Systèmes du premier ordre

SP5 Systèmes du premier ordre
Devoir maison no15
Exercice 1 Circuit RL avec diode de roue libreExercice 1
On réalise le circuit électrique ci-contre composé d’un généra-
teur de tension E>0 constante, d’une résistance Ret d’une bobine
idéale d’inductance L, ces trois éléments étant en série. On branche
en parallèle de la bobine et de la résistance une diode parfaite, qui
dans cette utilisation est appelée diode de roue libre.
Un diode parfaite de symbole i0
U
a pour caractéris-
tique en convention récepteur que :
•U=0 si i0>0: on dit que la diode est passante, elle se com-
porte comme un fil parfait.
•i0=0 si U<0: on dit que la diode est bloquante, elle se
comporte comme un interrupteur ouvert.
E
K
L
i
R
i0
UR
UL
U
(1) À l’instant t=0, on ferme l’interrupteur K. On appelle ULla tension aux bornes de la bobine en convention récepteur et URcelle
aux bornes de la résistance, toujours en convention récepteur.
(a) Que vaut la tension Uau bornes de la diode de roue libre? En déduire si un courant circule dans celle-ci.
(b) Tracer alors un schéma électrique simplifié sur lequel on fera apparaitre les tensions ULet UR.
(c) Tracer un schéma équivalent à t=0−, c’est-à-dire juste avant la fermeture de l’interrupteur (le régime permanent était atteint)
et donner les valeurs de i(t=0−),UR(t=0−)et UL(t=0−).
(d) En déduire, en justifiant, les valeurs de ces trois grandeurs à t=0+c’est-à-dire juste après la fermeture de l’interrupteur.
(e) Tracer un schéma équivalent en régime permanent et en déduire les valeurs quand t→+∞de ces mêmes trois grandeurs
(notées i∞,UL∞et UR∞).
(f) Établir l’équation différentielle vérifiée par le courant i. On fera apparaître dans l’équation différentielle le courant i∞ainsi
qu’un temps caractéristique τdont on donnera l’expression.
(g) Résoudre cette équation différentielle.
(h) En régime permanent quelle est l’expression de l’énergie dans la bobine?
(2) Une fois le régime permanent atteint, à une date t0on ouvre l’interrupteur K.
(a) Si la diode est absente, quelle est la valeur du courant dans la bobine après avoir ouvert l’interrupteur? L’énergie stockée?
Pourquoi est-il dangereux de débrancher un circuit contenant une bobine?
(b) On considère dans la suite le circuit comprenant la diode de roue libre. Donner les valeurs de ipuis ULà l’instant t+
0, c’est-à-dire
juste après l’ouverture de l’interrupteur.
(c) Par un schéma équivalent donner les valeurs finales de ULet i.
(d) Établir l’équation différentielle portant sur ipour t>t0en faisant apparaitre le temps caractéristique τ.
(e) Résoudre cette équation pour t>t0.
(f) Représenter sur un graphique l’évolution du courant iavant et après t0. Sur un autre graphe représenter avec la même échelle
temporelle l’évolution de UL.
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