lisse et n0un entier. On définit
le sous-groupe gradué F(n)(Ω∗(X)) comme le sous-groupe engendré par les classes [f:Y→X]telles
que Yest irréductible et dim(Y)−dim(f(Y)) n. On note L1⊂Ll’idéal d’augmentation 4de L,Ln
sa puissance nième. Enfin, on note I∗(X)⊂Ω∗(X)le noyau de l’homomorphisme Ω∗(X)→CH∗(X).
THÉORÈME 3.2. – Pour toute k-variété lisse Xon a F(1)(Ω∗(X)) = I∗(X)et tout entier n0,ona:
F(n)Ω∗(X)=Ln·Ω∗(X).
Le théorème 3.1 fournit l’égalité L1·Ω∗(X)=I∗(X). Comme on a clairement la suite d’inclusions
L1·Ω∗(X)⊂F(1)(Ω∗(X)) ⊂I∗(X)on obtient le premier énoncé. Les inclusions Ln·Ω∗(X)⊂
F(n)(Ω∗(X)) sont claires et enfin les inclusions F(n)(Ω∗(X)) ⊂Ln·Ω∗(X)se démontrent à l’aide
du théorème 2.1.
COROLLAIRE 3.3. – Pour tout couple (n, m)d’entiers on a
F(n)Ω∗(X)·F(m)Ω∗(X)⊂F(n+m)Ω∗(X).
En effet, on a les inclusions Ln·Lm⊂Ln+m.
Notons Gr∗(Ω∗(X)) le gradué associé à la filtration que nous venons de construire. Cette filtration
est multiplicative et Gr∗(Ω∗(X)) est une algébre bigraduée commutative sur CH∗(X)=Gr
0(Ω∗(X)).
On observe de plus que Gr∗(Ω∗(X)) est une L-algèbre bigraduée : en effet, la filtration construite sur
Ω∗(X)est contravariante en Xpour les morphismes lisses équidimensionnels. On conclut en observant
que Gr∗(Ω∗(Spec(k))) = L(attention à la bigraduation!).
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