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Probl` emes de Math´ ematiques
Normes matricielles et rayon spectral
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Enonc´e
Normes matricielles et rayon spectral
Dans tout le probl`eme, on d´esigne par nun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
–Mnd´esigne l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients complexes.
Pour toute matrice A= (aij ) de Mn, on note (A)ij =aij son coefficient d’indice (i, j).
Dans Mn, on note TMla transpos´ee d’une matrice M.
On d´esigne par Ila matrice identit´e, et la matrice nulle est not´ee 0.
On note Sp (A) l’ensemble des valeurs propres d’une matrice A(son spectre).
On note ρ(A) le nombre d´efini par : ρ(A) = max {|λ|, λ ∈Sp (A)}(le rayon spectral de A.)
– Les ´el´ements de lCnsont identifi´es `a des “matrices colonnes” `a nlignes.
On note Z= (zk) un ´el´ement quelconque de lCnet (Z)k=zk.
– On dira qu’une norme ψsur Mnest matricielle si : ∀(A, B)∈ M2
n, ψ(AB)≤ψ(A)ψ(B).
Pour toute norme Nsur lCn, on pose : ∀A∈ Mn,e N(A) = sup
Z6=0
N(AZ)
N(Z).
On admet que e Nest une norme matricielle sur Mn(dite associ´ee `a N.)
Par d´efinition e N(A) est donc le r´eel minimum ktel que pour tout Zde lCn:N(AZ)≤kN(Z).
– On rappelle qu’une suite (uk)k≥0d’un espace vectoriel Ede dimension finie et muni d’une
norme Nconverge vers un vecteur ude Esi N(uk−u) tend vers 0 quand ktend vers +∞,
et que cela ne d´epend pas de la norme utilis´ee.
Partie I
On rappelle que N∞est la norme d´efinie sur lCnpar : ∀Z= (zk), N∞(Z) = max
1≤k≤n|zk|.
Pour toute matrice A= (aij ) de Mn, on note ϕ(A) = max
1≤i≤n
n
X
j=1
|aij |.
1. Prouver que e N∞(A)≤ϕ(A). [S]
2. Soit iun entier tel que ϕ(A) =
n
X
j=1
|aij |.
On d´efinit le vecteur Z= (zk) de lCnpar zk=aik
|aik|si aik 6= 0 et zk= 0 sinon.
A l’aide de Z, montrer que e N∞(A) = ϕ(A). [S]
3. Soit ψune norme matricielle sur Mn. Montrer que : ∀A∈ Mn, ρ(A)≤ψ(A).
(Indication : utiliser la matrice ZTZ, o`u Zest un vecteur bien choisi de lCn.) [S]
Partie II
Soient Aune matrice de Mn. On veut prouver l’´equivalence lim
k→∞ Ak= 0 ⇔ρ(A)<1.
Soit εun r´eel strictement positif.
On va d’abord montrer l’existence d’une norme Nsur lCntelle que e N(A)≤ρ(A) + ε.
Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A.
Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation
individuelle et priv´ee sont interdites.
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Probl` emes de Math´ ematiques
Normes matricielles et rayon spectral
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Enonc´e
1. Rappeler pourquoi il existe une matrice inversible Ude Mntelle que T=U−1AU soit
triangulaire sup´erieure. Dans toute la suite on note T= (tij ).
Rappeler la signification de l’ensemble S={tii,1≤i≤n}pour la matrice A.[S]
2. Montrer qu’il existe un r´eel δ > 0 tel que : ∀i∈ {1, . . . , n −1},
n
X
j=i+1
δj−i|tij | ≤ ε.[S]
3. Avec un tel δ, soit ∆ la matrice diagonale de Mnde coefficients diagonaux 1,δ,...,δn−1.
On note V=U∆, o`u Ud´esigne la matrice inversible ´evoqu´ee `a la question II-1.
On note ψl’application d´efinie sur Mnpar ψ(B) = e N∞(V−1BV ).
(a) Calculer V−1AV et prouver que ψ(A)≤ρ(A) + ε.[S]
(b) Pour tout Zde lCn, on pose N(Z) = N∞(V−1Z).
Montrer qu’on d´efinit ainsi une norme Nsur lCntelle que ψ=e N.[S]
4. (a) Montrer que lim
k→∞ Ak= 0 ⇒ρ(A)<1.
(Indication : utiliser AkZ, o`u Zest un vecteur bien choisi de lCn.) [S]
(b) R´eciproquement, montrer que ρ(A)<1⇒lim
k→∞ Ak= 0.
(Indication : en le justifiant, utiliser une norme matricielle e Ntelle que e N(A)<1.) [S]
Partie III
1. Soient σun ´el´ement de [0,1[ et Nune norme sur lCn.
Soit fune application σ-lipschitzienne sur l’espace vectoriel norm´e ( lCn, N).
On consid`ere une suite (Zk)k≥0de lCntelle que Zk+1 =f(Zk) pour tout kde IN.
(a) Montrer que pour tous entiers naturels m, p,N(Zm+p−Zm)≤σm
1−σN(Z1−Z0). [S]
(b) Montrer que la suite (Zk) est convergente et que sa limite Zv´erifie f(Z) = Z.[S]
(c) Montrer que l’application fadmet un unique point fixe. [S]
2. Soient Wdans lCnet Bdans Mn. Montrer que si ρ(B)<1 alors il existe un vecteur
Xde lCntel que toutes les suites de vecteurs (Zk)k≥0satisfaisant `a Zk+1 =BZk+W
convergent vers le vecteur X.[S]
3. Soient Aune matrice inversible de Mnet soit Yun vecteur de lCn.
Soit Mune matrice inversible de Mn.
On note F=M−1et Q=M−A. On suppose ρ(F Q)<1.
Utiliser F, Q, Y pour d´efinir une application f: lCn→lCntelle que toute suite (Zk)k≥0
v´erifiant Zk+l=f(Zk) converge vers l’unique solution du syst`eme lin´eaire AX =Y.
Pour tout Zde lCn, l’expression de f(Z) en fonction de F, Q, Y, Z utilisera les seules
op´erations d’addition et de multiplication matricielles : en particulier elle ne fera pas
appel `a l’inversion matricielle. [S]
Remarque : en pratique, on prend pour Mune matrice facile `a inverser, par exemple une matrice
diagonale `a coefficients diagonaux non nuls ; ce qui pr´ec`ede fournit alors (sous r´eserve que la
condition ρ(F Q)<1 soit v´erifi´ee) une m´ethode num´erique de r´esolution approch´ee du syst`eme
lin´eaire AX =Y.
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