Exercice 2-26

Exercice 2-26 (Kane) :
Une balle de base-ball est lancée, vers le haut, à la vitesse de 40 ms-1 selon une
direction qui fait un angle de 30° par rapport à l’horizontale.
a) Quelle hauteur maximum atteint-elle ?
b) Quand ?
c) Quelle est, à ce moment, la distance horizontale qui la sépare de la batte
(portée,P)?
Données :
v0 = 40 ms-1
θ0 = 30°
Inconnues :
Hmax = ?
tHmax = ?
P=?
Formules :
Tout d’abord, nous définissons un système d’axes dont l’origine x0 = 0, y0 =0 se
trouve au point d’impact entre la batte et la balle (cf. dessin).
Le vecteur vitesse initiale trouve son origine en x0 = 0, y0 =0 et forme un angle de
30° avec l’axe x. On peut donc décomposer ce vecteur vitesse initiale en une
composante selon x et une selon y. Donc vx0 = v0 cos θ0 = 40 cos (30°) = 34,7
ms-1 et vy0 = v0 sin θ0 = 40 sin (30°) = 20 ms-1
La trajectoire d’un projectile soumis a à la pesanteur est une parabole. La balle
dans un tel type de mouvement subit une accélération égale à 0 selon l’axe x et
une accélération égale à –g selon l’axe y. L’évolution de la position de la balle
selon l’axe y s’écrit de la manière suivante :
y = y0 + vy0 t – (1/2) g t² (i)
Et selon l’axe x :
x = x0 + vx0 t (ii)
De plus selon les équations du mouvement, l’évolution de la vitesse selon y
s’écrit :
v²y = v²y0 - 2g(y-y0) (iii)
Résolution
a) Lorsque la balle atteint sa hauteur maximale H, nous savons que sa vitesse
selon l’axe y est égale à 0 (v0 = 0). Selon l’équation (iii), on obtient en
remplaçant par les valeurs numériques :
0 = (20)² - 2(10)(H)
H est donc égal à 20 m
b) Le temps mis pour atteindre la hauteur maximale H s’obtient à partir de
l’équation (i) en remplaçant y par H =20 m, cela donne :
20 = 20t – (1/2) (10) t²
C’est une équation du second degré dont le delta est nul, elle n’admet donc
qu’une solution : t = 2 s
c) La portée P est l’intersection entre la parabole et l’axe des x. On trouve sa
valeur grâce à l’équation (ii). La portée s’obtient en remplaçant le temps que
mettra la balle pour effectuer la trajectoire complète c'est-à-dire deux fois le
temps pour atteindre la hauteur maximale (par symétrie de la parabole) soit t = 4
s.
(x – x0) = P = 34,7 (4) = 140 m