Sujet 2008 - Société Tunisienne de Physique

REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTERE DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION
CONCOURS NATIONAL DE PHYSIQUE
PROPOSE PAR LA SOCIETE TUNISIENNE DE PHYSIQUE
DUREE : 2H
SESSION : AVRIL 2008
Toute calculatrice non programmable est autorisée.
Au cours de la correction, la présentation de la copie est prise en considération.
Exercice N°1
Un système (S) en rotation est constitué d’une poulie homogène de rayon R = 6 cm, d’une
tige, et de deux solides A et B supposés ponctuels de même masse m fixés aux extrémités de
la tige. Le système (S) est mobile autour d’un axe fixe (∆) horizontal passant par le centre O
de la poulie (voir figure ci-dessous). Le moment d’inertie de (S) par rapport à (∆) est :
J = 7,2. 10 −4 kg. m
2
A
Un fil inextensible de masse supposée
nulle est attaché par l’une de ses
extrémités à un solide (S 1 ) de masse
m 1 = 200 g et par sa deuxième extrémité
à un solide (S 2 ) de masse m 2 = 4 m1. Le
fil passe sans glisser sur la gorge de la
poulie.
(S)
O
(S1)
α
(S 1 ) est placé sur un plan rugueux incliné d’un angle
(S2)
(∆)
B
β
α = 45° par rapport à l’horizontale. Le
r
plan exerce sur (S1) des frottements constants de valeur f = 0,5 N.
(S 2 ) est placé sur un plan parfaitement lisse et incliné d’un angle β = 30° par rapport à
r
l’horizontale. On désigne par g le vecteur champ de pesanteur du lieu considéré.
Lorsque le système est abandonné sans vitesse initiale à un instant de date t = 0, le solide
(S2) prend un mouvement rectiligne descendant.
1) a- Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour chacun des solides (S1), (S2) et
pour le système (S).
b- Montrer que la valeur de l’accélération a des solides (S1) et (S2) est de la forme:
a =
r
r
m1 g (4sinβ - sinα) - f
J
5m1 + 2
R
.
En déduire sa valeur numérique.
2) Calculer la vitesse angulaire du système en rotation à l’instant de date t 1 = 10 s.
3) A cet instant t1, le fil est coupé et, sous l’effet d’un couple de freinage exercé sur la poulie,
le système en rotation s’arrête après avoir effectué 10 tours.
Déterminer la valeur du moment MC du couple de freinage supposé constant et la durée,
r
comptée à partir de la date t1, mise par le système pour s’arrêter. On prendra: g = 10 m.s -2
Exercice N°2
On se propose de déterminer la masse M de Jupiter en étudiant le mouvement de ses
principaux satellites: Io, Europe, Ganymède et Callisto.
1/ Le mouvement d’un satellite, de masse m, est étudié dans un repère considéré comme
galiléen, ayant son origine au centre de Jupiter et ses axes dirigés vers des étoiles lointaines
considérées comme fixes.
a- En supposant que Jupiter et ses satellites ont une répartition de masse à symétrie sphérique
et qu’un satellite (S1) se déplace sur une trajectoire circulaire, à la distance R1 du centre de
r
Jupiter, déterminer la nature du mouvement de (S1) et l’expression qui relie la valeur v de
sa vitesse à R1, à la masse M et à la constante de gravitation universelle G.
b- En déduire 1’expression de la période T1de révolution du satellite.
c- Montrer que, pour un satellite mobile sur une trajectoire circulaire de rayon R avec une
T2
période T, le rapport 3 est constant.
R
2/ Par des méthodes de mesures appropriées, les périodes de révolution et les rayons des
orbites des satellites de Jupiter ont été déterminés. Leurs valeurs sont consignées dans le
tableau suivant :
Satellite
Io
Europe Ganymède
En utilisant les données du
Période
T
(heure)
42,5
85,2
171,7
tableau, on représente dans un
6
Rayon R (10 m) 422 671
1070
système d’axes, le graphe
2
3
donnant les variations de T en fonction de R (voir graphe ci-dessous).
a-A partir du graphe,
écrire l’équation qui relie
T2 à R 3 .
Callisto
400,5
1883
T2
4.1011s2
4.1026m3
b- Déduire la masse M
de Jupiter.
On donne:
La constante G de
gravitation universelle :
G = 6,67.10-11 N .m2 kg-2.
0
R3
Corrigé
Exercice N°1
1°/ La relation fondamentale de
la dynamique pour :
Le système : {(S1)}
Repère galiléen.
Bilan des forces :
(S1) est soumis à son poids
r
r
P1 à la réaction R 1 du plan et
r
à la tension: T1 du fil
Par application du théorème du
centre d’inertie on peut écrire :
r
r r
r
P1 + R1 +T1 = m1.a1
Projection suivant (x’x) :
r
r
r
- P1 sinα - f + T1 = m1.a1
A
y’
x
(S1)
y
O,
x’
α
β
(S2)
B
Le système : {(S2)}
Repère galiléen.
r r r
Bilan des forces : P2 , R 2 , T2
Par application du théorème du centre d’inertie on peut écrire :
r
r
r
r
P2 + R 2 + T2 = m 2 .a 2
Projection suivant ( y ' y )
r
r
p 2 sinα - T2 = m 2 a 2
Le système {(S)}
r
r
Bilan des forces : (S) est soumis à son poids P , à la réaction R 3de l’axe de rotation ( ∆ ), à la
r
r
tension T1' du fil soutenant (S1) et à la tension T2 ' du fil soutenant (S2).
Par application de la relation fondamentale de la dynamique à la poulie, on peut écrire :
M Rr / ∆ + M Pr / ∆ + M Tr1 ' / ∆ + M Tr ' 2 / ∆ = J .θ ' '
M Pr / ∆ = 0
M Rr / ∆ = 0
r
r
car R 3 et P rencontrent l’axe (∆)
ur
ur
T 2 ' .R - T1' .R = J.θ''
b) La valeur de l’accélération a :
Comme le fil et inextensible et passe dans la même gorge de la poulie donc : a1 = a 2 = a
r
r
r
r
T1 = T1' et T2 = T2'
r
r
- f + T1 - P1 .sinα = m1.a
ur
- T1 .R +
uur
P2 sinβ -
uur
a
T2 .R = J.
R
r
T2 = m 2 .a
uur
ur
r
J
R. P2 sinβ - P1 R.sinα - f R = a(m1R + m 2 R + )
R
r
r
r
J
- f R - m1 g Rsinα + 4m1 g Rsinβ = a(5m1R + )
R
r
r
J
R[m1 g (4sinβ - sinα) - f ] = a(5m1 + 2 )R
R
r
r
m1 g (4sinβ - sinα) - f
a=
⇒ a = 1,74 m.s-2
J
5m1 + 2
R
2) La vitesse angulaire du système en rotation à l’instant de date t 1 = 10 s.
θ' =
v
at
⇒ θ' = 1 ⇒ θ' = 290 rad.s -1
R
R
3) La valeur du moment MC du couple de freinage
Système {tige, Poulie}
ur uur
Bilan des forces : P, R et le couple des forces de frottement .
M P / ∆ + M R / ∆ + M f / ∆ = J .θ ' '1
M f / ∆ = J .θ ' '1 MC
Comme le moment du couple MC de frottement est constant θ ’’ est alors constante et le
mouvement du système est uniformément varié, on peut donc écrire :
θ'22 - θ'12 = 2θ1''(θ 2 - θ1 )
θ''1 = -
θ'12
2902
== - 669 rad.s -2
2(θ 2 -θ1 )
40π
M f/∆ = J.θ''1 = - 0,48 N.m
La valeur de la durée mise par le système pour s’arrêter :
On a :
= -669t+290 ;
= 0 si t = 290/669 = 0,43 s
Le système s’arrête après une durée de 0,43 s
Exercice N°2
1/
a- Système = {Satellite}
La force qui agit sur le satellite (S1) et dirigée vers Jupiter
uuur
r
G.m.M
est FJ/S1 telle que : FJ/S1 =
R 12
Par application de la loi fondamentale de la
r
r
dynamique on peut écrire : F = m.a .
Dans le repère de Frénet, on peut écrire :
dv
m.a T = m = 0
r
dt
m.a
m.v 2
G.m.M
m.a n =
=
R1
R12
r
n
r
FJ / S
r
τ
dv
= 0 ⇒ v = Cste ⇒ le mouvement du satellite est circulaire uniforme. Il se fait avec une
dt
vitesse angulaire ω constante
m.v 2
G.m.M
=
R1
R 12
v2 =
bc-
G.M
G.M
= R12 ω2 ⇒ ω2 =
R1
R13
4π 2 R13
4π 2
=
ω2
G.M
2
2
T
4π
=
= Cte
3
R
G.M
T12 =
⇒ T1 = 4π
R13
G.M
2 / Le graphe représentant T2 = f (R3) est une droite linéaire de pente "a" égale à :
4π 2
a=
≈ 0,31 × 10 −15
G.M
4π 2
4×π 2
La masse M de Jupiter est égale à M =
≈
≈ 1,9 ×1027 kg
G . a 6,67×10-11×0,31×10-15