4.3 Le tambour: instrument de… mesure

4.3 Le tambour: instrument de… mesure
Lors de Show Math, vous avez vu que l’homme est parvenu à mesurer des choses que nous aurions pu croire impossibles à mesurer
sans les technologies d’aujourd’hui. La présente activité va amener
les élèves à réaliser l’ingéniosité et la simplicité d’une méthode de
mesure; la trigonométrie du tambour.
L’élève aura à comprendre et à justifier la méthode utilisée pour
mesurer des grandeurs inaccessibles. Cette activité lui permettra
d’approfondir et de solidifier sa compréhension du concept de similitude des triangles.
Intentions de l’activité
• Mettre en contexte les mathématiques
• Découvrir l’apport d’une méthode de mesure ancienne à la résolution de problèmes réels et actuels
Forme de la production attendue
• Questions, réponses et justifications
• Échange entre pairs ou en grand groupe
Concepts utilisés
• Similitude de triangles
• Rapport des mesures dans des figures semblables
Ressources matérielles
• Aucune
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Déroulement
Préparation
Pistes de différenciation
• Faire un rappel sur les cas de triangles semblables.
• Contextualiser l’activité dans son époque (16 siècle).
e
• On peut demander aux élèves comment un tambour pourrait servir
à faire des mesures. Il est probable qu’ils parleront du son du tambour et de la mesure du temps qu’il prend à aller et venir. On pourra
leur expliquer qu’à l’époque, les connaissances scientifiques étaient
insuffisantes pour faire ces calculs. On pourra leur faire découvrir
qu’en roulant le tambour, dont on connaît la circonférence, on peut
calculer des distances en comptant le nombre de tours.
Réalisation
• L’élève devra trouver les triangles semblables dans le dessin, puis, à
l’aide des égalités trouvées, il devra trouver la mesure recherchée.
• L’activité est centrée sur les triangles semblables et non sur les
rapports trigonométriques qui pourraient aussi être utilisés. Si
quelqu’un a cette idée : c’est merveilleux! La similitude des triangles
est facile à établir, car c’est en s’assurant que les angles sont égaux
que la figure est formée.
• Il devra aussi justifier ses affirmations au moyen du bagage mathématique qu’il possède.
Intégration
• Discuter de l’efficacité et de l’opportunité d’utiliser un tambour
pour effectuer cette mesure en lien avec son utilisation au 16e siècle.
• Faire ressortir la simplicité et l’ingéniosité des calculs mathématiques pour trouver des grandeurs inaccessibles.
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• L’activité serait peut-être plus
simple en utilisant les rapports
trigonométriques. On pourrait
alors fixer les angles obtenus.
26,6° et 45° donnent des solutions particulièrement simples.
• Aux plus curieux, on pourrait
aussi leur demander de discuter des moyens à prendre pour
assurer des résultats plus précis : par exemple, comment faire pour que la ligne de base sur
le tambour soit parfaitement
horizontale?
Nom: _________________________________________________________
4.3 Le tambour : instrument de… mesure
Tu rirais sans doute si on te demandait de mesurer la hauteur de l’école
en utilisant uniquement un tambour.
Il y a plusieurs siècles, des soldats
calculaient la hauteur ou la distance qui
les séparait des châteaux forts ennemis avec leurs tambours. Pourrais-tu
imaginer comment ils faisaient en utilisant simplement la géométrie que tu as
étudiée ?
Lors de Show Math, vous avez vu que l’homme est parvenu à mesurer des choses que nous aurions pu croire impossibles à mesurer
sans les technologies d’aujourd’hui. La méthode de triangulation « la
trigonométrie du tambour » est un exemple de l’ingéniosité et de la
simplicité avec laquelle l’homme a pu déterminer des distances.
Il y a quelques siècles, lorsque les batailles se déroulaient dans des
terrains découverts et que les soldats portaient des costumes colorés et non des habits de camouflage, l’artillerie était une partie
importante de la force d’une armée. Il était important de connaître les distances et les hauteurs, pour ajuster le tir des canons par
exemple. Les soldats se servaient même des tambours de la fanfare
pour prendre des mesures afin d’effectuer des calculs qui permettaient de connaître des distances qu’ils ne pouvaient mesurer directement.
La trigonométrie du tambour est une méthode commune de triangulation du 16e siècle. On a retrouvé des documents illustrant l’utilisation du tambour comme moyen pour mesurer l’angle d’élévation
dans le calcul de la distance jusqu’à un château ou le calcul de la
hauteur d’une tour.
Figure 1 : Illustration de la méthode de triangulation « la trigonométrie du tambour »
Cahier de l’élève | 4.3 Le tambour: instrument de… mesure | 1
Voyons maintenant
comment cela fonctionne.
Vous êtes à une distance inconnue d’une tour. Sur un tambour (ou toute
autre surface à votre disposition!), vous dessinez l’angle formé par l’horizon et une ligne invisible entre vous et le sommet de la tour.
Vous avancez de quelques pas sur une distance que vous mesurez. À ce
point, vous replacez le tambour sur la ligne d’horizon et vous tracez maintenant une ligne passant par le sommet du premier triangle et le sommet
de la tour.
2 | Cahier de l’élève | 4.3 Le tambour: instrument de… mesure
Trouvez les triangles semblables.
1.
Pistes de réflexion :
Deux triangles sont
semblables si :
1.Les mesures de leurs côtés sont proportionnelles
(CCC).
2.Au moins deux de leurs
angles sont isométriques
(AA).
3.Ils possèdent un angle
isométrique compris entre
deux côtés dont les mesures sont proportionnelles
(CAC).
A
D
A1
B
B1
E
C1
C
Cahier de l’élève | 4.3 Le tambour: instrument de… mesure | 3
On sait que AC est parallèle à A1C1 et que AB est parallèle à A1B1. À l’aide
de cette information, prouvez que les triangles que vous avez identifiés
sont semblables.
2.
Affirmation
4 | Cahier de l’élève | 4.3 Le tambour: instrument de… mesure
Justification
Trouvez maintenant une égalité qui permet de déterminer la hauteur de la
tour, c’est-à-dire, la mesure du segment AB. N’oubliez pas que l’on connait
plusieurs mesures, comme mA1B1, mB1C1, mCC1, etc., mais qu’on ne peut
pas approcher du château et qu’on ne connaît pas mAB, mBB1, etc.
3.
Cahier de l’élève | 4.3 Le tambour: instrument de… mesure | 5
4.3 Le tambour : instrument de… mesure
Corrigé
Trouvez les triangles semblables.
1.
(Page 3)
A
Nous retrouvons les triangles semblables suivant :
ΔABC ~ ΔA1B1C1
ΔAEC ~ ΔA1EC1
ΔABE ~ ΔA1B1E
D
A1
B
B1
E
C1
C
On sait que AC est parallèle à A1C1 et que AB est parallèle à A1B1. À l’aide
de cette information, prouvez que les triangles que vous avez identifiés
sont semblables.
2.
(Page 4)
Affirmation
Justification
m∠BCA = m∠B1C1A1
A1C1 est parallèle à AC : deux parallèles coupées par une sécante (BC) engendrent deux angles correspondants isométriques.
m∠ABC = m∠ A1B1C1
AB est parallèle à A1B1 : deux parallèles coupées par une sécante (BC) engendrent deux angles correspondants isométriques.
Les triangles ABC et A1B1C1 sont
Ils possèdent deux angles isométriques.
semblables
m∠AEC = m∠A1EC1
Angles formés par les mêmes segments AE et EC.
m∠ECA = m∠EC1A1
A1C1 est parallèle à AC : deux parallèles coupées par une sécante (BC) engendrent deux angles correspondants isométriques.
Les triangles AEC et A1EC1 sont
semblables
Ils possèdent deux angles isométriques.
m∠ABE = m∠A1B1E
AB est parallèle à A1B1 : deux parallèles coupées par une sécante (BE) engendrent deux angles correspondants isométriques.
m∠BEA = m∠B1EA1
Angles formés par les mêmes segments AE et EB.
Les triangles ABE et A1B1E sont
Ils possèdent deux angles isométriques.
semblables
Corrigé | 4.3 Le tambour: instrument de… mesure | 1
On veut maintenant déduire une égalité qui permet de trouver la hauteur
de la tour, c’est-à-dire, la mesure du segment AB. N’oubliez pas que l’on
connait plusieurs mesures, comme mA1B1, mB1C1, mCC1, etc., mais qu’on ne
peut pas approcher du château et qu’on ne connaît pas mAB, mBB1, etc.
3.
(Page 5)
Comme ΔAEC ~ ΔA1EC1, alors
et on a mAE =
mA1E × mEC
mEC1
mAE
mEC
=
et on a mAB =
mA1E
mEC1
ce qui permet de calculer mAE.
De plus, comme ΔABE ~ ΔA1B1E, alors
mA1B1 × mAE
mA1E
mAB
mAE
=
mA1B1
mA1E
ce qui permet de calculer mAB.
Cette solution n’est pas unique. On pourrait utiliser la trigonométrie pour résoudre ce problème, mais il faudrait trouver une façon de mesurer les angles.
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