Exercice corrigé sur le théorème de Norton

Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
Exercice corrigé sur le théorème de Norton
R4
Ig
R1
(A)
R2
Rg
UAB
R5
E1
E2
R3
(B)
Figure 1
Nous voulons calculer la différence de potentiel entre les points A et B , c'est à dire UAB .
Nous allons appliquer les différentes lois et théorèmes de l'électrocinétique.
L'utilisation des seules lois des mailles et des noeuds nous conduit à résoudre un système de plusieurs
équations à plusieurs inconnus. La méthode adaptée correspond à l'utilisation du calcul matriciel .
L'introduction des théorèmes de superposition , de Thévenin , de Norton va nous permettre de couper le
circuit en parties élémentaires qui ne comporteront qu'une maille.
Nous obtiendrons des résultats intermédiaires en appliquant
● la formule du diviseur de tension
● le théorème de superposition
● le diviseur d'intensité.
Méthode :
Nous allons réduire le montage en appliquant le théorème de Norton entres les bornes A et B . Nous
obtiendrons le schéma figure 2
(A)
UAB
R5 figure 2
INAB
RNAB
(B)
Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
Pour arriver à obtenir ce circuit équivalent nous allons réduire ce qu'il reste du montage. Introduisons les
points de coupure.
(E) R4
(A)
(C)
Figure 3
Ig
R1
R2
Rg
UAB
(D)
E1
R3
E2
(F)
(B)
Nous allons commencer par transformer les générateurs de tension en générateur de courant équivalent.
C'est l'application la plus simple du théorème de Norton.
R1
IE1
R1
Figure 4
E1
La transformation nous donne IE1 = E1/R1 , les résistances sont identiques.
Nous faisons la même chose pour transformer E2 R2 .
Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
R4
(E)
(A)
(C)
Ig
Rg
UAB
IE1
(D)
R2
R1
R3
Figure 5
IE2
(F)
(B)
Pour appliquer facilement le théorème de Norton, il faut l'appliquer pour une maille et une seule . Cela
permet de toujours retrouver les mêmes calculs.
Passons au premier montage lorsque nous coupons entre E et F afin de n'avoir qu'une maille .
Appliquons le théorème de Norton entre E et F
E
(C)
Ig
Rg
Figure 6
(D)
R1
IE1
R3
F
1° Etape :
Calculons la tension du générateur de courant de Norton équivalent.IthEF .
C'est l'intensité du courant qui apparaît aux bornes de EF aprés avoir enlevé la charge ( le reste du
montage ) et fait un court circuit.
Nous constatons que le circuit comporte deux générateurs de courant.
Nous allons appliquer le théorème de superposition .
1° Sous étape
Ig seul IE1 est remplacé par sa résistance interne. ( Le générateur de courant est idéal , sa résistance est
infinie . c'est donc un circuit ouvert.)
Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
E
(C)
Ig
Ig
Rg
I'NEF
(D)
E
(C)
Rg
I'NEF
figure 7
(D)
R1
figure 7'
R3
R1
R3
F
F
Nous voyons que R1 est court circuité par le fil traversé par I'NEF . On en déduit le schéma figure 7' .
On applique la formule du diviseur de courant car les deux résistors sont en parallele et nous
connaissons l'intensité du courant total ( Ig )
I ' NEF = Ig
Rg
Rg R3
2° Sous étape
IE1 seul Ig est remplacé par sa résistance interne.
(E)
(C)
Figure 8
Le court circuit neutralise les résistors , toute l'intensité
passe par le fil.
Rg
IE1
(D)
I ' ' NEF =I E1
R1
R3
I''NEF
(F)
3° Sous étape
Nous faisons la somme des résultats partiels pour obtenir I NEF.
I NEF =Ig
Rg
I E1
RgR3
2° Etape :
Déterminons la résistance du modèle de thèvenin vue entres les bornes E et F .
Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
figure 9
(C)
Rg
R1
RTHEF =
(D)
R3
R1∗ R3 Rg
R1R 3Rg
(F)
3° Etape :
Remplaçons la partie de montage étudiée par son modèle de Norton.I NEF et RNEF
R4
(A)
(E)
R4
Ig
R1
(A)
R2
Rg
UAB
R5
E1
UAB
E2
INEF
RNEF
R2
IE2
R3
(B)
Figure 1
(F)
(B)
Figure 10
Déterminons à présent le modèle de Norton vu entres les bornes A et B .
Nous constatons que ce montage est semblable à celui de la figure 6.
Nous allons à nouveau utiliser le théorème de superposition.
1° Etape :
Calcul de la tension du générateur de courant INAB
1° Sous étape
Commençons avec INEF seul.
On applique la formule du diviseur d'intensité sachant que R2 est court circuité par le fil entre A et B
Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
(E)
R4
(E)R4
(A)
I'NAB
INEF
(A)
R2
RNEF
(F)
Figure 11
I ∗R
I ' NAB= NEF NEF
R NEF R 4
I'NAB
INEF
RNEF
(F)
Figure 11'
(B)
(B)
2° Sous étape
On fait la même chose avec IE2 seul . Nous remarquerons que IE2 est de sens contraire à I''NAB . Nous
aurons un signe – dans l'expression du courant de court circuit I''NAB .
(E)R4
I ' ' NAB =−I E2
RNEF
(A)
R2
I''NAB
R2 est court circuité ainsi que l'association R4+RNEF
IE2
(F)
(B)
Figure 12
donc IE2 passe enièrment dans le court circuit entre A et B .
3° Sous étape
Nous faisons la somme des intensités précédentes pour obtenir la valeur du courant du générateur de
Norton vu entres les bornes A et B .
I ∗R
I NAB = NEF NEF − I E2
R NEF  R4
2° Etape
Calculons la valeur de la résistance de Norton.RNAB .
R NAB=
R 2∗ RthEF R 4
RthEF R4 R2
Lyszyk exercice d'entrainement Norton.
(E)
R4
RthEF
(A)
R2
(F)
Figure 13 (B)
3° Etape
Remplaçons le cicuit par son modèle équivalent ( voir figure 2 du début )
(A)
(A)
UAB
UAB
R5
INAB
RNAB
R5//RNAB
INAB
RNAB
(B)
(B)
Nous pouvons enfin calculer la tension aux bornes de R5 en regroupant R5 et RNAB ( en parallele )
R ∗R
U AB=I NAB∗ 5 NAB
RthAB R5