Systèmes du premier ordre

SP5
Systèmes du premier ordre
Devoir maison no 15
Exercice 1 Circuit RL avec diode de roue libre
On réalise le circuit électrique ci-contre composé d’un générateur de tension E > 0 constante, d’une résistance R et d’une bobine
idéale d’inductance L, ces trois éléments étant en série. On branche
en parallèle de la bobine et de la résistance une diode parfaite, qui
dans cette utilisation est appelée diode de roue libre.
i0
a pour caractérisUn diode parfaite de symbole
K
UL
U
i
E
tique en convention récepteur que :
• U = 0 si i 0 > 0: on dit que la diode est passante, elle se comporte comme un fil parfait.
UR
i0
L
U
R
• i 0 = 0 si U < 0: on dit que la diode est bloquante, elle se
comporte comme un interrupteur ouvert.
(1) À l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K. On appelle U L la tension aux bornes de la bobine en convention récepteur et UR celle
aux bornes de la résistance, toujours en convention récepteur.
(a) Que vaut la tension U au bornes de la diode de roue libre? En déduire si un courant circule dans celle-ci.
(b) Tracer alors un schéma électrique simplifié sur lequel on fera apparaitre les tensions U L et UR .
(c) Tracer un schéma équivalent à t = 0− , c’est-à-dire juste avant la fermeture de l’interrupteur (le régime permanent était atteint)
et donner les valeurs de i (t = 0− ), UR (t = 0− ) et U L (t = 0− ).
(d) En déduire, en justifiant, les valeurs de ces trois grandeurs à t = 0+ c’est-à-dire juste après la fermeture de l’interrupteur.
(e) Tracer un schéma équivalent en régime permanent et en déduire les valeurs quand t → +∞ de ces mêmes trois grandeurs
(notées i∞ , U L∞ et UR∞ ).
(f) Établir l’équation différentielle vérifiée par le courant i. On fera apparaître dans l’équation différentielle le courant i∞ ainsi
qu’un temps caractéristique τ dont on donnera l’expression.
(g) Résoudre cette équation différentielle.
(h) En régime permanent quelle est l’expression de l’énergie dans la bobine?
(2) Une fois le régime permanent atteint, à une date t 0 on ouvre l’interrupteur K.
(a) Si la diode est absente, quelle est la valeur du courant dans la bobine après avoir ouvert l’interrupteur? L’énergie stockée?
Pourquoi est-il dangereux de débrancher un circuit contenant une bobine?
(b) On considère dans la suite le circuit comprenant la diode de roue libre. Donner les valeurs de i puis U L à l’instant t 0+ , c’est-à-dire
juste après l’ouverture de l’interrupteur.
(c) Par un schéma équivalent donner les valeurs finales de U L et i.
(d) Établir l’équation différentielle portant sur i pour t > t 0 en faisant apparaitre le temps caractéristique τ.
(e) Résoudre cette équation pour t > t 0 .
(f) Représenter sur un graphique l’évolution du courant i avant et après t 0 . Sur un autre graphe représenter avec la même échelle
temporelle l’évolution de U L .
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