Examen

Universit´e Paris Dauphine
DEMI2E 2e ann´ee
Alg`ebre lin´eaire 3
Examen du vendredi 27 janvier 2012
Le sujet comporte 2pages. L’´epreuve dure 2 heures. Les documents, calculatrices et
t´el´ephones portables sont interdits.
Exercice 1.
Pour x= (x1, x2, x3)∈R3, on pose
q(x) = x2
1+ 2x2 2+ 2x2 3+ 4x1x2+ 4x1x3+ 2x2x3.
1. Montrer que qest une forme quadratique sur R3.
2. D´eterminer son rang et sa signature par la m´ethode de Gauss.
3. D´eterminer la matrice Mde la forme qdans la base canonique de R3. D´eterminer les
valeurs propres de la matrice Met retrouver ainsi le rang et la signature de la forme q.
Exercice 2.
Soit A= (Aij )1≤i,j≤nune matrice de Mn(R).
1. Montrer que pour j= 1,···, n
X
1≤i≤n|Aij| ≤ √nsX
1≤i≤n
A2
ij .
Si Aest orthogonale, en d´eduire que
X
1≤i, j≤n|Aij | ≤ n√n.
2. D´eterminer un vecteur e∈Rntel que
X
1≤i≤nX 1≤j≤n
Aij =< Ae, e >
o`u <·,·>est le produit scalaire canonique de Rn.
Si Aest orthogonale, en d´eduire que
X
1≤i, j≤n
Aij ≤n.
.../...

2
Exercice 3.
On note Mn(R) l’ensemble des matrices A= (Aij ) `a nlignes et ncolonnes, dont les
cœfficients Aij sont r´eels. Mn(R) muni de l’addition et de la multiplication par un r´eel
«cœfficient par cœfficient », c’est-`a-dire
(Aij) + (Bij ) = (Aij +Bij )
λ(Aij ) = (λAij )
est un espace vectoriel sur R.
On note M+
n(R) le sous-ensemble de Mn(R) form´e des matrices sym´etriques, c’est-`a-dire
telles que tA=Aet M−
n(R) le sous-ensemble de Mn(R) form´e des matrices antisym´etriques,
c’est-`a-dire telles que tA=−A.
Pour A= (Aij )∈Mn(R), on note tr(A) = A11 +···+Ann.
1. Montrer que M+
n(R) et M− n(R) sont des sous-espaces vectoriels de Mn(R).
2. D´eterminer une base «canonique »de Mn(R) et en d´eduire la dimension Nde Mn(R)
en fonction de n.
Mˆeme question pour d´eterminer la dimension N+(resp. N−) de M+
n(R) (resp. M− n(R)).
3. Montrer que Mn(R) est somme directe de M+
n(R) et M− n(R).
4. Pour A∈Mn(R), calculer tr(tAA) en fonction des cœfficients de A.
En d´eduire que l’application q1:A→tr(tAA) est une forme quadratique d´efinie positive
sur Mn(R), et d´eterminer sa signature et son rang en fonction de N.
5. Montrer que l’application q2:A→(tr(A))2est une forme quadratique sur Mn(R), et
d´eterminer sa signature et son rang.
6. Montrer que l’application q+
3:A→tr(A2) est une forme quadratique sur le sous-
espace M+
n(R), et d´eterminer sa signature et son rang en fonction de N+.
Montrer que l’application q−
3:A→tr(A2) est une forme quadratique sur le sous-espace
M−
n(R), et d´eterminer sa signature et son rang en fonction de N−.
7. Montrer que l’application q3:A→tr(A2) est une forme quadratique sur l’espace
Mn(R) et d´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique f3qui lui est associ´ee. D´eterminer la
signature et le rang de la forme q3.
8. Montrer que pour toute forme lin´eaire fsur Mn(R), il existe une unique matrice
F∈Mn(R) telle que f(A) = tr(F A) pour tout A∈Mn(R).
Indication : on pourra consid´erer l’application F3de Mn(R)dans son dual (Mn(R))∗
d´efinie par F3(A) = f3(A, ·), c’est-`a-dire pour tout B∈Mn(R)
(F3(A))(B) = f3(A, B).

3
Corrig´e
Exercice 1.
1. Pour x, y ∈R3, on pose
f(x, y) = x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2(x1y2+x2y1) + 2(x1y3+x3y1) + x2y3+x3y2.
Pour yfix´e, l’application f(·, y) de R3dans Rest une forme lin´eaire puisque elle est un
polynˆome homog`ene de degr´e 1, et de mˆeme pour xfix´e, l’application f(x, ·) de R3dans
Rest une forme lin´eaire. Par cons´equent l’application fde R3×R3dans Rest une forme
bilin´eaire.
Comme q(x) = f(x, x), on en d´eduit que qest une forme quadratique sur R3.
2. On applique la m´ethode de Gauss :
x2
1+ 2x2 2+ 2x2 3+ 4x1x2+ 4x1x3+ 2x2x3=x2 1+ 2(2x2+ 2x3)x1+ 2x2 2+ 2x2x3+ 2x2 3
= (x1+2x2+2x3)2−(2x2+2x3)2+2x2
2+2x2x3+2x2 3= (x1+2x2+2x3)2−2x2 2−6x2x3−2x2 3
= (x1+ 2x2+ 2x3)2−2(x2+3
2x3)2+9 2x2
3−2x2 3= (x1+ 2x2+ 2x3)2−2(x2+3
2x3)2+5 2x2
3
= (x1+ 2x2+ 2x3)2−(√2x2+3√2
2x3)2+ (√5
√2x3)2.
Ainsi
sign(q) = (2,1) et rang(q) = 3.
3. La matrice de la forme qdans la base canonique de R3est
M=
122
221
212
.
Son polynˆome caract´eristique est
det(M−λI) = 
1−λ2 2
2 2 −λ1
2 1 2 −λ
= (1−λ)(4−4λ+λ2)+4+4−4(2−λ)−(1−λ)−4(2−λ)
=−5 + λ+ 5λ2+λ3= (λ−5)(−λ2+ 1) = (λ−5)(1 −λ)(1 + λ).
La matrice Madmet donc dans R3deux valeurs propres >0, `a savoir 1 et 5, et une valeur
propre <0, `a savoir −1. Sa signature est donc (2,1), et son rang 3.
Exercice 2.
1. Pour tout jfix´e, on a par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz
X
1≤i≤n|Aij |=X 1≤i≤n|Aij|1≤sX
1≤i≤n
A2
ijsX
1≤i≤n
12=√nsX
1≤i≤n
A2
ij .

4
Si Aest orthogonale, ses vecteurs colonnes sont unitaires pour la norme euclidienne
associ´ee au produit scalaire, donc
X
1≤i≤n
A2
ij = 1
et par suite
X
1≤i≤n|Aij| ≤ √n.
En sommant par rapport `a j, on en d´eduit
X
1≤i,j≤n|Aij| ≤ n√n.
2. Pour le vecteur ede Rnde composantes ei= 1 pour i= 1,···, n, le vecteur Ae de
Rna pour composantes (Ae)idonn´ees pour i= 1,···, n par
(Ae)i=Ai1+···+Ain =X
1≤j≤n
Aij
et comme
< Ae, e >= (Ae)1e1+···+ (Ae)nen=X
1≤i≤n
(Ae)i
on en d´eduit que
X
1≤i≤nX 1≤j≤n
Aij =< Ae, e > .
De cette ´egalit´e on d´eduit par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz
|X
1≤i, j≤n
Aij |=|< Ae, e > | ≤ kAekkek
o`u k · k est la norme euclidienne associ´ee au produit scalaire, donc
kek2=< e, e >=n
et pour une matrice Aorthogonale
kAek2=< Ae, Ae >=<tAAe, e >=< Ine, e >=< e, e >=n,
soit
kek=kAek=√n.
On en d´eduit donc que
|X
1≤i,j≤n
Aij | ≤ n.
Exercice 3.
1. D’une part la matrice nulle 0 = (0) appartient `a M+
n(R). D’autre part pour A, B ∈
M+
n(R) et λ, µ ∈R, on a
t(λA +µB) =t(λA) +t(µB) = λtA+µtB=λA +µB
donc λA +µB ∈M+
n(R).

5
Ainsi M+
n(R) est un sous-espace vectoriel de Mn(R).
On proc`ede de mˆeme pour M−
n(R).
2. Les matrices Ekl pour 1 ≤k, l ≤nd´efinies par les cœfficients (Ekl)ij = 1 si (k, l) =
(i, j) et (Ekl)ij = 0 si (k, l)6= (i, j), sont lin´eairement ind´ependantes et engendrent Mn(R)
puisque pour chaque matrice Ade Mn(R) on peut ´ecrire
A=X
1≤k, l≤n
AklEkl.
Ainsi la famille {Ekl,1≤k, l ≤n}forme une base de Mn(R) et
N= dim Mn(R) = n2
puisque le nombre de couples (k, l) pour 1 ≤k, l ≤nest ´egal `a n2.
Les matrices E+kl pour 1 ≤k≤l≤nd´efinies par les cœfficients (E+kl)ij = (E+kl)ji = 1
si (k, l) = (i, j) et (E+kl)ij = (E+kl)ji = 0 si (k, l)6= (i, j), sont lin´eairement ind´ependantes
et engendrent M+
n(R) puisque pour chaque matrice Ade M+ n(R) on peut ´ecrire
A=X
1≤k≤l≤n
AklE+kl.
Ainsi la famille {E+kl,1≤k≤l≤n}forme une base de M+
n(R) et
N+= dim M+
n(R) = n(n+ 1)
2
puisque le nombre de couples (k, l) pour 1 ≤k≤l≤nest ´egal `a n(n+ 1)
2·
Les matrices E−kl pour 1 ≤k < l ≤nd´efinies par les cœfficients (E−kl)ij =−(E−kl)ji =
1 si (k, l) = (i, j) avec i6=j, et (E−kl)ij = (E−kl)ji = 0 si (k, l)6= (i, j) ou i=j,
sont lin´eairement ind´ependantes et engendrent M−
n(R) puisque pour chaque matrice Ade
M−
n(R) on peut ´ecrire
A=X
1≤k<l≤n
AklE−kl.
Ainsi la famille {E−kl,1≤k < l ≤n}forme une base de M−
n(R) et
N−dim Mn(R) = n(n−1)
2
puisque le nombre de couples (k, l) pour 1 ≤k < l ≤nest ´egal `a n(n−1)
2·
3. D’une part M+
n(R)∩M− n(R) = {0}car si A∈M+ n(R)∩M− n(R) alors Aij =Aji et
Aij =−Aji, donc Aij = 0 pour tous i, j.
D’autre part Mn(R) = M−
n(R) + M+ n(R) car si A∈Mn(R) on peut ´ecrire A=A++A−
avec
A+
ij =Aij +Aji
2et A−
ij =Aij −Aji
2
donc avec A+∈M+
n(R) et A−∈M− n(R).