1 Soit ABC un triangle, H son orthocentre et O le centre du cercle

1 Soit ABC un triangle, H son orthocentre et O le centre du cercle circonscrit
à ABC.
Notons E et F les points d’intersection de la médiatrice du segment [A ;C] avec
les droites (CH) et (AH).
Notons D et G les points d’intersection de la droite (BH) avec les médiatrices
des segments [BC]et [AB].
Démontrer que HDOF et HGOE sont des parallélogrammes.
2 Soit C un cercle de diamètre [AB], A’ et B’ deux points de C tels que
(AA') et (BB’) sont sécantes en H, et (AB') et (A'B) sont sécantes en C.
Démontrer que (CH) est perpendiculaire à (AB).
3 Soit ABC un triangle, H le projeté orthogonal de A sur (BC), A'
le milieu du côté [BC], D et E les projetés orthogonaux de A' sur
(AB) et (AC).
Démontrer que A, A', D, E et H sont sur un même cercle dont on
précisera un diamètre.
4 Soit ABCD un carré dont les côtés mesurent 4 cm, I est le point du côté
[A ;B] tel que AI =1 cm,
La parallèle à (AC) passant par I coupe (BC) en J.
La parallèle à (BD) passant par J coupe (DC) en K.
La parallèle à (AC) passant par K coupe (AD) en L.
1° Démontrer que le quadrilatère IJKL est un rectangle dont on précisera les
dimensions.
2° La droite (BD) coupe (IJ) en E.
Calculer l'aire du triangle IBJ, puis la longueur BE.
5 On a fait à main levé la figure ci-contre avec les conditions
suivantes (en plus de celles indiquées sur la figure)
D est le projeté orthogonal de B sur (CE)
F est l'intersection de (BD) et (AC)
L'angle EAC mesure 30°
Les distances BF et CF sont égales
1° Que peut-on dire des angles suivants
a) EAC et DFC ?
b) DFC et AFB ?
c) AFB et BFC ?
2° Calculer les mesures des angles FBC et FCB
3° On sait que : AE = 10 et FD = 5
a) Calculer CE, CD et DE
b) Que représente F dans le triangle .ACF?
En déduire la distance FB.
A B
CD
I
J
K
L
E
A B
A'
B
'
H
C
A
B
C
H
A
'
D
E
A
B
C
H
OEF
DG
A E
C
D
B
F
30°

Aide à la démonstration.
1 Dans le triangle ABC (HD) est une hauteur donc (HD) ⊥ (AC)
(OF) est la médiatrice de [ AC ] donc (OF) ⊥ (AC)
(HD) ⊥ (AC)
(OF) ⊥ (AC) donc (OF) // (HD).
De même 
(OD) ⊥ (BC) car (OD) est la médiatrice de [ BC ]
(FH) ⊥ (BC) car (FH) est la hauteur issue de A donc (OD) // (FH)
HDOF a ses côtés parallèle deux à deux c'est donc un parallélogramme.
Même chose pour HGOE
2 A' est sur le cercle de diamètre [ AB] donc (AA') ⊥ (A'B) donc, dans le triangle ACH, (A'B ) est la hauteur
issue de C. De même B' est sur le cercle de diamètre [ AB] donc (AB') ⊥ (B'B) donc, dans le triangle ACH, (B'B
) est la hauteur issue de H. Les droites (A'B) et (BB') se coupent donc en B orthocentre du triangle AHC.
(AB) est donc la troisième hauteur donc (AB) ⊥ (CH).
(AH) ⊥(A'A) donc H est sur le cercle de diamètre [ AA' ].
(A'D) ⊥ (DA) donc D est sur le cercle de diamètre [ AA' ].
(A'E) ⊥ (AE) donc E est sur le cercle de diamètre [ AA' ].
3H projeté orthogonal de A sur (BC) donc (AH) ⊥ (A'H) donc H est sur le cercle de diamètre [AA']
D projeté orthogonal de A' sur (BA) donc (A'D) ⊥ (AD) donc D est sur le cercle de diamètre [AA']
E projeté orthogonal de A' sur (AB) donc (A'E) ⊥ (EA) donc E est sur le cercle de diamètre [AA']
41° (IJ) // (AC) et (AC) // (LK), (LI) // (BD) et (BD) // (KJ). On a donc (IJ) // (LK) et (IL) // (KJ) donc IJKL est
un parallélogramme. 
(IJ) // (AC)
(IL) // (BD)
(BD) ⊥ (AC) donc (IJ) ⊥ (IL). IJKL est donc un rectangle.
2° BIJ est rectangle en B donc Aire(BIJ) = 1
2 × BI × BJ = 1 2 × 3 × 3 = 9 2
Dans le triangle BIJ [ BE ] est la hauteur relative au côté [ IJ ]
Aire (BIJ) = 1
2 × BE × IJ. NIJ est rectangle isocèle en B donc IJ = BI 2 = 3 2.
On a : 1
2 × BE × 3 2 = 9 2 donc BE = 3
2 = 3 2
2.
5 1° a) EAC et DFC sont "correspondants"
b) DFC et AFB sont "opposé par le sommet"
c) AFB et BFC sont "supplémentaires"
2° AFB = EAC = 30° donc BFC = 180° – AFB = 150° BFC est isocèle en F donc FBC = FCB = 180 – 150
2 = 15°
3° Dans le triangle CDF rectangle en D : tan CFD = CD
FD donc 3 3 = CD 5 donc CD = 5 × 3 3 = 5 3 3
Dans le triangle AEC rectangle en E : tan CAE = CE
AE donc 3 3 = CE 10 donc CE = 10 × 3 3 = 10 3 3
DE = CE – CD = 10 3
3 – 5 3 3 = 5 3 3
4° On a CD = DE et D ∈ [CE] donc D est le milieu de [CD] (On pouvait le démontrer sans calculer CD et CE
avec le théorème de Thales).
Dans le triangle ACE on a : 
D est le milieu de [CE]
(FD)//(AE) donc F est le milieu de [AC]
Comme ACE est rectangle en E F est le centre du cercle circonscrit au triangle.