ECE2 – Concours blanc n°1 Mathématiques Mercredi 30 Novembre 2016 Documents et calculatrices sont interdits Exercice 1 – d'après EDHEC 2016 On désigne par I la matrice identité de M3(IR). 3 -1 1 On considère la matrice A = 2 0 2 . 1 -1 3 On note B = (e1, e2, e3) la base canonique de M3,1(IR). 1. Calculer A2 – 4A. 2. La matrice A est-elle inversible ? Déterminer A-1 en fonction de I et de A. 3. Soit F = { X M3,1(IR) / AX = 2X } a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M3,1(IR). b) Résoudre l'équation AX = 2X d'inconnue X M3,1(IR), puis en déduire une base (u1, u2) de F. c) On pose u3 = e1 + e2 + e3. Montrer que la famille (u1, u2, u3) est une base de M3,1(IR). On admet dans la suite qu'il existe une matrice P inversible telle que : A = PTP-1, avec 2 0 1 T = 0 2 2 . 0 0 2 4. a) En écrivant T = 2I + N , déterminer, pour tout entier naturel n, la matrice Tn comme combinaison linéaire de I et N , puis de I et T. b) Expliquer pourquoi l’on a : n IN, An = n2n-1A – (n – 1)2nI c) Vérifier que la formule trouvée à la question 4. b) reste valable pour n = -1. ECE2 : Année 2016-2017 Exercice 2 – EML 2016 On considère l’application f : [0; +∞[ IR définie, pour tout t de [0; +∞[, par : 2 t − t ln(t) si t 0 f(t) = 0 si t = 0 On admet : 0,69 < ln(2) < 0,70. Partie I : Étude de la fonction f 1. Montrer que f est continue sur [0; +∞[. 2. Justifier que f est classe C2 sur ]0; +∞[ et calculer, pour tout t de ]0; +∞[, f ′(t) et f′′(t). 3. Dresser le tableau de variations de f. On précisera la limite de f en +∞. 4. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O; i , j ). a) Montrer que C admet une tangente en O et préciser celle-ci. b) Montrer que C admet un point d’inflexion et un seul, noté I, et préciser les coordonnées de I. c) Tracer l’allure de C. 5. Montrer que l’équation f(t) = 1, d’inconnue t ∈ [0; +∞[, admet une solution et une seule et que celle-ci est égale à 1. Partie II : Étude d’une suite récurrente On considère la suite (un)nIN définie par : u0 = 1 et n IN, un+1 = f(un). 2 1 6. Montrer : ∀n IN, un , 1. 2 7. Montrer que la suite (un)nIN est croissante. 8. En déduire que la suite (un)nIN converge et déterminer sa limite. (On pourra étudier les variations de la fonction t t − ln(t).) 9. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel N tel que 1 − uN < 10−4. ECE2 : Année 2016-2017 Exercice 3 – EDHEC 2016 On admet dans cet exercice que si x désigne un réel élément de [0;1[, + k x k = - ln(1 – x). k=1 Partie I : Questions préliminaires 1. Soit m un entier naturel fixé. A l’aide de la formule du triangle de Pascal, établir l’égalité : q q m, (km) = (q+1 m+1) k=m 2. Soit n un entier naturel non nul. On considère une suite (Xn)n IN* de variables aléatoires, mutuellement indépendantes (c'est-àdire deux à deux indépendantes). On admet que dans ce cas, si n IN, et si f est une fonction de IRn dans IR, alors les variables aléatoires f(X1, …, Xn) et Xn+1 sont indépendantes. On considère que les variables aléatoires (Xn)n IN* suivent toutes la loi géométrique de n paramètre x [0;1[, et on pose Sn = Xk. k=1 (a) Déterminer Sn() puis établir que, pour tout entier k supérieur ou égal à n + 1, on a : k-1 P(Sn+1 = k) = P((Sn = j) (Xn+1 = k – j)) j=n (b) En déduire, par récurrence sur n, que la loi de Sn est donnée par : k [[n; + [[, P(Sn = k) = (k-1 n-1)x (1 – x) n k-n (c) En déduire, pour tout x de ]0; 1[ et pour tout entier naturel n non nul : + k-1 n-1 k=n ( )(1 – x) k-n = 1 . xn ECE2 : Année 2016-2017 Partie II : étude d’une variable aléatoire. Dans cette partie, on désigne par p un réel de ]0; 1[ et on pose q = 1 – p. qk On considère la suite (uk)k IN*, définie par : k IN*, uk = k ln p 1. (a) Vérifier que la suite (uk)k IN* est à termes positifs. + (b) Montrer, en utilisant le résultat donné dans l'énoncé que uk = 1. k=1 On considère dorénavant une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par : k IN*, P(X = k) = uk. 2. (a) Montrer que X possède une espérance et la déterminer. - q(q + ln p) (b) Montrer également que X possède une variance et vérifier que : V (X) = . (p ln p)2 3. Soit k un entier naturel non nul. On considère une variable aléatoire Y dont la loi, conditionnellement à l’évènement (X = k), est la loi binomiale de paramètres k et p. (a) Montrer que Y() = IN puis utiliser la formule des probabilités totales, pour montrer que : ln(1 + q) P(Y = 0) = 1 + ln p k k-1 ( n) (n - 1) (b) Après avoir montré que , pour tout couple (k, n) de IN* IN*, on a : = , établir k n que, pour tout entier naturel n non nul, on a : P(Y = n) = - pnqn + n ln p k=n (kn -- 11)(q ) 2 k-n . En déduire grâce à la question 2) de la première partie, l’égalité : qn P(Y = n) = n (1 + q)n ln p + (c) Vérifier que l’on a P(Y = k) = 1. k=0 (d) Montrer que Y possède une espérance et donner son expression en fonction de ln p et q. (e) Montrer aussi que Y possède une variance et que l’on a : q(q + (1 + q)ln p) V(Y) = (ln p)2 ECE2 : Année 2016-2017