Logique fondements, applications, perspectives

Logique
fondements, applications, perspectives
Les sept merveilles de la logique
http ://www.dirk-k-lange.de/PSC/
Fig. 1 – Explication logique - Siegfried Jegard (2005)
Matthieu Deconinck
Dirk Lange
Olivier Marfaing
Matthieu Rambaud
Jimena Royo-Letelier

Table des matières
Introduction 4
1 Il était une fois. . . la logique 9
2 Le paradoxe aux cent têtes 14
2.1 Les paradoxes de l’auto-référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Les paradoxes du menteur et du barbier . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Le paradoxe de Grelling-Nelson (linguistique) . . . . . . . . . 15
2.1.3 Le paradoxe de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Paradoxe de Russell et de Berry . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 La théorie des ensembles et le processus d’axiomatisation . . . . . . . 16
2.2.1 Pourquoi une théorie des ensembles ? . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Opérations ensemblistes et le cas fini . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.3 L’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 La multiplication des pains 33
Introduction................................... 33
3.1 Définitions................................. 35
3.2 Deuxlemmes ............................... 35
3.3 Paradoxe de la Sphère (Hausdorff 1914) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Duplication de la Boule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Théorème de Banach-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Mesures universelles sur Ret R2..................... 43
4 Le Chapitre 4 n’est pas démontrable 44
4.1 Définition du sytème formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Plongement du sytème Pdans N.................... 46
4.3 Le signe de classe indécidable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Le système P............................... 49
4.4.1 Les signes primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.2 Formules.............................. 51
4.4.3 Formules démontrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.4 Commentaires : théorème du sens . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.5 Une image bi-univoque du système P.................. 58
4.5.1 Définition de G1(à valeur dans N)................ 59
4.5.2 Projection de Psur G...................... 60
4.6 La démonstration de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.1 Système Pétendu et ω−consistance .............. 61
1

Table des matières 2
4.6.2 Le théorème de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7 Les fonctions récursives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7.1 Définitions............................. 64
4.7.2 Comment construire des fonctions (relations) récursives ? . . . 65
4.7.3 Qestrécursive .......................... 67
4.7.4 Les 45 concepts récursifs de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.7.5 Démonstration du théorème du sens . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 L’explosion convergente 74
5.1 Bonsordres ................................ 74
5.1.1 Définitions............................. 74
5.1.2 Rigidité des bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.3 Comparaison de bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.4 Addition de bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.5 Multiplication des bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.6 Exponentiation de bons ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Construction des ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 Ensembles transitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.2 Ordinaux ............................. 81
5.2.3 L’ordre sur les ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.4 Borne supérieure ; ordinaux limites . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.5 Le théorème de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3 Arithmétique ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.3.1 Uncritère ............................. 85
5.3.2 Addition ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.3 Multiplication ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3.4 Exponentiation ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4 Théorème de Goodstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6 Les mille et un théorèmes 94
6.1 Introduction................................ 94
6.1.1 Les corps finis et localement finis . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1.2 Clôture algébrique des Fp.................... 95
6.1.3 Les théorèmes de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Les formules du premier ordre pour le langage des anneaux . . . . . . 95
6.2.1 Définition de l’ensemble des formules . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.2 Exemples, théories et modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.3 Théorie des corps algébriquement clos, théorème d’Ax . . . . . 97
6.3 Ultraproduits ............................... 98
6.3.1 Filtres et ultrafiltres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.2 Notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.3 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.4 Ultraproduits ........................... 99
6.3.5 Théorème de Los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Élimination des quantificateurs et complétude de la Théorie de corps
algébriquementclos............................101
6.4.1 Élimination des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.2 Démonstration du théorème de transfert et du théorème d’Ax 106

Table des matières 3
7 Une porte doit être ouverte et fermée 107
7.1 Les enjeux de l’informatique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Bits quantiques et portes quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3 Calcul de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4 Un premier exemple d’algorithme quantique . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 l’Algorithme de recherche de Grover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.6 Conclusion.................................117
Table des figures 119
Bibliographie 120

Introduction
Pangloss enseignait la métaphysico-théologo-cosmolonigologie. Il prouvait admirablement qu’il n’y
a pas d’effet sans cause, et que, dans ce meilleur des mondes possibles, le château de monseigneur
le baron était le plus beau des châteaux et madame la meilleure des baronnes possibles.
« Il est démontré, disait-il, que les choses ne peuvent être autrement : car, tout étant fait pour
une fin, tout est nécessairement pour la meilleure fin. Remarquez bien que les nez ont été faits
pour porter des lunettes, aussi avons-nous des lunettes. Les jambes sont visiblement instituées
pour être chaussées, et nous avons des chausses. Les pierres ont été formées pour être taillées, et
pour en faire des châteaux, aussi monseigneur a un très beau château ; le plus grand baron de la
province doit être le mieux logé ; et, les cochons étant faits pour être mangés, nous mangeons du
porc toute l’année : par conséquent, ceux qui ont avancé que tout est bien ont dit une sottise ; il
fallait dire que tout est au mieux. »
Voltaire,Candide
L’histoire de notre groupe de Projet Scientifique Collectif est peut-être un
peu particulière dans le sens où l’idée du sujet est apparue avant que l’équipe ne
se forme. En effet, nous étions tous attirés par différents thèmes intellectuellement
fascinants comme la théorie des modèles, la logique quantique ou le théorème de
Gödel. Nous souhaitions également aborder une matière qui n’est que rarement en-
seignée en tant que telle : la logique.
Notre perspective pendant ces 7 mois a été la suivante : la logique est une
discipline encore plus abstraite que les mathématiques, il est donc particulièrement
intéressant d’en présenter les enjeux et les applications afin de montrer que cette
discipline ne relève pas uniquement du domaine intellectuel ; au contraire elle s’est
construite pour résoudre des problèmes concrets.
Cette science présentant de multiples facettes, il nous a semblé clair que dans
le cadre d’un PSC il fallait se limiter à quelques aspects traités en profondeur plutôt
que de « lister » un grand nombre de résultats que nous n’aurions pu approfondir
par manque de temps.
Faire des choix n’est pas toujours facile et ici tout particulièrement parce
qu’il fallait nous restreindre tout en montrant la richesse de la logique, ses applica-
tions à différents domaines (pas seulement les mathématiques) et le développement
important qu’elle a connu ces deux derniers siècles. Nous tenons ici à remercier tout
particulièrement notre tuteur M.Yves Laszlo pour les nombreuses pistes qu’il nous
a indiquées.
L’étude que nous présentons ne se veut donc pas exhaustive (même au sein
des différents domaines abordés) ; l’objectif est d’initier le néophyte à certains as-
pects de cette science ancienne et très dynamique. C’est pourquoi, nous avons mis
l’accent sur un certain nombre de résultats particulièrement surprenants.
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