Fonction dont la variable est borne d`intégration

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Fonction dont la variable est borne d’intégration
Exercice 1 [ 01987 ] [correction]
Soit f:R→Rune fonction continue.
Justifier que les fonctions g:R→Rsuivantes sont de classe C1et exprimer leur
dérivée :
a) g(x) = Zx2
2x
f(t)dtb) g(x) = Zx
0
x f(t)dtc) g(x) = Zx
0
f(t+x)dt
Exercice 2 [ 01988 ] [correction]
Soit ϕ:R→Rla fonction définie par :
ϕ(t) = sht
tpour t6= 0 et ϕ(0) = 1
Soit f:R→Rdéfinie par :
f(x) = Z2x
x
ϕ(t)dt
a) Montrer que fest bien définie et étudier la parité de f.
b) Justifier que fest dérivable et calculer f0(x).
c) Dresser le tableau de variation de f.
Exercice 3 [ 01989 ] [correction]
Soit f: [0,1] →Rcontinue. On définit F: [0,1] →Rpar
F(x) = Z1
0
min(x, t)f(t)dt
a) Montrer que Fest de classe C2et calculer F00(x).
b) En déduire
F(x) = Zx
0Z1 u
f(t)dtdu
Exercice 4 [ 01990 ] [correction]
Soit g:R→Rune fonction continue.
On pose, pour tout x∈R,
f(x) = Zx
0
sin(x−t)g(t)dt
a) Montrer que fest dérivable et que
f0(x) = Zx
0
cos(t−x)g(t)dt
b) Montrer que fest solution de l’équation différentielle y00 +y=g(x).
c) Achever la résolution de cette équation différentielle.
Exercice 5 [ 01991 ] [correction]
Soient f:R→Rde classe C1et F:R?→Rdéfinie par
∀x6= 0, F (x) = 1
2xZx
−x
f(t) dt
a) Montrer que Fpeut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce
prolongement.
b) Montrer que Fest dérivable sur R?et exprimer F0(x)à l’aide d’une intégrale
c) Montrer que Fest dérivable en 0 et observer F0(0) = 0.
Exercice 6 [ 00276 ] [correction]
Pour x∈]0,1[, on pose
ϕ(x) = Zx2
x
dt
ln t
a) Montrer que ϕest bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité
en 0 et en 1.
b) En déduire la valeur de
Z1
0
x−1
ln xdx
Exercice 7 [ 00088 ] [correction]
Soit fcontinue de Rdans Rtelle que
∀(x, y)∈R2, f(x)−f(y) = Z2y+x
2x+y
f(t) dt
Montrer que fest de classe C1et déterminer f.
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Exercice 8 [ 00057 ] [correction]
Soit f∈ C1([0,1] ,R)avec f(0) = 0.
a) Montrer que
Z1
0
f(t)2dt61
2Z1
0
f0(t)2dt
b) Si f(1) = 0, améliorer l’inégalité obtenue en a).
Exercice 9 [ 03183 ] [correction]
a) Déterminer le domaine définition ∆ = Dfde la fonction fqui à xréel associe :
f(x) = Zx+1
x
t
√t3+ 1 dt
b) Déterminer la limite puis un équivalent simple de f(x)lorsque xtend vers +∞.
c) Avec le logiciel de calcul formel, déterminer les développements asymptotiques
en +∞jusqu’au terme o1
x7/2de la fonction
x7→ Zx+1
x
dt
√t
puis de f.
Démontrer l’existence de ce développement asymptotique de f(x)en s’aidant du
logiciel pour les calculs d’intégrales nécessaires.
d) Etudier les variations de fsur ∆.
e) Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée du maximum de
fsur ∆et de son abscisse. Visualiser le tracé du graphe de f.
Exercice 10 [ 03380 ] [correction]
Soit f: [0,1] →Rcontinue vérifiant
Z1
0
f(t) dt= 0
Montrer qu’il existe x∈]0,1[ vérifiant
Zx
0
tf(t) dt= 0
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
On introduit Fprimitive de fsur R.
a) g(x) = F(x2)−F(2x)est C1par opérations et g0(x)=2xf(x2)−2f(2x).
b) g(x) = x(F(x)−F(0)) est C1par opérations et g0(x) = Rx
0f(t)dt+xf(x).
c) g(x)=
u=t+xR2x
xf(u) du=F(2x)−F(x)est C1par opérations et
g0(x)=2f(2x)−f(x).
Exercice 2 : [énoncé]
a) ϕest continue sur Rdonc f(x)existe.
∀x∈R?,−x∈R?et f(−x) = Z−2x
−x
sht
tdt=
u=−t−Z2x
x
shu
udu=−f(x)
Ainsi fest impaire.
b) ϕest continue donc possède une primitive F. Comme f(x) = F(2x)−F(x)f
est dérivable et
f0(x) = sh2x−shx
x
pour x∈R?et f0(0) = 1.
c) Pour tout x>0, on a sh2x>shxdonc f0(x)>0. Ainsi fest croissante sur R+.
Puisque
f(x)>Z2x
x
shx
tdt=shxln 2
on a f(x)→+∞quand x→+∞.
On complète le tableau de variation par parité.
Exercice 3 : [énoncé]
a) En découpant l’intégrale en deux
F(x) = Zx
0
tf(t)dt+xZ1
x
f(t)dt
On en déduit que Fest dérivable et
F0(x) = xf(x) + Z1
x
f(t)dt−xf(x) = Z1
x
f(t)dt
Finalement Fest de classe C2et F00(x) = −f(x)
b) F0(1) = 0 donc
F0(u) = −Zu
1
f(t)dt=Z1
u
f(t)dt
Puisque F(0) = 0, on a
F(x) = Zx
0
F0(u)du=Zx
0Z1 u
f(t)dtdu
Exercice 4 : [énoncé]
a) En développant
f(x) = Zx
0
(sin xcos t−cos xsin t)g(t)dt= sin xZx
0
cos tg(t)dt−cos xZx
0
sin tg(t)dt
fest donc dérivable et
f0(x) = cos xZx
0
cos tg(t)dt+ sin xZx
0
sin tg(t)dt=Zx
0
cos(t−x)g(t)dt
b) f0est dérivable et
f00(x) = −sin xZx
0
cos tg(t)dt+cos xZx
0
sin tg(t)dt+g(x) = −Zx
0
sin(x−t)g(t)dt+g(x)
donc f00(x) + f(x) = g(x).
c) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
Solution homogène y(x) = λcos x+µsin x.
Solution particulière y(x) = f(x).
Solution générale
y(x) = λcos x+µsin x+Zx
0
sin(x−t)g(t)dt
Exercice 5 : [énoncé]
a) Soit ˜ fune primitive de f.
F(x) = ˜
f(x)−˜ f(−x)
2x=˜
f(x)−˜ f(0)
2x+˜
f(0) −˜ f(−x)
2x−−−→
x→0
˜
f0(0) = f(0)
On prolonge Fpar continuité en 0 en posant F(0) = f(0).
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b) Fest dérivable par opérations et
F0(x) = f(x) + f(−x)
2x−1 2x2Zx
−x
f(t) dt
Par intégration par parties
Zx
−x
f(t) dt= [tf(t)]x
−x−Zx
−x
tf0(t) dt
et on peut donc simplifier
F0(x) = 1
2x2Zx
−x
tf0(t) dt
c) Sachant
Zx
−x
tf0(0) dt= 0
on peut écrire
F0(x) = 1
2x2Zx
−x
t(f0(t)−f0(0)) dt
En posant
Mx= sup
t∈[−x,x]|f0(t)−f0(0)|
on a alors
|F0(x)|61
2x2Zx
−x
tMxdt=1
2Mx
Or f0est continue en 0, donc Mx−−−→
x→00puis
F0(x)−−−→
x→00
En vertu du théorème du prolongement C1, on peut affirmer que Fest dérivable
en 0 et F0(0) = 0.
Exercice 6 : [énoncé]
a) Soit x∈]0,1[,x, x2⊂]0,1[ et t7→ 1
ln test définie et continue sur ]0,1[ donc
ϕ(x) = Rx2
x
dt
ln texiste.
Pour t∈x2, x,
1
ln x61 ln t61 ln x2
donc x2−x
ln x26ϕ(x)6x2−x ln x
Quand x→0+,ϕ(x)→0.
On a aussi
ϕ(x) = Zx2
x
tdt
tln t
donc
Zx2
x
x2dt
tln t6ϕ(x)6Zx2
x
xdt
tln t
or
Zx2
x
dt
tln t= [ln(ln t)]x2
x= ln 2
Quand x→1−,ϕ(x)→ln 2.
Finalement ϕpeut être prolongée par continuité en 0 et en 1.
b) Soit Fune primitive de 1
ln tsur ]0,1[.
On a ϕ(x) = F(x2)−F(x)ce qui permet de dériver ϕet d’obtenir
ϕ0(x) = x−1
ln x
L’intégrale R1
0
x−1
ln xdxest définie car on vérifie aisément que la fonction intégrée
peut être prolongée par continuité en 0 et en 1 et on a
Z1
0
x−1
ln xdx= [ϕ(x)]1
0= ln 2
Exercice 7 : [énoncé]
Puisque continue, la fonction fadmet une primitive Fsur Ret
∀(x, y)∈R2, f(x)−f(y) = F(2y+x)−F(2x+y)
Pour y∈Rfixé, on obtient
f:x7→ f(y) + F(2y+x)−F(2x+y)
Puisque la fonction Fest de classe C1, on obtient que fest de classe C1et
f0(x) = f(2y+x)−2f(2x+y)
En dérivant cette relation en la variable y, on obtient
0=2f0(2y+x)−2f0(2x+y)
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et donc
f0(2y+x) = f0(2x+y)
Puisque pour tout (s, t)∈R2, il existe (x, y)∈R2vérifiant
(2x+y=s
x+ 2y=t
on peut affirmer que la fonction f0est constante.
On en déduit que la fonction fest affine.
Par le calcul, on vérifie que, parmi les fonctions affines, seule la fonction nulle
vérifie la relation proposée.
Exercice 8 : [énoncé]
a) Puisque f(0) = 0, on a
f(x) = Zx
0
f0(t) dt
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
|f(x)|6Zx
0
dt1/2Zx
0
f0(t)2dt1/2
et donc
f(x)26xZx
0
f0(t)2dt6xZ1
0
f0(t)2dt
puis
Z1
0
f(x)2dx6Z1
0
xZ1
0
f0(t)2dtdx=1
2Z1
0
f0(t)2dt
b) En reprenant ce qui précède
Z1/2
0
f(x)2dx6Z1/2
0
x Z1/2
0
f0(t)2dt!dx=1
8Z1/2
0
f0(t)2dt
Sachant f(1) = 0, on a aussi de façon symétrique
Z1
1/2
f(x)2dx61
8Z1
1/2
f0(t)2dt
et en sommant ces deux majorations, on obtient
Z1
0
f(x)2dx61
8Z1
0
f0(t)2dt
Exercice 9 : [énoncé]
a) L’existence de la fonction intégrée exige t > −1. Par convergence de l’intégrale
pour x=−1, on obtient ∆=[−1,+∞[.
b) On a
06f(x)6Zx+1
x
(x+ 1) dt
√x3+ 1 =x+ 1 √x3+ 1
donc
f(x)−−−−−→
x→+∞0
On a
Zx+1
x
xdt
p(x+ 1)3+ 1 6f(x)6Zx+1
x
(x+ 1) dt
√x3+ 1
donc x
p(x+ 1)3+ 1 6f(x)6x+ 1 √x3+ 1
On en déduit
f(x)∼1
x1/2
c) La commande
series(int(1/sqrt(t), t=x..x+1), x=infinity);
donne un développement asymptotique à un ordre supérieur à celui demandé.
series(t/sqrt(tˆ3+1), t=infinity);
donne t
√t3+ 1 =1 √t−1
2
1
t7/2+o1 t7/2quand t→+∞
donc
f(x) = Zx+1
x
dt
√t+1
2Zx+1
x
dt
t7/2+Zx+1
x
o1
t7/2dtquand x→+∞
Or on obtient facilement (en en revenant aux ε) que
Zx+1
x
o1
t7/2dt=oZx+1
x
dt
t7/2quand x→+∞
Comme précédemment, on a
Zx+1
x
dt
t7/2∼1 x7/2
donc
f(x) = 1
x1/2−1
4
1
x3/2+1
8
1
x5/2−37
64
1
x7/2+o1 x7/2
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