Probabilités - Haut Mathelin

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1 S Automath – Probabilités rappels cours
Exercice 1
On lance un dé tétraédrique dont les faces sont numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4. On note la face obtenue.
Dresser la liste de tous les événements.
Exercice 2
On lance un dé à 6 faces. Ce dé est truqué de telle sorte que la probabilité d’obtenir 6 est le double de celles
d’obtenir une des autres faces. Donner la loi de probabilité.
Exercice 3
En reprenant la situation de l’exercice 2 : « on lance un dé à 6 faces. Ce dé est truqué de telle sorte que la
probabilité d’obtenir 6 est le double de celles d’obtenir une des autres faces ». On note :
 A désigne l’événement « le nombre obtenu est pair »
 B désigne l’événement « le nombre obtenu est inférieur à 3 »
1) Calculer       
2) Représenter sur un même diagramme les événements     
Représenter sur un même diagramme les événements     
Représenter sur un même diagramme les événements  
Exercice 4
On réalise une expérience aléatoire. sont deux événements tels que :
        Calculer  et   
Exercice 5
On lance deux dés. On considère les événements :
A : « le produit des deux nombres obtenus est impair »
B : « la somme des deux nombres est impaire »
C : « le plus grand des deux nombres est impair »
1) Les événements A et B sont-ils incompatibles ?
2) Les événements A et C sont-ils incompatibles ?
3) Les événements B et C sont-ils incompatibles » ?
Exercice 6
 et  sont deux événements tels que :   
En justifiant soigneusement, calculer    
,  
Pour se corriger
Par cœur
Dans notre cas, il y a six issues possibles 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’univers, noté souvent , est l’ensemble de toutes les issues. Dans notre cas,        
Un événement est une partie de .
 est l’événement certain. Sa probabilité est 1 :  
La partie vide, notée , est l’événement impossible. Sa probabilité est 0 :  

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Exercice 1
Dans cette expérience aléatoire, il y a 16 événements.
 Les événements réalisés par une seule issue
 Les événements réalisés par deux issues
 Les événements réalisés par trois issues
 Les événements réalisés par quatre issues    
Cet événement c’est  : il est toujours réalisé.
Chaque fois que l’on lance le dé, un de ces quatre numéros sort !  est l’événement certain.
 L’événement réalisé par aucune issue. C’est la partie vide notée 
 est l’événement impossible.
Par cœur
Donner la loi de probabilité d’une expérience aléatoire, c’est :
 préciser les issues possibles
 donner la probabilité de chaque événement élémentaire.
Dans notre cas, il y a six issues possibles 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Les événements élémentaires sont les événements réalisés par une seule issue.
Dans notre exemple, il y a six événements élémentaires 
La somme des probabilités des événements élémentaires vaut toujours 1
Exercice 2
Soit  la probabilité d’obtenir la face numérotée 1 donc
La somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1.
Donc              donc    donc   
Loi de probabilité
Numéro de la face
1
2
3
4
5
6
Probabilité
Comme chaque événement élémentaire n’a pas la même probabilité, la loi n’est pas équirépartie.

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Par cœur
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.
   est l’événement formé des issues qui réalisent A et qui réalisent B
C'est-à-dire des issues communes à A et à B
   se lit « A et B »
   est l’événement formé des issues qui réalisent A ou qui réalisent B (ou les deux)
C'est-à-dire des issues qui sont dans A auxquelles on rajoute les issues qui sont dans B (en ne
comptant qu’une seule fois les issues communes)
   se lit « A ou B »
 est l’événement formé de toutes les issues qui ne réalisent pas A.
C' est-à-dire des issues qui ne sont pas dans 
 se lit « A barre ». C’est l’événement contraire de A.
  Un événement et son contraire ne peuvent se réaliser simultanément !
  Puisque toute issue est soit dans A, soit dans 
Exercice 3
Question 1
or la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent
donc    
    donc   
    donc    
     donc    
        donc   
Question 2

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Par cœur
Pour tout événements A et B,        
Pour tout événement A,    
Exercice 4
Par cœur
On dit que deux événements A et B sont incompatibles quand     
C’est-à-dire, qu’ils n’ont aucune issue commune donc ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Exercice 5
On note les issues à l’aide d’un couple de nombres. Par exemple (6 ; 3) veut dire que l’on a fait 6 avec le premier
dé et 3 avec le second. Il y a donc 36 issues possibles :
(1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3) (1 ; 4) (1 ; 5) (1 ; 6)
(2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (2 ; 5) (2 ; 6)
(3 ; 1) (3 ; 2) (3 ; 3) (3 ; 4) (3 ; 5) (3 ; 6)
(4 ; 1) (4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4) (4 ; 5) (4 ; 6)
(5 ; 1) (5 ; 2) (5 ; 3) (5 ; 4) (5 ; 5) (5 ; 6)
(6 ; 1) (6 ; 2) (6 ; 3) (6 ; 4) (6 ; 5) (6 ; 6)
Question 1
Chaque couple de  est formé de deux nombres impairs donc leur somme est forcément paire.
Donc      donc les événements  sont incompatibles.
Question 2
L’issue   réalise  car le produit    est impair.
L’issue   réalise  car le plus grand des deux nombre est 3 donc est un nombre impair.
Ainsi,      donc  ne sont pas incompatibles.
Question 3
L’issue   réalise  car la somme    est impaire.
L’issue   réalise  car plus grand des deux nombre est 3 donc est un nombre impair.
Ainsi,      donc  ne sont pas incompatibles.

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Exercice 6
Pour guider l’intuition, nous allons utiliser des schémas. Bien entendu, un dessin n’est pas une preuve !
Le grand rectangle représente l’univers : l’ensemble de toutes les issues. Il peut être partagé en deux parties
disjointes de deux manières :
 La partie formée des issues qui réalisent  et la partie formée des issues qui
réalisent 
 La partie formée des issues qui réalisent B et la partie formée des issues qui
réalisent 
On peut « superposer » les deux partitions.
Pour nous « entrainer » représentons     
Réponses aux questions
Or   
 donc  