Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité

TES Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité 2012-2013
Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité
I Lois à densité
I.1 Approche
TD1 : Découvrir une variable aléatoire continue
Partie A : Variable aléatoire discrète
On lance deux dés parfaitement équilibrés à 8 faces, numérotés de 0 à 7.
Soit Xla variable aléatoire égale à la moyenne arithmétique des deux nombres obtenus.
Après avoir complété le tableau ci-dessous avec les moyennes, calculer la probabilité P(2⩽X⩽5).
X01234567
0 0 0,5
1
2
3
4
5
6
7
Partie B : Variable aléatoire continue sur un intervalle
Soit Zla variable aléatoire égale à la moyenne arithmétique des deux nombres réels xet ychoisis au
hasard dans l’intervalle [0; 7]
1. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire Z.
Comparer cet ensemble à celui des valeurs prises par la variable aléatoire X.
2. On a représenté, en gris ci-dessous, l’univers de l’expérience aléatoire.
-1-

TES Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité 2012-2013
(a) Justifier que l’événement {Z=2}est représenté par le segment de droite définie par :
0⩽x⩽7;0⩽y⩽7et la relation y=4−x, puis tracer ce segment en bleu.
Indiquer de même la représentation de l’événement {Z=5}, puis le tracer en rouge.
(b) Expliquer comment représenter les événements {Z⩾2}et {2⩽Z⩽5}.
3. (a) En déduire que la probabilité P(2⩽Z⩽5)peut s’écrire comme le quotient de deux aires
et calculer cette probabilité.
(b) En utilisant un quotient d’aires, donner la valeur de P(Z=2).
Remarque
Jusqu’ici, les variables aléatoires étudiées prenaient un nombre fini de valeurs. Or les issues d’un grand
nombre d’expériences aléatoires prennent pour valeur un nombre quelconque d’un intervalle Ide R.
Exemple
Le temps d’attente téléphonique à un service, le poids à la naissance, le taux de glycémie, etc.
I.2 Densité sur un intervalle [a;b]
TD2 : Densité de population
Dans une région, on a constaté que tout habitant résidait à moins de six kilomètres d’un éco-point.
1. Un relevé statistique a permis d’établir l’histogramme des fréquences ci-dessous.
Par exemple, 48% des habitants résident à moins d’un kilomètre de l’éco-point.
(a) Quel est le pourcentage d’habitants résidant à moins de trois kilomètres de l’éco-point ?
(b) Que vaut la somme des aires des rectangles de l’histogramme ?
2. On choisit un habitant au hasard. On note Xla distance séparant la résidence de cet habitant
de l’éco-point le plus proche.
Xest une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’intervalle [0; 6[.
(a) Compléter : P(0⩽X<1)=...... ;P(1⩽X<2)=...... ;P(1⩽X<4)=......
(b) Pour tout entier ncompris entre 0 et 6, que représente sur le graphique la somme des aires
des rectangles situés à gauche de nsur l’axe des abscisses ?
3. Une étude plus précise a permis de relever les distances à 0,1 km près et de construire l’histo-
gramme ci-dessous, où chacun des 60 rectangles a pour base 0,1 et pour aire la fréquence de la
classe correspondante.
-2-

TES Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité 2012-2013
Le 1er rectangle a pour hauteur 0,77 car 7,7% des habitants (soit une fréquence de 0,077)
résident à moins de 0,1kilomètre de l’éco-point.
(a) Que vaut la somme des aires de ces 60 rectangles ?
(b) Pour tout nombre td’au plus une décimale de l’intervalle [0; 6[, que représente sur ce
graphique la somme des aires des rectangles situés à gauche de tsur l’axe des abscisses ?
4. Si on fait une enquête de plus en plus précise, on voit apparaître une courbe comme celle tracée
sur la figure précédente.
Cette courbe représente une fonction fdéfinie sur [0; 6[, appelée densité de probabilité de la
loi de X.
(a) Soit tun nombre réel appartenant à [0; 6[. En opérant comme pour les questions 2.(b) et
3.(b), dire ce que représente P(0⩽X⩽t)sur ce graphique.
(b) On a relevé que 0,2% des habitants résidaient entre 1,21 et 1,23 kilomètres de l’éco-point.
Calculer P(1,21 ⩽X⩽1,23).
(c) Conjecturer la valeur de P(X=1,22)et, plus généralement, celle de P(X=t), où t∈[0; 6[.
Définition 1
On appelle fonction de densité sur un intervalle [a;b], avec a<b, toute fonction fdéfinie,
continue et positive sur [a;b]et telle que l’intégrale de cette fonction sur [a;b]est égale à 1 :
∫b
af(x)dx=1
Exemple
Soit fla fonction continue et positive sur [0; 2]définie par f(x)=x
2. Une primitive de fest F(x)=x2 4, alors
∫2
0
x
2dx=F(2)−F(0)=4 4−0=1. Cette fonction est une fonction de densité sur l’intervalle [0; 2].
-3-

TES Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité 2012-2013
Définition 2
Soit Xla variable aléatoire à valeurs dans [a;b], munie d’une fonction de densité f.
On définit la loi de probabilité sur [a;b]de densité fen associant à tout intervalle
[c;d]inclus dans [a;b]la probabilité que Xappartiennent à l’intervalle [c;d], calculée par
P(X∈[c;d])=P(c⩽X⩽d)=∫d
cf(x)dx.
Propriété
Pour tout nombre réel cde [a;b],P(X=c)=0et P(X∈[c;b])=1−P(X∈[a;c]).
I.3 Loi uniforme sur un intervalle [a;b]
TD3 : Tirages de nombres au hasard dans [0; 1]
1. L’intervalle [0; 1[contient 10 nombres d’au plus une décimale : 0 ; 0,1 ; 0,2 ; . . . ; 0,8 ; 0,9.
(a) Combien contient-il de nombres d’au plus 2 décimales ? d’au plus 10 décimales ?
(b) À l’aide de la commande Rand ou NbrAléat de la calculatrice, on peut obtenir un nombre
décimal d’au plus 10 décimales. Quelle est la probabilité que ce nombre soit 0,2154473089 ?
2. L’intervalle [0; 1]contient une infinité de nombres réels. La variable aléatoire Xcorrespondant
au tirage au hasard d’un nombre réel de [0; 1]est une variable aléatoire continue.
Que vaut PX=1
3? Conjecturer les valeurs de P0⩽X⩽1 3et de P0⩽X⩽2 5.
3. Soit aun réel appartenant à l’intervalle [0; 1]. On convient de poser P(0⩽X⩽a)=a.
Soit fla densité de probabilité de la loi de X. On admet que fest continue sur [0; 1]et on note
Fla primitive de fsur [0; 1]qui s’annule en 0.
(a) Montrer que, pour tout réel xde [0; 1], on a F(x)=x.
En déduire que fest définie sur [0; 1]par f(x)=1.
(b) L’espérance mathématique de Xs’interprète comme la valeur moyenne des valeurs prises
par Xlorsque l’expérience aléatoire et répétée un très grand nombre de fois.
Que donne l’algorithme ci-dessous écrit avec le logiciel Algobox ?
-4-

TES Chapitre 7 - Lois de probabilité à densité 2012-2013
(c) Entrer cet algorithme dans la calculatrice et comparer les valeurs obtenues après exécution
de cet algorithme à la valeur de l’intégrale : ∫1
0
xf(x)dx.
Définition 3
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi uniforme sur [a;b], lorsque sa densité est constante
sur [a;b].
Par conséquent, la fonction de densité fde la loi uniforme sur l’intervalle [a;b]est définie par
f(x)=1
b−a.
En effet, pour tout réel xde [a;b], la fonction de densité fest constante, ce qui signifie que f(x)=k
et ∫b
af(x)dx=1.
Ainsi, on a 1=∫b
akdx=kb −ka =k(b−a). D’où k=1
b−a.
Propriété
– Pour tout intervalle [c;d]de [a;b], on en déduit : P(X∈[c;d])=∫b
a
1
b−adx=d−c b−a.
– L’espérance de la loi uniforme sur [a;b]est définie par :
E(X)=∫b
axf(x)dx=1
b−a∫b
axdx=1
b−ab2 2−a2 2=1 b−a(b−a)(b+a) 2=b+a 2
-5-