Déduction naturelle, Théorème de correction 1. Arbres de - IMJ-PRG

4M232 2013/2014 — Travaux dirigés
Déduction naturelle, Théorème de correction
1. Arbres de déduction
1. Déductions sans disjonction
Écrire, dans le formalisme de la déduction naturelle des preuves des conséquences syntaxiques suivantes (P , Q et R sont des formules) :
1) {¬P → ¬Q, Q} ` P ,
2) {¬¬Q → P, ¬P } ` ¬Q,
3) P → (Q → R) ` (P → Q) → (P → R),
4) (P → Q) ∧ (P → R) ` P → (Q ∧ R).
2. Introduction et élimination de la disjonction
Ecrire, dans le formalisme de la déduction naturelle des preuves des conséquences syntaxiques suivantes (P , Q et R sont des formules) :
1) P ∨ Q ` Q ∨ P ,
2) P ∧ (Q ∨ R) ` (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R),
3) (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) ` P ∧ (Q ∨ R),
4) P ∧ Q ` ¬(¬P ∨ ¬Q).
3.
Démontrer ` (p → q) → (p ∨ ¬q) et ` (p ∨ ¬q) → (p → q).
4. Substitution
Pour chacune des formules, variables et termes suivants (dans le langage des anneaux),
indiquer si le terme est substituable à la variable, et écrire la formule ϕ(v1 := t) :
1) ∀v1 v2 = v1 , variable v1 , terme v2 .
2) ∀v1 v2 = v1 , variable v1 , terme 0.
3) (∀v1 1 + v1 = 2) → v1 = 1, variable v1 , terme v3 + 1.
4) (∀v1 1 + v1 = 2) → (∀v3 v1 = 1), variable v1 , terme v3 + 1.
5. Est-ce commutatif ?
On considère un terme t = p(v1 , v2 ) et f un symbole de fonction, 0 une constante.
1) Ecrire t1 = t[v1 := f (v2 )] et t2 = t[v2 := 0].
2) Ecrire t1 [v2 := 0] et t2 [v1 := f (v2 )].
3) Qu’en déduisez-vous ?
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6. Une formule plus compliquée
Considérons la formule ϕ (dans le langage des anneaux) :
∀v1 ((∃v2 ¬(v1 · v2 = 0)) → ((∃v1 v1 · v2 = 1) ∧ (∃v2 v2 · v1 = 1)))
.
1) Déterminer les variables libres et liées de ϕ. Pour ces dernières, spécifier le quantificateur auquel elles sont liées.
2) 0 est-il substituable à v2 ? Si oui, que vaut ϕ[v2 := 0].
3) Comment rendre ϕ plus lisible ?
2. Théorème de correction et des déductions
7. Théorème de correction
Montrer le théorème de correction.
8. L’égalité
Montrer que la réflexivité, la symétrie et la transitivité sont des théorèmes de la théorie
vide.
9. L’addition est commutative
Démontrer la commutativité de l’addition à partir des axiomes de l’arithmétique de Peano
du premier ordre. Puis celle de la multiplication, et la distributivité de l’une sur l’autre.
10. Quelques énoncés
Ecrire en déduction naturelle la démonstration des implications suivantes :
1) ` (∀v1 (ϕ ∧ ψ)) → ((∀v1 ϕ) ∧ (∀v1 ψ)).
2) ` (∃v1 (ϕ ∨ ψ)) → ((∃v1 ϕ) ∧ (∃v1 ψ)).
3) ` (∃v1 ∀v2 ϕ) → (∀v2 ∃v1 ϕ).
Peut-on montrer les implications réciproques ?
11. Le dictateur
Considérons un langage avec un symbole de relation unaire R et la formule ϕ :
` ∃v1 (R(v1 ) → ∀v2 R(v2 ))
Montrer que toute structure satisfait ϕ.
Ecrire la déduction ` ϕ.
3. Pour aller plus loin
12. Raisonnement par l’absurde et loi de Pierce
On veut voir ici l’équivalence entre trois formulations du tiers-exclu (règle ¬e ). Pour cela
on a besoin de parler des preuves qui n’utilisent pas cette règle.
On note donc Σ `int ϕ le fait qu’on puisse écrire en déduction naturelle une preuve de ϕ
à partir de Σ sans utiliser ¬e .
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Fixons A et B deux formules. Notons ⊥ la formule A ∧ ¬A (“la contradiction”). On
appelle tiers-exclus la formule TE : ¬¬A ∨ A, raisonnement par l’absurde la formule
RA : (¬A → ⊥) → A et loi de Pierce la formule LP : ((A → B) → A) → A
1) Montrer que la logique classique démontre ces trois formules.
2) Montrer que LP `int T E.
3) Montrer que T E `int RA.
4) Montrer que RA `int LP .
5) Montrer que prendre comme axiomes ces trois formules permet de “démontrer“ la règle
¬e : si Σ `int ¬¬ϕ, alors Σ ∪ {T E, LP, RA} `int ϕ.
13. Traduction de Gödel-Kolmogorov entre logique classique et intuitionniste
On définit la traduction de Gödel-Kolmogorov ϕ¬¬ de la formule ϕ par induction sur ϕ
(attention au cas de la disjonction (∨) et de la quantification existentielle) :
a) Si ϕ est atomique, ϕ¬¬ = ¬¬ϕ,
b) Si ϕ = P ∧ Q, ϕ¬¬ = P ¬¬ ∧ Q¬¬ ,
c) Si ϕ = P → Q, ϕ¬¬ = P ¬¬ → Q¬¬ ,
d) Si ϕ = P ∨ Q, ϕ¬¬ = ¬¬(P ¬¬ ∨ Q¬¬ ),
e) Si ϕ = ∀v1 ψ, ϕ¬¬ = ∀v1 ψ ¬¬ ,
f) Si ϕ = ∃v1 ψ, ϕ¬¬ = ¬¬∃v1 ψ ¬¬ ,
On veut comparer la logique classique (donnée par la déduction naturelle) et la logique
intuitionniste (la règle ¬e du tiers-exclus n’est plus valable). On a donc deux notions de
conséquence syntaxique, qu’on notera `int ou `cla .
1) Convainquez-vous que les règles de construction de ϕ¬¬ pour la disjonction et la quantification existentielle disent toutes les deux “on ne trouve pas de contre-exemple à
la négation”. Comprenez qu’un intuitionniste ne veut pas en déduire que la formule
elle-même est vraie.
2) Montrer ϕ¬¬ `cla ϕ.
3) Montrer ¬¬ϕ¬¬ `int ϕ¬¬ . Vous convaincre de l’interprétation suivante : Pour les formules du type ϕ¬¬ la logique intuitionniste permet le tiers-exclus.
4) Montrer que ϕ¬¬ `int ψ ¬¬ implique ϕ `cla ψ (la logique classique contient la logique
intuitionniste et permet en plus d’éliminer les doubles négations).
5) Montrer que ϕ `cla ψ implique ϕ¬¬ `int ψ ¬¬ .
6) Et voilà : la logique intuitionniste contient (via la traduction de Gödel-Kolmogorov)
la logique classique !