Couple acide-base : CORRECTION

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CORRECTION DES EXERCICES DU CHAPITRE n° 4
I) Cyclotron.
a) Dans un "dee" existe un champ magnétique
B
uniforme, les protons sont donc soumis à
une force
f
= q.
v
B
= m.
a
d'où
a
=
q
m
.
v
B
a
est donc orthogonal à
B
or,
v0
est
lui-même orthogonal à
B
. Choisissons, alors un repère (O,
i
,
j
,
k
) tel que
k
soit parallèle
à
B
, on a donc
a
(ax, ay, 0), d'où par intégration :
v
( vx, vy, vz = cte = 0), le mouvement a lieu
dans le plan orthogonal à
B
(plan de la figure).
En résumé, le mouvement est plan car :
- la seule force en présence est de type magnétique
- le champ magnétique est uniforme
- la vitesse initiale est orthogonale au champ
m
f
=
a
=
q
m
.
v
B
on en déduit que
a
(ou
f
) est constamment orthogonal à
v
, donc
* l'accélération n'a qu'une composante normale a = aN =
vr
2
* P =
f
.
v
=
dW
dt
= 0 la puissance des forces magnétiques est nulle : l'énergie cinétique est
donc constante, d'où v = cte
d'autre part q,.m, v et B, étant des constantes, on a aN = cte d'où : r =
v
aN
2
= cte = R on est
en présence d'un mouvement plan à courbure constante, comme v = cte on a un
mouvement circulaire uniforme.
En résumé, le mouvement est circulaire uniforme car :
- le mouvement est plan
-
a
(ou
f
) est constamment orthogonal à la vitesse
-
B
et
a
, sont des vecteurs de module constant
b) On a vu que :
a = aN =
q
m
.v.B =
v
R
2
d'où R =
m v
q B
.
.
si T est la période pour un tour : T =
vR..2 
=
B.q m..2 
soit pour un demi-tour t = T/2 =
..m
q B
= 3,3.108 s
la fréquence de la tension est donc la même que la fréquence de rotation du proton soit :
N =
T
1
=
t.21
= 1,5.107 Hz
c) On suppose que durant le transit du proton entre les "dees" le champ électrique accélérateur
est maximum et constant (maximum d'efficacité et durée du transite très brève), donc U = UM
. Le travail des forces magnétiques est W = q.UM à chaque transit. A chaque tour le
proton est accéléré deux fois, donc, par tour :
EC = 2. q.UM = 1,3.1015 J = 8000 eV
d) On a ECf  ECi = n. EC où n est le nombre de tours effectués par un proton dont l'énergie
cinétique passe de ECi à ECf, ici ECi = 0 :
n =
C
Cf
E
E
=
m v
Ef
C
.
.
2
2
= 257 tours

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II) Filtre de Wien et spectrographe de masse.
a) i. Dans le filtre de Wien, un ion n'étant soumis qu'à une force électrostatique
Fe
et à une
force magnétique de Lorentz
Fm
(on néglige les effets du poids de l'ion), pour que son
mouvement soit rectiligne et uniforme il faut que l’ion soit pseudo-isolé :
Fe
+
Fm
=
0
, or
Fe
= q.
E
et si q > 0,
Fe
a même sens que
E
(vers le haut sur le schéma), il faut donc
que
Fm
= q.
v0
B1
soit dirigé vers le bas. Le trièdre q.
v0
,
B1
et
Fm
et donc le trièdre
v0
,
B1
,
Fm
doit être direct,
Fm
est dirigé vers le bas,
v0
vers la droite :
B1
est alors sortant de la feuille.
ii. Sachant que
Fe
+
Fm
=
0
, on a q.
E
+ q.
v0
B1
=
0
et :
E
+
v0
B1
=
0
En module, si
Fe
+
Fm
=
0
on a (avec q > 0 et
B1
orthogonal à
v0
)
Fe = q.E = Fm = q.v0.B1 soit : E = v0.B1
iii. Si v > v0 alors Fm > Fe (en mesure) les particules sont déviées vers le bas (du schéma).
Si v < v0 alors Fm < Fe les particules sont déviées vers le haut.
iv.
v0
étant orthogonal à
B1
on a vu que : E = v0.B1, or E =
U
d
donc v0 =
U
d B. 1
= 107 m.s1
b) i. Dans le spectrographe les ions ne sont soumis qu'à la force de Lorentz. La vitesse initiale
v0
étant orthogonale à
B
qui est lui-même uniforme, le mouvement de l'ion C2H5O+ est
circulaire uniforme et le rayon du cercle est donné par :
R0 =
2
00B.q v.m
= m0.
2
0
B.ev
avec m0 =
N
M0
masse de l'ion M0 étant sa masse molaire.
Pour un autre ion on aura : OC = 2.R =
22
0
2
0
0
..
.. .m v eB m R m
en posant m = N.M où N est le
nombre d’Avogadro, on peut remplacer le rapport des masses des ions par le rapport de
leurs masses molaires : OC =
20
0
.. R
MM
Si on exprime R0 en cm (R0 = 45 cm) et M0 en g.mol1 (M0 = 45 g.mol1) on a :
OC (en cm) = 1.M (en g.mol1)
Pour C2H5OH+ OC = 46 cm, pour C2H5+ OC = 29 cm
pour OH+ OC = 17 cm, pour CH2OH+ OC = 31 cm
pour CH3+ OC = 15 cm, pour CH2+ OC = 14 cm
ii. Pour H+ on aurait OC = 1 cm qui est du même ordre de grandeur que la largeur du filtre de
Wien, donc pour des raisons purement matérielles il est impossible de recueillir ces
ions.
iii. de R0 =
m v
e B
0 0
2
.
.
on déduit : B2 =
m v
e R
0 0
0
.
.
=
M v
N e R
0 0
0
.
. .
= 20,8 T

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III) Champ électrique ou champ magnétique.
a) - Dans le champ électrique uniforme
E
, les particules décrivent un arc de parabole dans le
plan de la figure, dont le sommet est le point O et dont la concavité est tournée vers le bas
de la figure : on a affaire à un mouvement à vecteur accélération
a
constant (dans le plan
de figure, et dirigé vers le bas de la figure). Or, m.
a
=
e
F
, les particules sont soumises
à une force constante
e
F
dans le plan de la figure de direction orthogonale à OH et
dirigée vers le bas (en particulier au point M, voir figure 1). On sait que la force électrique
est donnée par
e
F
= q.
E
, q étant positif le vecteur
champ électrique
E
est donc parallèle et de
même sens que
e
F
.
- Dans le champ magnétique uniforme
B
, les
particules décrivent un arc de cercle dans le plan
de la figure et de centre C : on a affaire à un
mouvement circulaire uniforme à vecteur
accélération
a
centripète (dirigé vers le point C) et
de module constant. Or, m.
a
=
m
F
, les particules
sont soumises à une force centripète
m
F
dans
le plan de la figure dirigée vers C et de norme
constante (en particulier au point M, voir figure 2). On sait que la force magnétique est
donnée par
m
F
= q.
v
B
, q étant positif et d'après la règle des trois doigts, le vecteur
champ magnétique
B
est orthogonal à la figure est sortant.
b) Dans le champ électrique uniforme
E
, les particules ont un mouvement à vecteur
accélération
a
constant (mouvement parabolique). En choisissant un axe Ox parallèle à OH
et de même sens et un axe Oy orthogonal à OH et dirigé vers le bas de la figure, les
équations horaires du mouvement s'écrivent :
x = v0.t et y =
1
2
.a.t où a est la norme de l'accélération, soit l'équation de la parabole :
y =
a x
v
.
.
2
0
2
2
d'où l'on tire a =
20
2
2
. .v y
x
en particulier, pour le point A : a =
2
2
0d.v.2
l
. D'autre part, la
loi fondamentale s'écrit q.
E
= m.
a
ou ║
a
║ = a =
q
m
.E q étant positif on a :
2
2
0d.v.2
l
=
q
m
.E
m
q
=
2
2
0
.E d.v.2 l
= 4,8.107 C.kg1
c) Dans le champ magnétique uniforme
B
, les particules ont un mouvement circulaire uniforme
à vecteur accélération
a
centripète (dirigé vers le point C) et de module constant. On a
m
F
= q.
v
B
, le mouvement étant uniforme la vitesse garde un module constant et v = v0,
les vecteurs
v
et
B
sont constamment orthogonaux, d'où ║
m
F
║ = Fm = q.v..B = q.v0.B
Le mouvement étant circulaire uniforme, on a : ║
a
║ = aN =
2
v
=
R
v2
0
La loi fondamentale s'écrit : q.
v
B
= m.
a
or
v
et
B
étant orthogonaux q.v0.B = m.
v
R
0
2
Soit
m
q
=
R.B
v0
= 4,8.107 C.kg1

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d) Pour un élément X, on peut décrire un ion par le symbole Xn+ où n est le nombre de charges
de l'ion, on peut décrire un isotope de cet élément par le symbole
Z
AX
où A est le nombre de
masse (nombre de nucléons) et Z le nombre de protons. On peut d'ailleurs décrire un ion
d'un isotope de l'élément par le symbole
Z
A n
X
.
Pour l'ion
Z
A n
X
, e = 1,6.1019 C et mn = 1,67.1027 kg la charge massique est :
m
q
=
n
m.A e.n
On peut calculer le rapport q/m dans chaque cas :
Symbole de l'ion et du nucléide
1
1H
1
2H
2
4 2
He 
3
7Li
4
9 2
Be 
q/m (C.kg1) 9,6.107 4,8.107 4,8.107 1,4.107 2,1.107
Il ne peut s'agir que de l'ion H+ du deutérium (
1
2H
) ou de l'ion He+ de l'hélium 4 (
2
4He
)
IV) Accélération puis déviation de particules chargées.
a) Pour communiquer aux ions (initialement au repos) une accélération entre S et O il faut que
la force de Coulomb
F
= q.
E
soit dirigée suivant l'axe Ox et dans le sens de S vers O. La
charge des ions est q > 0 : le champ électrique
E
est dirigée suivant l'axe Ox et dans le
sens de S vers O, comme le champ
E
est dans le sens des potentiels décroissants : VS > VO
Autre démonstration :
La variation d’énergie cinétique entre S et O doit être positive pour que les ions soient
accélérés :
2
1
.m.v02 
2
1
.m.vS2 > 0, d’après le théorème de l’énergie cinétique, le travail des
forces appliquées entre S et O doit aussi être positif :
La seule force appliquée entre S et O est la force électrique
F
= q.
E
et son travail s’écrit :
OS )F(W 
= q.
E
.
SO
= q.(VS  V0), le champ
E
étant uniforme est parallèle et de même sens
que
SO
. Les ions portant des charges positives (q > 0), on doit avoir (VS  V0) > 0 : VS > VO
b) Appliquons le théorème de l'énergie cinétique à un ion entre S et O :
2
1
.m.v02 
2
1
.m.vS2 = q.(VS  V0) avec vS = 0 et VS  VO = U0, on obtient
2
1
.m.v02 = q.U0
Soit
vq U
m
00
2
. .
c) i. Entre les plaques A et C les ions sont soumis à la force de Lorentz
F
= q.
v
B
.
D'autre part, la loi fondamentale de la dynamique s'écrit
F
= m.
a
. Soit
a
=
q
m
.
v
B
.
Cette relation vectorielle est vraie à chaque instant : on voit donc que le vecteur
accélération
a
est orthogonal au vecteur champ uniforme
B
, donc
a
n'a pas de
composant parallèle à
B
. Appelons Oz l'axe orthogonal au plan de figure (parallèle à
B
)
et de même sens que
B
, (sortant) : on a az = cte = 0 par intégration v z = cte = 0 puisque
l'instant de leur entrée O, les ions ont une vitesse contenue dans le plan de figure (donc
elle y reste) et par une autre intégration, on obtient z = cte = z0 :
Les ions se déplacent dans le plan orthogonal à
B
et contenant O (plan de figure).
ii.
F
= q.
v
B
implique que
F
est constamment orthogonal à
v
,
F
qui est constamment
orthogonal au déplacement ne travaille donc pas et l'énergie cinétique des ions reste
constante : Les ions ont une énergie cinétique constante donc v = cte = v0.

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iii. On a vu que
a
=
q
m
.
v
B
. Ecrivons le vecteur accélération dans le repère de Frénet
d'un ion, on obtient :
a
=
dv
dt
.
T
+
v2
.
N
Où
T
et
N
sont les vecteurs unitaires, respectivement tangent et normal à la trajectoire
au point où se trouve l'ion, est le rayon de courbure de la trajectoire en ce point.
Mais, v = cte = v0 et donc
dv
dt
= 0, le vecteur
a
n'a pas de composante tangentielle.
a
=
aN
=
v2
.
N
=
q
m
.
v
B
et en module de chaque membre :
v0
2
=
q
m
.v0.B.sin(
v
,
B
).
v
est constamment orthogonal à
B
et v = cte = v0 entraîne que  =
m v
qB
..0
cte = R.
Le rayon de courbure de la trajectoire (plane) est constant :
La trajectoire est un cercle de rayon R =
m v
q B
.
.0
=
120
Bm U q
.. .
d) i. Etant donné le sens de
B
et de la vitesse
v0
des ions en O, la force de Lorentz
F
= q.
v
B
est dirigée au départ (au passage de l'ion en O) vers le bas de la figure : les
ions sont donc déviés vers le bas de la figure : Il faut orienter O'Y vers le bas de la
figure pour que les ions arrivent sur l'écran C avec une ordonnée Y positive.
ii. Les ions pénètrent en O avec une vitesse orthogonale à
l'électrode A. Le centre  du cercle de rayon R décrit
par les ions est sur la normale à
v0
, donc dans le plan
de l'électrode A.
En désignant par P le point d'impact des ions sur
l'écran et par H la projection orthogonale de P sur
l'électrode A, on a :
H2 + HP2 = P2 soit (R  Y)2 + l2 = R2
ou R2  2.R.Y + Y2 + l2 = R2
Y2  2.R.Y + l22 = 0
iii. Avec R =
120
BmU q
.. .
= 1,144 m on a l'équation du
second degré : Y2  0,288.Y + 0,01 = 0 dont les
solutions sont : Y =
0288 0288 004
2
2
, , , 
soit Y1 = 4,04 cm et Y2 = 24,8 cm
La première valeur correspond à l'impact des ions en P, la deuxième valeur correspond
au deuxième point d'intersection du cercle avec l'écran C (non physique).
d'où Y = 4,04 cm