Licence de Mathématiques U1 Problème 1 Dans un espace métrique E, on considère une suite décroissante (Kn)n∈N de parties compactes. On pose L = I Kn. n∈N 1) Montrer que L est compact. 2) Soit Ω un ouvert de E. Montrer que L ⊆ Ω entraîne l’existence d’un n tel que Kn ⊆ Ω. (Indication : considérer les Cn= Kn∩Ωc). 3) On suppose de plus que Kn est connexe pour tout n. On se propose de montrer que L est connexe. Pour cela, on suppose que L = L1 ∪L2, avec L1 et L2 compacts non vides disjoints. a) Montrer que ε = d(L1,L2) > 0. b) Soit Ωi = {x∈E| d(x,Li) < ε/2}. Montrer que Ω1 et Ω2 sont des ouverts disjoints et que L ⊆ Ω1 ∪Ω2. c) Montrer qu’il existe un n tel que Kn ⊆ Ω1 ou Kn ⊆ Ω2. d) Conclure que L est connexe. 4) Montrer par un contre-exemple (dans R2) qu’on peut avoir une suite décroissante (Fn)n∈N de fermés connexes tels que leur intersection soit non vide et non connexe. Licence de Mathématiques U1 Problème 2 Soit E un espace vectoriel normé. Une application linéaire u de E dans E est dite compacte si pour toute partie bornée A de E, u (A) est compact. Soit K l’ensemble des applications linéaires compactes. On notera B la boule fermée unité B’(0,1). 1 1°) a) Si A est une partie bornée, montrer qu’il existe un r > 0 tel que A⊆B. r b) En déduire que u est compact si et seulement si u (B) est compact. 2°) Montrer que K ⊆ L(E,E). 3°) Si u∈L(E,E) et dim(u(E)) < ∞ , montrer que u∈K. 4°) Si u∈K et v∈L(E,E), montrer que u o v∈K. 5°) Si u∈K et v∈L(E,E), montrer que v o u∈K. 6°) Montrer que K est un sous-espace vectoriel de L(E,E). 7°) Si u∈ K , montrer que u(B) est précompact. 8°) Si E est complet, montrer que K est fermé dans L(E,E). Licence de Mathématiques U1 Problème 3 I Soient Ω un ouvert de E normé et g une application différentiable de Ω dans F. On dit que g est uniformément différentiable si pour tout ε > 0, il existe un η tel que ||y − x|| ≤ η entraîne ||g(y) − g(x) − Dg(x).(y − x)|| ≤ ε||y − x||. Montrer que si Ω est convexe et Dg uniformément continue, g est uniformément différentiable. II Soient I = [a,b] ⊆ R et A = C (I,R). Soit p : R → R de classe C 1. Si ϕ∈A, on pose : b F(ϕ) = ∫ p(ϕ (x))dx. a 1) Montrer que la restriction de F à la boule fermée B’(0,r) est uniformément continue. 2) Soit ϕ∈A. Pour t∈A, on pose Lϕ(t) = ∫ b a Dp(ϕ(x)) t(x) dx. Montrer que Lϕ∈L(A,R). 3) Montrer que la restriction de F à la boule ouverte B(0,r) est uniformément différentiable et que DF(ϕ ) = Lϕ. 4) Montrer que F est de classe C 1. 5) Si Dp est majorée par une constante M, montrer qu’il existe une constante k telle que pour tous ϕ,ψ ∈A, on ait : || F(ϕ) − F(ψ)|| ≤ k||ϕ − ψ||. Licence de Mathématiques U1 Problème 4 → R et g : [0,b] → R deux fonctions de classe C 1. On pose Soient f : [0,a] S = [0,a]×[0,b]. On définit une fonction F sur S par : F(u,v) = (u +v,f(u) + g(v)). 1) Montrer que F est de classe C 1 et calculer sa dérivée. 2) Soit (u0,v0) un point intérieur à S. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que F soit un difféomorphisme au voisinage de ce point. 3) Calculer alors la dérivée de F–1. 4) Si (u1,v1) ≠ (u2,v2) et F(u1,v1) = F(u2,v2) , montrer qu’il existe u3∈[u1,u2] et v3∈[v1,v2] tels que Df(u3) = Dg(v3). 5) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que F soit un difféomorphisme de S sur F(S). Licence de Mathématiques U5 Problème 5 I Soit B’(0,r) une boule fermée de Rd et g une fonction de K = [−a,a]×B’(0,r) dans Rd de classe C 1. On suppose que ||g|| ≤ M = r . a Soit A l’ensemble des fonctions continues de [−a,a] dans B’(0,r), muni de la distance de la convergence uniforme. Si µ ∈ A, on pose : (F(µ)) (t) = ∫ t 0 g(s,µ(s)) ds. 1) Montrer que F(µ) ∈ A. 2) Si k = ||D2g||, montrer que g est k-lipschitzienne par rapport à la seconde variable. n kn t n n d(µ1, µ2). 3) Montrer par récurrence que ||F (µ1)(t) – F (µ2)(t)|| ≤ n! 4) Montrer qu’il existe un entier N tel que FN admette un unique point fixe. 5) Si ϕ est un point fixe de FN, montrer que c’est un point fixe de F, donc une solution de l’équation différentielle y’= g(t,y) vérifiant ϕ(0) = 0. II Soit B’(0,r) une boule fermée de R et f une fonction continue de K = [−a,a]×B’(0,r) dans Rd. d On suppose que ||f|| < M = r . a 1) Montrer que pour tout n, il existe une fonction gn de K dans Rd de classe C ∞ telle que ||f – gn|| < 1 n et ||gn|| < M (utiliser le Théorème de Stone-Weierstrass). 2) Soit ϕn une solution de l’équation y’= gn(t,y) définie sur [−a,a] à valeurs dans B’(0,r) et vérifiant ϕn(0) = 0 (Voir I). Montrer que : ||ϕn(t) – ϕn(t’)|| ≤ M |t – t’|. 3) Montrer qu’il existe une suite extraite de la suite (ϕn)n qui converge uniformément vers une fonction ϕ (utiliser le Théorème d’Ascoli). On supposera dorénavant que c’est la suite (ϕn)n elle même (ce qui ne restreint pas la généralité du raisonnement qui va suivre). 4) Montrer que f(t,ϕn(t)) converge uniformément vers f(t,ϕ(t)) (utiliser le Théorème de Heine). 5) En déduire que Dϕn(t) converge uniformément vers f(t,ϕ(t)). 6) Montrer que ϕ est une solution de l’équation y’= f(t,y) vérifiant ϕ(0) = 0. 7) Enoncer le Théorème qui est ainsi démontré et le comparer au Théorème de CauchyLipschitz. Licence de Mathématiques U5 Problème 6 Soient E = Cn et A : R → L(E,E) continue, de période ω. Soit S l’espace des solutions de l’équation différentielle X’(t) = A(t).X(t) (1) Soit R sa résolvante. ~ Pour X ∈ S, on pose X(t) = X(t + ω). ~ 1) Montrer que X ∈ S. ~ 2) Montrer que pour tout t, X(t) = R(t + ω, t).X(t). 3) Si λ est une valeur propre de R(ω,0), montrer qu’il existe X ∈ S tel que pour tout t : X(t + ω) = λ X(t). 4) Posons : c + 2s − s + 2c 1 2 A(t) = 0 1 − 3s + 3sc 1 + 3c 2 − 3sc 0 − 1 − 3s 2 − 3sc 1 − 3c 2 − 3sc avec c = cos(t) et s = sin(t). 1 0 0 a) On pose P(t) = 0 c s . Si X ∈ S, montrer que Y(t) = P(t)−1.X(t) est solution d’une 0 − s c équation linéaire homogène à coefficients constants. b) Résoudre cette équation. c) En déduire la solution générale de (1). d) Déterminer les couples X∈S et λ∈C qui ont la propriété indiquée en 3). Licence de Mathématiques U5 Problème 7 On se propose de déterminer et d’étudier les fonctions analytiques sur C vérifiant l’équation fonctionnelle : f(2z) = (1 – z)f(z) (1) 1) Déterminer, à l’aide du développement en série entière en 0 toutes les fonctions entières vérifiant l’équation (1). On appelle Φ la solution de (1) vérifiant Φ(0) = 1. 2) Montrer que pour tout entier n > 0, Φ vérifie l’équation : z z z z Φ(z) = (1 − )(1 − 2 )...(1 − n )Φ ( n ) . 2 2 2 2 3) Montrer que les seuls zéros de la fonction Φ sont les nombres 2n pour n≥1 et que ces zéros sont simples. 4) a) Montrer que toute solution g analytique sur C de l’équation g(2z) = g(z) (2) est constante. b) Soit f une solution analytique sur C de l'équation (1). Montrer que les singularités de g = f / Φ sont apparentes. c) En déduire que f est de la forme kΦ, où k est une constante. z z z 5) Posons pour n > 0 : fn(z) = (1 − )(1 − 2 )...(1 − n ) . 2 2 2 a) Soit r > 0. Montrer qu'on a pour tout z∈B'(0,r) et tout n > 0 les inégalités : ∞ r Ln |fn(z)| ≤ Ln (fn(–r)) ≤ ∑ Ln(1 + k ) < ∞. 2 k =1 ∞ r En posant M = exp( ∑ Ln(1 + k ) ), on a donc |fn(z)| ≤ M. 2 k =1 b) Montrer que la suite fn converge vers Φ uniformément sur tout compact. Licence de Mathématiques U5 Problème 8 I Soient X un espace topologique et f une fonction de X dans R. On dit que f est semi-continue supérieurement en x0 si pour tout λ > f (x0), il existe un voisinage V de x0 tel que x∈V entraîne λ > f (x) . On suppose f semi-continue supérieurement pour tout x0 ∈X. 1) Montrer que pour tout λ ∈R, f –1 ([λ,∞[) est fermé. 2) On suppose X compact. Soit M la borne supérieure de f sur X. Montrer que I f –1 ([λ,∞[) est non vide. λ <M 3) En déduire que M est finie et que f atteint un maximum sur X. II Soient Ω un ouvert connexe de C et H(Ω) l’espace des fonctions analytiques sur Ω. Soient f∈ H(Ω) non nulle, K une partie compacte de Ω, et F l’ensemble des zéros de f dans K. On note na l’ordre de multiplicité de a∈F et N(f ,K) = ∑ n a . a ∈F 1) Montrer qu’il existe une partie finie A de K et une famille (εa)a∈A de nombres strictement positifs tels que : K⊆ U B(a, εa a ∈A 2 2) Montrer que F ⊆ A. 3) Soit K’ = U {z | |z – a| = )⊆ U B(a,εa)⊆Ω et f (z) ≠ 0 si 0 < |z – a| < εa. a ∈A εa }. 2 Montrer qu’il existe β > 0 tel que pour tout z∈K’, β ≤ | f(z)|. 4) Soit g∈ H(Ω) telle que pour tout z∈K’ , |g(z) – f (z)| < β. Soient G l’ensemble des zéros de a ∈A g dans K et Ga = G∩B(a, εa ). 2 a) Si a∈F, montrer que Ga ≠ ∅ . Quelle est la somme des ordres des zéros de g appartenant à Ga ? b) Si a∉ F, montrer que Ga = ∅. 5) En déduire que N(g,K) ≤ N(f ,K). 6) Soient M > 0, α > 0 et a∈Ω. Montrer que l’ensemble X défini par X = { f ∈ H(Ω) | ∀z∈Ω | f(z) | ≤ M et | f ’(a)| ≥ α} est compact. → N(f,K) admet un maximum sur X. 7) Montrer que l’application f