Devoir de Sciences-Physiques K` L` M` N`

Devoir de Sciences-Physiques
Ephémérides
I. Exploitation des courbes publiées par la revue
5
y en 10 km
y C Callisto
y G Ganymède
15
y E Europe
10
L’
y I Io
5
M’
K’
0
-5
N’
-10
-15
t en jours
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1.
2. Le couple L' et N' (ou K' et M') correspond à une demi période d'Europe soit 1,75j d'où T = 2×(tL' - tN') = 2×1,75 = 3,5j.
3. Le couple L' et N' permet de déterminer le diamètre de la trajectoire d'Europe : yL' - yN' = 1,4.106 km
4. Le satellite le plus proche de Jupiter est Io (courbe ayant l'amplitude la plus faible, donc rayon de la trajectoire le plus faible).
Le satellite ayant la plus grande période est Callisto.
uur
uN
II. Détermination de la masse de Jupiter
1. Système : {satellite} étudié dans le référentiel "Jupiterocentrique" considéré
galiléen (solide imaginaire constitué par le centre de Jupiter et 3 directions
uuur
d'étoiles lointaines).
u JS
Satellite
Bilan des forces extérieures : force gravitationnelle exercée par Jupiter
uuur
uuur
J
m.M uuur
FJ / S avec FJ / S = −G 2 u JS
r
uuur
Jupiter
avec u JS vecteur unitaire dirigé de J vers S, G constante de gravitation
universelle, r rayon de la trajectoire et M masse de Jupiter.
r v 2 uur
v 2 uuur
2. L'accélération d'un satellite à mouvement circulaire uniforme a pour expression : a = u N = − u JS Œ
r
r
uuur
r
D'après la deuxième loi de Newton appliquée au satellite : ΣFext = m.a
uuur
r
r
m.M uuur
M uuur
v2
M
GM
d'où : FJ / S = −G 2 u JS = m.a et a = −G 2 u JS • En identifiant Œ et • :
= G 2 d'où v =
Ž
r
r
r
r
r
3. Le satellite le plus rapide est le plus proche de Jupiter car d'après Ž si r diminue alors v augmente.
La vitesse d'un satellite ne dépend pas de sa masse (m n'intervient pas dans la relation Ž), il n'est pas possible de choisir entre le
plus léger et le plus lourd.
4. La période T est la durée nécessaire au satellite pour faire un tour dans le référentiel d'étude.
uuur
FJ / S
T=
circonférence de l 'orbite 2πr
r
r3
=
= 2πr
= 2π
vitesse
v
GM
GM
5. En élevant au carré : T 2 = 4π2
T 2 4π2
r3
d'où 3 =
• (3ème loi de Kepler) : il y a proportionnalité entre T2 et r3.
GM
r
GM
6.
a. La courbe est une droite qui passe par O : la troisième loi de Kepler est bien vérifiée car il y a proportionnalité entre T2 et r3 :
4π²
4π2
b. T2 = k × r3 avec k = 3.10-16 s2.m-3 d'après l'énoncé soit T2 / r3 = k or d'après • k =
d'où M =
GM
G.k
4.10
4 10
4
4
=
= ×10 ×1026 = 1027 = 1,3.1027 kg ≈ 1027 kg
10−10 × 3.10−16 3 10−26 3
3
L'ordre de grandeur (puissance de 10 la plus proche) de la masse de Jupiter est de 1027kg.
En fait, la masse exacte de Jupiter est de 1,90.1027kg.
A.N. : M ≈
DS49#COR.doc