Probabilités - Haut Mathelin

1 S Automath – Probabilités rappels cours
Exercice 1
On lance un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4. On note la face obtenue.
Dresser la liste de tous les événements.
Exercice 2
On lance un dé à 6 faces. Ce dé est truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir 6 est le double de celles
d’obtenir une des autres faces. Donner la loi de probabilité.
Exercice 3
En reprenant la situation de l’exercice 2 : « on lance un dé à 6 faces. Ce dé est truqué de telle sorte que la
probabilité d’obtenir 6 est le double de celles d’obtenir une des autres faces ». On note :

A désigne l’événement « le nombre obtenu est pair »
 B désigne l’événement « le nombre obtenu est inférieur à 3 »
1) Calculer 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴̅), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
2) Représenter sur un même diagramme les événements 𝐴, 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵
Représenter sur un même diagramme les événements 𝐴, 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵
Représenter sur un même diagramme les événements 𝐴, 𝐴̅
Exercice 4
On réalise une expérience aléatoire. 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 sont deux événements tels que :
𝑃(𝐴) = 0,6
𝑃(𝐵) = 0,7
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,4
Calculer 𝑃(𝐴̅) et 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
Exercice 5
On lance deux dés. On considère les événements :
A : « le produit des deux nombres obtenus est impair »
B : « la somme des deux nombres est impaire »
C : « le plus grand des deux nombres est impair »
1) Les événements A et B sont-ils incompatibles ?
2) Les événements A et C sont-ils incompatibles ?
3) Les événements B et C sont-ils incompatibles » ?
Exercice 6
𝐴 et 𝐵 sont deux événements tels que : 𝑃(𝐴) = 0,8 𝑃(𝐵̅ ) = 0,4𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,45
En justifiant soigneusement, calculer 𝑃(𝐴̅), 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵), 𝑃(𝐴̅ ∪ 𝐵̅), 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵̅)
Pour se corriger
Par cœur
Dans notre cas, il y a six issues possibles 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’univers, noté souvent 𝛺 𝑜𝑢 𝐸, est l’ensemble de toutes les issues. Dans notre cas, 𝛺 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Un événement est une partie de 𝛺.
𝛺 est l’événement certain. Sa probabilité est 1 : 𝑃(𝛺) = 1
La partie vide, notée ∅, est l’événement impossible. Sa probabilité est 0 : 𝑃(∅) = 0
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Exercice 1
Dans cette expérience aléatoire, il y a 16 événements.

Les événements réalisés par une seule issue
{1}
{2}
{3}
{4 }

Les événements réalisés par deux issues
{1 ; 2}
{1 ; 3}
{1 ; 4}

Les événements réalisés par trois issues
{1 ; 2 ; 3}
{1 ; 2 ; 4}
{2 ; 3 }
{2 ; 4}
{1 ; 3 ; 4}
{3 ; 4}
{2 ; 3 ; 4 }

Les événements réalisés par quatre issues {1 ; 2 ; 3 ; 4}
Cet événement c’est Ω : il est toujours réalisé.
Chaque fois que l’on lance le dé, un de ces quatre numéros sort ! Ω est l’événement certain.

L’événement réalisé par aucune issue. C’est la partie vide notée ∅
∅ est l’événement impossible.
Par cœur
Donner la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est :
 préciser les issues possibles
 donner la probabilité de chaque événement élémentaire.
Dans notre cas, il y a six issues possibles 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Les événements élémentaires sont les événements réalisés par une seule issue.
Dans notre exemple, il y a six événements élémentaires {1} {2} {3} {4} {5} {6}
La somme des probabilités des événements élémentaires vaut toujours 1
Exercice 2
Soit 𝑝 la probabilité d’obtenir la face numérotée 1 donc
 𝑃({1}) = 𝑃({2}) = 𝑃({3}) = 𝑃({4}) = 𝑃({5}) = 𝑝
 𝑃({6}) = 2𝑝
La somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1.
𝑃({1}) + 𝑃({2}) + 𝑃({3}) + 𝑃({4}) + 𝑃({5}) + 𝑃({6}) = 1
1
Donc 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + 2𝑝 = 1 donc 7𝑝 = 1 donc 𝑝 = 7
Loi de probabilité
Numéro de la face
Probabilité
1
1
7
2
1
7
3
1
7
4
1
7
5
1
7
6
2
7
Comme chaque événement élémentaire n’a pas la même probabilité, la loi n’est pas équirépartie.
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Par cœur
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
𝐀∩𝐁
est l’événement formé des issues qui réalisent A et qui réalisent B
C'est-à-dire des issues communes à A et à B
𝐴 ∩ 𝐵 se lit
« A et B »
𝐀∪𝐁
est l’événement formé des issues qui réalisent A ou qui réalisent B (ou les deux)
C'est-à-dire des issues qui sont dans A auxquelles on rajoute les issues qui sont dans B (en ne
comptant qu’une seule fois les issues communes)
𝐴 ∪ 𝐵 se lit « A ou B »
̅
𝑨
est l’événement formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A.
C' est-à-dire des issues qui ne sont pas dans 𝐴
𝐴̅ se lit « A barre ». C’est l’événement contraire de A.
̅=∅
𝑨∩𝑨
Un événement et son contraire ne peuvent se réaliser simultanément !
̅=𝛀
𝑨∪𝑨
Puisque toute issue est soit dans A, soit dans 𝐴̅
Exercice 3
Question 1
𝐴 = {2 ; 4 ; 6}
or la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent
1
1
2
4
donc 𝑃(𝐴) = 𝑃({2}) + 𝑃({4}) + 𝑃({6}) = 7 + 7 + 7 = 7
1
7
1
7
2
7
𝐵 = {1 ; 2 }
donc 𝑃(𝐵) = 𝑃({1}) + 𝑃({2}) = + =
𝐴̅ = { 1 ; 3 ; 5 }
donc 𝑃(𝐴̅) = 𝑃({1}) + 𝑃({3}) + 𝑃({5}) = 7 + 7 + 7 = 7
𝐴 ∩ 𝐵 = {2}
donc 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃({2}) = 7
1
𝐴 ∪ 𝐵 = {1 ; 2 ; 4 ; 6}
1
1
3
1
1
1
1
2
5
donc 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 7 + 7 + 7 + 7 = 7
Question 2
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Par cœur
Pour tout événements A et B,
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Pour tout événement A,
𝑃(𝐴̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴)
Exercice 4
𝑃(𝐴̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,6 = 0,4
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,6 + 0,7 − 0,4 = 0,9
Par cœur
On dit que deux événements A et B sont incompatibles quand 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
C’est-à-dire, qu’ils n’ont aucune issue commune donc ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Exercice 5
On note les issues à l’aide d’un couple de nombres. Par exemple (6 ; 3) veut dire que l’on a fait 6 avec le premier
dé et 3 avec le second. Il y a donc 36 issues possibles :
(1 ; 1)
(1 ; 2)
(1 ; 3)
(1 ; 4)
(1 ; 5)
(1 ; 6)
(2 ; 1)
(2 ; 2)
(2 ; 3)
(2 ; 4)
(2 ; 5)
(2 ; 6)
(3 ; 1)
(3 ; 2)
(3 ; 3)
(3 ; 4)
(3 ; 5)
(3 ; 6)
(4 ; 1)
(4 ; 2)
(4 ; 3)
(4 ; 4)
(4 ; 5)
(4 ; 6)
(5 ; 1)
(5 ; 2)
(5 ; 3)
(5 ; 4)
(5 ; 5)
(5 ; 6)
(6 ; 1)
(6 ; 2)
(6 ; 3)
(6 ; 4)
(6 ; 5)
(6 ; 6)
Question 1
𝐴 = { (1; 1) ; (1 ; 3) ; (1 ; 5) ; (3; 1) ; (3; 3) ; (3; 5) ; (5; 1) ; (5; 3) ; (5; 5) }
Chaque couple de 𝐴 est formé de deux nombres impairs donc leur somme est forcément paire.
Donc
𝐴∩𝐵 =∅
donc les événements 𝐴 𝑒𝑡 𝐵 sont incompatibles.
Question 2
L’issue (1 ; 3) réalise 𝐴 car le produit 1 × 3 est impair.
L’issue (1 ; 3) réalise 𝐶 car le plus grand des deux nombre est 3 donc est un nombre impair.
Ainsi, 𝐴 ∩ 𝐶 ≠ ∅ donc 𝐴 𝑒𝑡 𝐶 ne sont pas incompatibles.
Question 3
L’issue (2 ; 3) réalise 𝐵 car la somme 2 + 3 est impaire.
L’issue (2 ; 3) réalise 𝐶 car plus grand des deux nombre est 3 donc est un nombre impair.
Ainsi, 𝐵 ∩ 𝐶 ≠ ∅ donc 𝐵 𝑒𝑡 𝐶 ne sont pas incompatibles.
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Exercice 6
Pour guider l’intuition, nous allons utiliser des schémas. Bien entendu, un dessin n’est pas une preuve !
Le grand rectangle représente l’univers : l’ensemble de toutes les issues. Il peut être partagé en deux parties
disjointes de deux manières :

La partie formée des issues qui réalisent 𝐴 et la partie formée des issues qui
réalisent 𝐴̅

La partie formée des issues qui réalisent B et la partie formée des issues qui
réalisent 𝐵̅
On peut « superposer » les deux partitions.
Pour nous « entrainer » représentons 𝐴 ∪ 𝐵, ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵,
𝐴 ∩ 𝐵,
̅̅̅̅̅̅̅
𝐴∩𝐵
Réponses aux questions
𝑃(𝐴̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,8 = 0,2
𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵̅ ) = 1 − 0,4 = 0,6
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
= 0,8 + 0,6 − 0,45 = 0,95
𝑃( ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 0,95 = 0,05
Or ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅
donc 𝑃( 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ) = 0,05
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̅̅̅̅̅̅̅
𝑃(𝐴
∩ 𝐵 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 − 0,45 = 0,55
Or ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ donc 𝑃(𝐴̅ ∪ 𝐵̅) = 0,55
Reprenons: lire des propriétés
Il y a quatre zones distinctes : qui ne se chevauche pas !
En termes, plus mathématiques, les intersections de deux de ces parties est vide (aucune issue commune).
Toute la première ligne représente 𝐴̅
𝐴̅ = (𝐴̅ ∩ 𝐵̅) ∪ (𝐴̅ ∩ 𝐵)
Toute la seconde ligne représente 𝐴
𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Toute la première colonne représente 𝐵̅
̅𝐵 = (𝐴̅ ∩ 𝐵̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵̅)
Toute la seconde colonne représente 𝐴
𝐵 = (𝐴̅ ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Raisonner sur le « dessin »
Le schéma ci-dessus suggère de transformer le « dessin » en tableau et d’y porter les probabilités connues
𝐵̅
𝐵
Total ligne
0,45
0,8
𝐴̅
𝐴
Total Colonne
0,4
1
Il est « facile » de compléter le tableau en commençant par les nombres en rouges puis en bleu, puis en gris.
𝐵̅
𝐵
Total
𝐴̅
̅∩𝑩
̅ ) = 𝟎, 𝟒 − 𝟎, 𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟓
𝑷(𝑨
𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) = 𝟎, 𝟔 − 𝟎, 𝟒𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟓
̅ ) = 𝟏 − 𝟎, 𝟖 = 𝟎, 𝟐
𝑷(𝑨
𝐴
̅ ) = 𝟎, 𝟖 − 𝟎, 𝟒𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟓
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩
0,45
0,8
Total
0,4
𝑷(𝑩) = 𝟏 − 𝟎, 𝟒 = 𝟎, 𝟔
1
En lisant le tableau,
On calcule
𝑃(𝐴̅) = 0,2
𝑃(𝐵) = 0,6
𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵̅) = 0,05
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) = 0,35 + 0,45 + 0,15 = 0,95
̅∩B
̅ ∩ B) + P(A ∩ B
̅) + P(A
̅) = 0,05 + 0,15 + 0,35 = 0,55
𝑃(𝐴̅ ∪ 𝐵̅) = P(A
Bien entendu, d’autres démarches possibles !
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