Chap I RDM - CEFA Montelimar

Calcul de Structure
CHAP. I : EQUILIBRE STATIQUE
I.
RAPPELS ...................................................................................................................................................... 2
I.A. NOTION DE FORCE .................................................................................................................................... 2
I.A.1. Forces statiques ..................................................................................................................................... 2
I.A.2. Décomposition d'une force .................................................................................................................... 2
I.A.3. Composition de deux forces................................................................................................................... 3
I.A.4. Notion de couple de force ...................................................................................................................... 3
I.B. NOTION DE MOMENTS .............................................................................................................................. 3
I.B.1. Moment statique .................................................................................................................................... 3
I.B.2. Moment nul ............................................................................................................................................ 3
I.B.3. Moment d'un couple .............................................................................................................................. 4
I.B.4. Forces obliques ..................................................................................................................................... 4
I.C.
NOTION DE TORSEURS .............................................................................................................................. 4
I.C.1. Torseur associé ..................................................................................................................................... 4
I.C.2. Exemple ................................................................................................................................................. 5
I.D. NOTION DE LIAISONS ............................................................................................................................... 6
I.D.1. Réactions d'appui .................................................................................................................................. 6
I.D.2. Modélisation des liaisons ...................................................................................................................... 6
I.E.
MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES ............................................................................................. 7
I.E.1. Actions mécaniques à distance .............................................................................................................. 7
I.E.2. Actions mécaniques de contact : Action d'un solide sur un autre solide ............................................... 7
I.E.3. Actions mécaniques dans les liaisons entre solides ............................................................................... 8
I.E.4. Principe des actions mutuelles .............................................................................................................. 9
I.F.
II.
ISOLEMENT D'UN SYSTEME DE SOLIDE...................................................................................................... 9
EQUILIBRE STATIQUE....................................................................................................................... 11
II.A. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE ............................................................................................. 11
II.A.1. Théorème de la résultante :................................................................................................................ 11
II.A.2. Théorème du moment résultant :........................................................................................................ 11
II.B. RESOLUTION D'UN PROBLEME DE STATIQUE ........................................................................................... 11
II.B.1. Exemple 1 :......................................................................................................................................... 12
II.B.2. Exemple 2 :......................................................................................................................................... 13
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Calcul de Structure
I.
RAPPELS
I.A.
NOTION DE FORCE
Une force F, représentée par un vecteur, est
caractérisée par :
Sa droite d’Action
Son sens
Son intensité
Droite
d’action
F
100 daN
L'intensité de la force est définie par la longueur du
vecteur.
Une force qui ne rencontre pas d'opposition
engendre un mouvement linéaire.
L'Unité de force est le Newton
1 N = 1 kg × 1 m × 1 s2
Traction
Chaque force symbolise un effort, qui appliqué en
un point P, peut être une compression ou une
traction.
Compression
P
I.A.1. Forces statiques
Si plusieurs forces, appliquées en un même point, se font équilibre le système est
statique (≠ mouvement).
I.A.2. Décomposition d'une force
Une force F peut être décomposée en deux forces si l'on connaît leur droite d'action
(détermination à l'aide d'un parallélogramme). On appellera alors "composantes" les
nouvelles forces obtenues (F1 & F2).
F1
F
F2
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Calcul de Structure
I.A.3. Composition de deux forces
A l'inverse, les forces F1 et F2 sont composées en une force, appelée R pour "résultante".
F1
R
F2
I.A.4. Notion de couple de force
Un couple de forces est composé de deux forces parallèles, de même intensité mais de
sens contraire.
I.B.
NOTION DE MOMENTS
Un moment (Mt) est constitué par une force qui agit
à angle droit sur un bras de levier. C'est le produit
de cette force (en N), par le bras de levier (en m).
Il s'exprime donc en mN.
F1
Distance D
Le moment peut être :
-
Positif (la force F1 tend à faire pivoter le bras
de levier autour du point de rotation dans le
sens trigo (antihoraire))
Point de rotation
-
Négatif (la force F2 tend à faire pivoter le bras
de levier autour du point de rotation dans le
sens horaire)
Distance D
F2
I.B.1. Moment statique
Si plusieurs moments appliqués au même point s'annulent, le système est statique; on a
alors :
(F1.D1) – (F2.D2) = 0 F1.D1 = F2.D2
I.B.2. Moment nul
Quand la droite d'action de la force passe par le point de rotation, le bras de levier est
égal à zéro, le moment est donc nul : F × 0 = 0
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Calcul de Structure
I.B.3. Moment d'un couple
Un couple se composant de deux forces de même intensité et de sens contraire, le
moment d'un couple est donc égal à : F.D (D étant la distance séparant les deux forces
du couple).
I.B.4. Forces obliques
Si une force agit "obliquement" sur un bras de levier, il faut déterminer le moment réel.
Il existe deux méthodes :
1) en décomposant la force F en C1 et C2, on obtient une force dont la droite
d'action passe par le point de rotation (donc moment nul) et une force
perpendiculaire au bras de levier, qui permet de calculer la valeur du moment
de F.
2) en traçant une perpendiculaire à la force F passant par le point de rotation, on
obtient une nouvelle distance D1.
I.C.
NOTION DE TORSEURS
I.C.1. Torseur associé
Un système de forces est un ensemble de forces. Le torseur associé à un système de
force comprend les éléments de réduction suivants :
- la résultante du torseur : somme vectorielle des vecteurs forces
- le moment résultant du torseur : moment résultant des vecteurs forces par rapport
à un point.
On décompose la résultante et le moment du torseur du système de forces sur les axes
X , Y et Z . On peut donc écrire le torseur sous la forme suivante :
{T
}
Systèmedeforces A
 RX M X 


=  RY M Y 
R M 
Z A
 Z
Avec :
X
en N
RY : projection de la résultante du torseur du système de forces sur l'axe Y en N
RZ : projection de la résultante du torseur du système de forces sur l'axe Z en N
MX : projection du moment du torseur au point A sur l'axe X en N.m
MY : projection du moment du torseur au point A sur l'axe Y en N.m
MZ : projection du moment du torseur au point A sur l'axe Z en N.m
RX : projection de la résultante du torseur du système de forces sur l'axe
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Calcul de Structure
Remarque :
Dans le cas de structures planes chargées dans leur plan, le torseur du système de forces
comporte 3 composantes nulles :
{T
}
SystèmedeForces A
 RX 0 


=  RY 0 
 0 M 
Z A

I.C.2. Exemple
C
F
P
h
2.V
B
h
A
F
F
l
l
Expression du torseur du système de forces par rapport au point A :
La structure est plane et est chargée dans son plan. La résultante du torseur se
X et Y . Le moment résultant
du torseur
correspond au moment des forces par rapport au point A en projection sur Z .
détermine en projetant les forces sur les axes
On obtient le résultat suivant :
{T
}
SystèmedeForces A


2 .F
0


=  2.V + F − P
0


0
− l.P + 4.l.V − 2.h.F  A

Expression du torseur du système de forces par rapport au point B :
On trouve le résultat suivant :
{T
}
SystèmedeForces B
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

2 .F
0


=  2.V + F − P
0


0
2.l.V − lF  B

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Expression du torseur du système de forces par rapport au point C :
On trouve le résultat suivant :
{T
}
SystèmedeForces C
I.D.
NOTION DE


2 .F
0


=  2.V + F − P
0


0
l.P + 2.h.F − 2.l.F  C

LIAISONS
I.D.1. Réactions d'appui
Considérons une pièce plane en équilibre et soumettons la à un système de forces non
nul, la pièce ne peut rester en équilibre et va se mettre en mouvement.
Pour qu'elle reste en équilibre il faut disposer des obstacles, des butés, qui empêcheront
tout mouvement. On parle d'appuis.
Ces appuis vont exercer sur la pièce des actions sous forme d'un ensemble de forces
supporté par la pièce, c'est-à-dire les forces appliquées directement et les réactions
d'appui forment un système équivalent à zéro.
Une réaction d'appui est donc une force avec toutes ses caractéristiques (point
d'application, sens, direction, intensité).
I.D.2. Modélisation des liaisons
Torseur Mécanique de
liaison
Types de liaison et
modélisations
Réactions
d'appui
Degrés
de
liberté
(ddl)
Appui Simple
}
0

=  YA
0

0

0
0 A
2 ddl
}
XA

=  YA
 0

0

0
0 A
1 ddl
{T
MécaniqueDeLiaison A
Articulation
{T
MécaniqueDeLiaison A
Encastrement
{T
}
MécaniqueDeLiaison A
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XA 0 


=  YA 0 
 0 M 
A A

0 ddl
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Calcul de Structure
I.E.
MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES
I.E.1. Actions mécaniques à distance
On ne considère que les effets de la gravitation.
Point d'application : centre de gravité G
Droite d'action : vertical passant par G
G
Sens
Intensité :
P = P = mg
P
Avec : m : masse de la poutre en kg
g : accélération de la pesanteur;
g = 9,81 N.kg-1
I.E.2. Actions mécaniques de contact : Action d'un solide sur un autre
solide
Action concentrée ou charge ponctuelle
L'action est concentrée en un point. On rappelle les deux types d'action concentrée :
Couple concentré schématisé par un vecteur
moment :
Force concentrée schématisée par un
vecteur force :
P
O
T
E
A
U
Fondation excentrée
P
o
u
t
r
e
P
P
Fondation
M
Action (ou charge) répartie
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L'action est répartie le long d'un segment de droite, elle s'exprime en N.m-1.
Charge Répartie : q
Mur
Fondation
Attention : dans le cas précédent, la charge est uniformément répartie, mais il est
également possible que la répartition soit variable.
I.E.3. Actions mécaniques dans les liaisons entre solides
On se place dans le cas du problème plan, et l'on fait l'hypothèse de liaisons parfaites.
Torseur mécanique de liaison :
Le solide 1 est lié au solide 2 par une liaison appui simple au point A.
{T
}
MécaniquedeLiaison A
0

=  YA
0

0

0
0 A
Le solide 1 est lié au solide 2 par une liaison articulation au point A.
{T
}
MécaniquedeLiaison A
XA

=  YA
 0

0

0
0 A
Le solide 1 est lié au solide 2 par un encastrement au point A.
{T
}
MécaniquedeLiaison A
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XA 0 


=  YA 0 
 0 M 
A A

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Calcul de Structure
I.E.4. Principe des actions mutuelles
A l'équilibre, le torseur des actions du solide 1 sur le solide 2 est égal à l'opposé du
torseur des actions du solide 2 sur le solide 1.
{TActionsDe1sur 2 }A + {TActionsDe 2 sur1 }A = 0
I.F.
ISOLEMENT D'UN SYSTEME DE SOLIDE
Il s'applique deux types d'actions sur un système de solide isolé, les actions dites
intérieures et las action dites extérieures.
Actions intérieures :
Les actions intérieures au système de solides isolé sont constituées par les actions
dans les liaisons entre les solides. Le système de solides isolé comporte une infinité de
solides (une barre est constituée d'un ensemble infini de points liés entre eux par des
liaisons encastrement).
Actions extérieures :
Les actions extérieures au système de solides isolé sont constituées par les actions
suivantes :
- les actions mécaniques à distance (effet de pesanteur)
- les actions mécaniques de contact (solide sur solide)
- les actions mécaniques des autres solides sur le système de solides isolé
F
A
2
C
D
1
3
B
On isole le système de solide 2 + 3 puis on énumère les actions intérieures et
extérieures.
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Calcul de Structure
F
XA
A
2
C
D
YA
3
XB
B
YB
Le torseur mécanique de liaison de 3 sur 2 représente une des actions intérieures au
système 2 + 3.
{T
}
MécaniquedeLiaison C
 X 32

=  Y32
 0

0

0
0 C
De manière générale, quelque soit le centre de gravité (G) appartenant à la barre 2 ou à
la barre 3, le torseur mécanique de liaison de la partie de la structure à droite du point G
sur la partie à gauche du point G représente une action intérieure au système de solide 2
+ 3. Ce torseur est appelé torseur de cohésion.
Les actions extérieures au système 2 + 3 sont caractérisées par les torseurs suivants :
{T
}
XA

=  YA
 0

0

0
0 A
}
 XB

=  YB
 0

0

0
0 B
MécaniquedeLiaison A
{T
MécaniquedeLiaison B
{T ActionF }D
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 0

= − F
 0

10
0

0
0 D
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Calcul de Structure
II.
EQUILIBRE STATIQUE
II.A. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE
Un système de solides en équilibre reste en équilibre à condition que le torseur des
actions extérieurs sur le système de solides isolé soit égal au torseur nul.
II.A.1. Théorème de la résultante :
Le système de solides isolé est en équilibre si la résultante du torseur des actions
extérieures est égale au vecteur nul.
On décompose la résultante sur les axes X et Y , on obtient ainsi deux équations
indépendantes.
La somme des actions extérieures en projection sur l'axe X est égale à zéro :
Σ Actions extérieures / X
=0
La somme des actions extérieures en projection sur l'axe Y est égale à zéro :
Σ Actions extérieures / Y
=0
II.A.2. Théorème du moment résultant :
Le système de solides isolé est en équilibre si le moment résultant du torseur est égal au
vecteur nul.
Le moment résultant est porté par l'axe Z , on obtient une équation en projetant le
moment résultant sur cet axe.
La somme des moments des actions extérieures par rapport à un point quelconque en
projection sur l'axe Z est égale à zéro :
Σ
Moments des actions extérieures /
Z=0
II.B. RESOLUTION D'UN PROBLEME DE STATIQUE
La résolution d'un problème de statique consiste à déterminer toutes les actions
extérieures au système de solides isolé, notamment les composantes des torseurs
mécaniques de liaison.
Il est possible d'écrire les trois équations (vus précédemment) du principe fondamental
de statique pour chaque solide isolé, on dispose donc de 3n équations pour un système
comportant n solides.
Les équations du principe fondamental de statique permettront de déterminer les actions
de liaison à condition que le nombre total d'inconnues ne soit pas supérieur à 3n.
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Calcul de Structure
Il existe trois cas :
Système hypostatique : si le nombre total d'inconnues de liaison i est inférieur au
nombre d'équations de la statique 3n. Le système est un mécanisme.
Système isostatique : le nombre d'inconnue de liaison i est égal au nombre d'équations
de la statique 3n. On dispose alors d'autant d'équations que d'inconnues et il est possible
de déterminer toutes les inconnues de liaison.
Système hyperstatique : le nombre d'inconnue de liaison i est supérieur au nombre
d'équations de la statique 3n. il est donc impossible de déterminer les inconnues de
liaison en utilisant uniquement les équations de la statique. Il faut alors avoir recours à
des principes énergétiques afin d'obtenir (i – 3n) équations manquantes.
Résolution d'un système :
1)
2)
3)
4)
5)
Isoler le système
Vérifier l'isostatisme
Faire l'inventaire des forces
Ecrire les équations d'équilibre
Résoudre
II.B.1. Exemple 1 :
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II.B.2. Exemple 2 :
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