Exercice sur les satellites

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EXERCICE 1 "L'Univers dans la balance"
On sait que l'étude du mouvement de chute d'un objet de masse m, soumis à l'attraction gravitationnelle d'un astre de masseM,
permet de déterminer cette masse M, si l'on a au préalable déterminé la valeur de la constante de gravitation universelleG.
Mais, en dehors de notre planète, l'expérience n'est guère réalisable ! Heureusement, un exemple de chute est fourni par un
satellite ; s'il ne tombe pas, c'est parce que la vitesse initiale, qui lui a été communiquée perpendiculairement à la verticale, le
tient éloigné de la planète qui l'attire. Son mouvement suit la troisième loi de Képler qui indique que :
T2
r3 =Cste
. La
Constante fait intervenir le facteur (M + m), mais si M est très grand devant m, on peut ne prendre en compte que M. Ainsi, la
mesure de a et de T permet de déterminer M. On a réalisé une véritable balance cosmique!
DONNEES :
* constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 N.m2.kg-1
* intensité de la pesanteur à la surface de la Terre : g0 = 9,81 m.s-2
* rayon terrestre : R = 6,37 . 106 m
rayon de l'orbite (considérée comme circulaire) période de révolution
Jupiter ( / Soleil) rJ = 7,78.1011 m TJ = 3,74.108 s
Io ( / Jupiter) rIo = 4,22 . 108 m TIo = 1,53.105 s
Lune ( / Terre) rL = 3,84.108 m TL = 2,36.106 s
note : Io est un satellite de Jupiter
I. Etude préliminaire. (Ces relations seront utilisées dans la suite de l'exercice ).
1) La force gravitationnelle qu'un astre de masse M à symétrie sphérique exerce sur un corps de masse m également à symétrie
sphérique a une intensité :
f=G. m.M
r2
a) Que représente r ?
b) L'astre de masse M est-il soumis à une force?Si oui, indiquer ses caractéristiques.
Dans la suite de l'exercice, tous les corps étudiés auront la symétrie sphérique et pourront être assimilés à des objets
ponctuels.
2) Déduire de ce qui précède une expression de l'intensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre.
3)
a) Dans le cas d'un mouvement de rotation circulaire, de rayon r, d'un satellite de masse m, soumis à l'attraction
gravitationnelle d'un astre de masse M (M >> m), montrer que la vitesse v reste constante. Cette vitesse a la valeur :
v=
G.M
r
b) Dans l'hypothèse où la masse du satellite est différente de m, par exemple, m' = 3m, indiquer, en le justifiant, si la vitesse
est modifiée ou non.
4) Dans les hypothèses de la question précédente, trajectoire circulaire et M très grand devant m, montrer que la loi de Kepler
est bien vérifiée et donner l'expression de la constante à laquelle il est fait allusion dans le texte.
II. Détermination de la masse de la Terre.
La première phrase du texte indique un moyen pour déterminer la masse de la Terre. Proposer une expérience réalisable au
laboratoire :
- faire une description succincte du matériel nécessaire;
- indiquer le mode opératoire, en précisant les mesures à effectuer;
-calculer la valeur de la masse MT de la Terre à partir de ces mesures (on pourra utiliser les valeurs numériques fournies
dans les données).
III. Détermination de la masse du Soleil et de Jupiter.
1) Donner les expressions de la masse du Soleil et de Jupiter et calculer leurs valeurs.
2) Montrer, a posteriori, que l'hypothèse M >> m est bien vérifiée pour l'un des calculs effectués.
IV. Détermination de la masse de la Lune.
1) En utilisant les indications du texte et en sachant que la Lune est un astre dont la masse n'est pas négligeable devant celle de
la Terre, donner la bonne expression de la loi de Kepler.
2) En déduire une valeur approchée de la masse ML de notre satellite naturel (la méthode proposée ici, compte tenu de la
précision des données, ne donne pas un résultat précis).

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EXERCICE 1 "L'Univers dans la balance" corrigé
I. Etude préliminaire
1) a) r représente la distance entre les deux centres.
b) Oui, elle a même valeur, mais elle est de sens opposé, d'après le principe de l'action et de la réaction.
2) A la surface de la Terre, on a :
P=m.g0 =G. m.M
R2
soit
g0 =G.M
R2
3) a) La force est centripète, il en est de même de l'accélération ; l'accélération tangentielle est donc nulle et la norme du
vecteur vitesse est constante.
b) La masse qui figure dans l'expression de la force gravitationnelle et dans le produit
m.  a
(
a
: vecteur accélération),
s'élimine et n'intervient pas dans l'expression de la vitesse. La vitesse est donc la même pour les deux satellites.
4) On a : 2r = VT , soit :
T2
r3 =4 2
GM
La constante vaut donc :
4 2
GM
II. Détermination de M T
On peut, par exemple, étudier la chute libre d'un objet à la surface de la Terre et mesurer l'accélération de la pesanteur.
Pour minimiser les frottements dus à l'air, il faut prendre un objet dense et mesurer de façon précise sa position en fonction du
temps par chronophotographie, en utilisant des capteurs optiques ou en filmant la séquence. Des mesures de position, on déduit
la vitesse et l'accélération.
Comme
g0 =G.M T
R2
, on en déduit :
MT=g0. RT
2
G=5,98 .1024 kg
III. Détermination de M S et M J
1) On prend Jupiter comme satellite pour déterminer MS :
MS=4.2 .rJ
3
G.T J
2=1,99 .1030 kg
On prend Io comme satellite de Jupiter pour déterminer MJ :
MS=4. 2 .rIo
3
G.T Io
2=1,90 .1027 kg
2) On trouve bien MS >> MJ mais on ne connaît pas la masse de Io. L'hypothèse est donc bien vérifiée pour le premier calcul,
mais on ne peut rien dire pour le second.
IV. Détermination de M L
1) On a :
T2
r3 =4 2
G.MTML
La constante C vaut donc :
4 2
G.MTML
2) On extrait ML de la relation précédente :
G.MTML= 4 2
C
soit
MTML=4 2
CG
ou encore
ML=4 2
CG −MT
Ce
qui donne :
ML=4 2 rL
3
TL
2 .G−MT
AN : ML = 4,7.1022 kg
Cette valeur est effectivement différente de la valeur trouvée par des méthodes plus précises qui est : 7,35.1022 kg.