Problème n° 1

Licence de Mathématiques
U1
Problème 1
Dans un espace métrique E, on considère une suite décroissante (Kn)n∈N de parties compactes.
On pose L = K
I
Nn∈
n.
1) Montrer que L est compact.
2) Soit Ω un ouvert de E. Montrer que L ⊆ Ω entraîne l’existence d’un n tel que Kn ⊆ Ω.
(Indication : considérer les Cn= Kn∩Ωc).
3) On suppose de plus que Kn est connexe pour tout n. On se propose de montrer que L est
connexe. Pour cela, on suppose que L = L1 ∪L2, avec L1 et L2 compacts non vides
disjoints.
a) Montrer que ε = d(L1,L2) > 0.
b) Soit Ωi = {x∈E| d(x,Li) < ε/2}. Montrer que Ω1 et Ω2 sont des ouverts disjoints et que L ⊆
Ω1 ∪Ω2.
c) Montrer qu’il existe un n tel que Kn ⊆ Ω1 ou Kn ⊆ Ω2.
d) Conclure que L est connexe.
4) Montrer par un contre-exemple (dans R2) qu’on peut avoir une suite décroissante (Fn)n∈N
de fermés connexes tels que leur intersection soit non vide et non connexe.

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U1
Problème 2
Soit E un espace vectoriel normé. Une application linéaire u de E dans E est dite compacte si
pour toute partie bornée A de E, )A(u est compact. Soit K l’ensemble des applications
linéaires compactes. On notera B la boule fermée unité B’(0,1).
1°) a) Si A est une partie bornée, montrer qu’il existe un r > 0 tel que
r
1A⊆B.
b) En déduire que u est compact si et seulement si )B(u est compact.
2°) Montrer que K ⊆ L(E,E).
3°) Si u∈L(E,E) et dim(u(E)) < ∞ , montrer que u∈K.
4°) Si u∈K et v∈L(E,E), montrer que u o v∈K.
5°) Si u∈K et v∈L(E,E), montrer que v o u∈K.
6°) Montrer que K est un sous-espace vectoriel de L(E,E).
7°) Si u∈K, montrer que u(B) est précompact.
8°) Si E est complet, montrer que K est fermé dans L(E,E).

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U1
Problème 3
I
Soient Ω un ouvert de E normé et g une application différentiable de Ω dans F. On dit que g
est uniformément différentiable si pour tout ε > 0, il existe un η tel que ||y − x|| ≤ η entraîne
||g(y) − g(x) − Dg(x).(y − x)|| ≤ ε||y − x||.
Montrer que si Ω est convexe et Dg uniformément continue, g est uniformément
différentiable.
II
Soient I = [a,b] ⊆ R et A = C (I,R). Soit p : R R de classe C →1. Si ϕ∈A, on pose :
F(ϕ) = p(ϕ (x))dx.
a
b
∫
1) Montrer que la restriction de F à la boule fermée B’(0,r) est uniformément continue.
2) Soit ϕ∈A. Pour t∈A, on pose Lϕ(t) = Dp(ϕ(x)) t(x) dx. Montrer que L
a
b
∫ϕ∈L(A,R).
3) Montrer que la restriction de F à la boule ouverte B(0,r) est uniformément différentiable et
que DF(ϕ ) = Lϕ.
4) Montrer que F est de classe C 1.
5) Si Dp est majorée par une constante M, montrer qu’il existe une constante k telle que pour
tous ϕ,ψ ∈A, on ait :
|| F(ϕ) − F(ψ)|| ≤ k||ϕ − ψ||.

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U1
Problème 4
Soient f : [0,a] R et g : [0,b] R deux fonctions de classe C →→1. On pose
S = [0,a]×[0,b]. On définit une fonction F sur S par :
F(u,v) = (u +v,f(u) + g(v)).
1) Montrer que F est de classe C 1 et calculer sa dérivée.
2) Soit (u0,v0) un point intérieur à S. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
F soit un difféomorphisme au voisinage de ce point.
3) Calculer alors la dérivée de F–1.
4) Si (u1,v1) ≠ (u2,v2) et F(u1,v1) = F(u2,v2) , montrer qu’il existe u3∈[u1,u2] et v3∈[v1,v2] tels
que Df(u3) = Dg(v3).
5) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que F soit un difféomorphisme de S
sur F(S).

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U5
Problème 5
I
Soit B’(0,r) une boule fermée de Rd et g une fonction de K = [−a,a]×B’(0,r) dans Rd de classe
C 1. On suppose que ||g|| ≤ M = a
r.
Soit A l’ensemble des fonctions continues de [−a,a] dans B’(0,r), muni de la distance de la
convergence uniforme. Si µ ∈ A, on pose :
(F(µ)) (t) = g(s,µ(s)) ds.
∫t
0
1) Montrer que F(µ) ∈ A.
2) Si k = ||D2g||, montrer que g est k-lipschitzienne par rapport à la seconde variable.
3) Montrer par récurrence que ||Fn(µ1)(t) – Fn(µ2)(t)|| ≤ n!
tk n
n
d(µ1, µ2).
4) Montrer qu’il existe un entier N tel que FN admette un unique point fixe.
5) Si
ϕ est un point fixe de FN, montrer que c’est un point fixe de F, donc une solution de
l’équation différentielle y’= g(t,y) vérifiant ϕ(0) = 0.
II
Soit B’(0,r) une boule fermée de Rd et f une fonction continue de K = [−a,a]×B’(0,r) dans Rd.
On suppose que ||f|| < M = a
r.
1) Montrer que pour tout n, il existe une fonction gn de K dans Rd de classe C ∞ telle que
||f – gn|| < n
1 et ||gn|| < M (utiliser le Théorème de Stone-Weierstrass).
2) Soit
ϕn une solution de l’équation y’= gn(t,y) définie sur [−a,a] à valeurs dans B’(0,r) et
vérifiant ϕn(0) = 0 (Voir I). Montrer que : ||ϕn(t) – ϕn(t’)|| ≤ M |t – t’|.
3) Montrer qu’il existe une suite extraite de la suite (ϕn)n qui converge uniformément vers
une fonction ϕ (utiliser le Théorème d’Ascoli). On supposera dorénavant que c’est la suite
(ϕn)n elle même (ce qui ne restreint pas la généralité du raisonnement qui va suivre).
4) Montrer que f(t,ϕn(t)) converge uniformément vers f(t,ϕ(t)) (utiliser le Théorème de
Heine).
5) En déduire que Dϕn(t) converge uniformément vers f(t,ϕ(t)).
6) Montrer que
ϕ est une solution de l’équation y’= f(t,y) vérifiant ϕ(0) = 0.
7) Enoncer le Théorème qui est ainsi démontré et le comparer au Théorème de Cauchy-
Lipschitz.