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Fixons Aet Bdeux formules. Notons ⊥la formule A∧ ¬A(“la contradiction”). On
appelle tiers-exclus la formule TE : ¬¬A∨A, raisonnement par l’absurde la formule
RA : (¬A→ ⊥)→Aet loi de Pierce la formule LP : ((A→B)→A)→A
1) Montrer que la logique classique démontre ces trois formules.
2) Montrer que LP `int T E.
3) Montrer que T E `int RA.
4) Montrer que RA `int LP .
5) Montrer que prendre comme axiomes ces trois formules permet de “démontrer“ la règle
¬e: si Σ`int ¬¬ϕ, alors Σ∪ {T E, LP, RA} `int ϕ.
13. Traduction de Gödel-Kolmogorov entre logique classique et intuitionniste
On définit la traduction de Gödel-Kolmogorov ϕ¬¬ de la formule ϕpar induction sur ϕ
(attention au cas de la disjonction (∨) et de la quantification existentielle) :
a) Si ϕest atomique, ϕ¬¬ =¬¬ϕ,
b) Si ϕ=P∧Q,ϕ¬¬ =P¬¬ ∧Q¬¬ ,
c) Si ϕ=P→Q,ϕ¬¬ =P¬¬ →Q¬¬ ,
d) Si ϕ=P∨Q,ϕ¬¬ =¬¬(P¬¬ ∨Q¬¬ ),
e) Si ϕ=∀v1ψ,ϕ¬¬ =∀v1ψ¬¬ ,
f) Si ϕ=∃v1ψ,ϕ¬¬ =¬¬∃v1ψ¬¬ ,
On veut comparer la logique classique (donnée par la déduction naturelle) et la logique
intuitionniste (la règle ¬edu tiers-exclus n’est plus valable). On a donc deux notions de
conséquence syntaxique, qu’on notera `int ou `cla.
1) Convainquez-vous que les règles de construction de ϕ¬¬ pour la disjonction et la quan-
tification existentielle disent toutes les deux “on ne trouve pas de contre-exemple à
la négation”. Comprenez qu’un intuitionniste ne veut pas en déduire que la formule
elle-même est vraie.
2) Montrer ϕ¬¬ `cla ϕ.
3) Montrer ¬¬ϕ¬¬ `int ϕ¬¬ . Vous convaincre de l’interprétation suivante : Pour les for-
mules du type ϕ¬¬ la logique intuitionniste permet le tiers-exclus.
4) Montrer que ϕ¬¬ `int ψ¬¬ implique ϕ`cla ψ(la logique classique contient la logique
intuitionniste et permet en plus d’éliminer les doubles négations).
5) Montrer que ϕ`cla ψimplique ϕ¬¬ `int ψ¬¬.
6) Et voilà : la logique intuitionniste contient (via la traduction de Gödel-Kolmogorov)
la logique classique !