La théorie de Marston Morse, II: topologie algébrique

Séminaire Henri Cartan
M ICHEL Z ISMAN
La théorie de Marston Morse, II : topologie algébrique
Séminaire Henri Cartan, tome 12, no 2 (1959-1960), exp. no 15, p. 1-16
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1959-1960__12_2_A5_0>
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15-01
Séminaire Il. CARTAN - J. C. MOORE
i2e année, 1959/60, u° 15
7
THÉORIE DE MARSTON MORSE,
TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE
LA
mars
1960
II :
par Michel ZISMAN
A. Notations, énoncé des théorèmes
~
.
1. Préliminaires.
l’exposé précédent, 1~~ désigne une variété paracompacte munie d’une
structure riemannienne C°° colleté. n désigne une sous-variété différentiable
C~ de M , P désigne un )oint donné de ri , P ~ N . Les renvois à l’exposé préComme dans
cédent seront notés I, suivi du numéro du paragraphe auquel
(1.1)
N , P) .
C’est
tous les chemins
l’espace de
proportionnellement
u ~ v
les valeurs
0
et
1
On démontrera en
[0 , 1] ,
à la
N , P)~
du
et où
désigne
L
la
par la
appel.
paramétrés
u(0) = P ,
avec
métrique
longueur
de l’arc
compris
entre
paramètre.
N , P)
appendice que 03A9(M ,
a
même type
joignant P à N , muni
compact. Par définition méme
des chemins continus
de
convergenoe uniforme sur tout
Q , L est une fonction continue
de
l’espace
que
f ait
différentiables par morceaux,
u
longueur de l’arc pour
u(1) e N . On munit Q de la topologie induite
où
on
d’ homotopie (faible)
la topologie de la
la topologie de
Q .
sur
(1.2) L’espace S(~~~~ , N , P).
C’est l’espace de toutes les géodésiques de 03A9 (M , N , P) normales à N. On a
sont isolés dans
vu que si P est régulier (cf. I, f I0.3 ) ) , les éléments de S
Q ~ et qu’il n’y
a
qu’un
nombre fini d’éléments de
S
de
longueur ~ ~
.
(cf. I, (10.2)).
Dans tout cet
N
donné,
étant
(1.3)
on
suppose
l’ensemble des
P
ue
P
points
régulier. Rappelons (I, (10.3))
réguliers est dense dans M .
est
Une notation.
Soient
sur
exposé,
E
un
espace
E . On note :
topologique,
f
une
fonction à valeurs réelles définie
que
(1.4)
étant ici
points de cet
peut ordonner
pour
tout l ~ R , l
P)
S (M , N ,
est
un
> 0
(l a
fonction
continue
sur 03A9 ,
l’ensemble des
de
à obtenir
l’ensemble
f
ensemble dénombrable. Les
ensemble étant isolés
suite strictement
Q .
P) (l)
03A9(l) = 03A9(M , N ,
L ). D’après (1.2),
Posons
dans 0 , et L étant
longueurs des éléments de S
façon
on
une
.... On notera :
croissante ~, 1 ~ .. ~ ~ n
03A9(li) ,
û7 l’ensemble 03A9-(li) ,
l’ ensemble des éléments de
appelés
les valeurs stationnaires de
(1.5)
Soit
a
existe alors
un
(a)
valeur
une
i
non
tel que
11 espace (2 (M
par Q’
03A9’
S (M
L
de
(en
longueur li .
Les
seront
sur
stationnaire
a
, N , P)
, N 9 Pj
prise
L
par
particulier l1
muni de la,
a ).
topologie induite
En
N , P) . 11
effet, désignons
par la
métrique
(a) .
donc un g
N , P) tel que L(g) soit minimum, et on a L(g) ~
la condition nécessaire de minimum (cf. 1, 6), g e
N , P) ; mais
non stationnaire , on a forcément
L(g) a
est
compact
et
Lest semi-continue inférieurement
sur
03A9’
Il existe
a Q
a
D’ après
étant
C. Q. F. D ~
2. Les théorèmes
N , P) (les démonstrations
seront données
au
paragra-
phe G).
(2.1)
(2.2)
THÉORÈME. - Si
induisent des
Soient
A
i~
est
régulier,
on a :
P
e st
régulier,
les inclus ions
en
homologie
et
isomorphismes
et
B
deux séries formelles
en
en
cohomologie.
t
à coefficients réels. On écrit
s’il existe
Il revient
B
et
une
au
série formelle
môme de dire
inégalités
les
Soient alors
à
C
coefficients +
(1 +t)
0
telle quei
A = B
+
qu’il
existe entre les coefficients
C
.
et
de
b.
A
suivantes :
N , P)
g ~
l’indice de
et
g . On
considère l’expres-
s ion :
Si cette
.
expression
est
série formelle
une
fini de
géodésiques de
de (M, N , P) ~
Morse
(2.4)
THÉORÈME. - Si
série de Morse
et
on
P
est
en
régulier,
et si le
la série de Poincaré de
corps de
COROLLAIRE. - Dans
pairs,
En
admet
une
les
et de
du corps des
universels ,
,
03A9(M , N , P)
pour
conditions, si ~(t) no contient que
et S~ (1v , I~~ ~ P) est sans torsion.
ces
effet, l’égalité m(t) = 03A9(t)
cients
(l~ ! N , P)
triple
l’homologie
à coeffi-
caractéristique quelconque.
on a
degrés
téristique
on
n’y a qu’un nombre
l’appelle la série de
alors
où Q(t) désigne
un
s’il
e.
N , P) ayant m6me indice ) ,
la désigne par
(t)
cients dans
(i.
t
(2.4).
résulte immédiatement de
des termes de
l’hypothèse
degrés
faite
sur
égalité ayant lieu quelle que soit la caraccoefficients, on en déduit, d’après la formule des coeffiN , P) est sans torsion.
Cette
B. Quelques lemmes
Dans
(3.1)
(constant)
le groupe
qui suit,
l’homologie ne joue
ce
aucun
Soient
E
rôle ;
un
DÉMONSTRATION. A
Posons
est contenue dans
A
=
aussi le
espace
disj oints, X étant fermé. Pour
le H( (U n F) u X , U n
tout
F ~ X ,
F , puis que
de coefficients
U
supprime-t-on
avec
lequel
on
calcule
des notations.
topologique, F et X deux sous-espaces
voisinage U de X, l’application naturelest un isomorphisme.
W
est
=
F -
(U
ouvert ;
n
F
F) .
L’adhérence de
est ouvert dans
W
dans
A ~ puisque
’
est fermé.
X
le théorème
D’après
H(A - ~ ~ F -W) ~ H(A , F)
d’excision,
est m
isomorphisme
,
C.Q. F.D.
(3.2)
espaces
disjoints,
un
La
isomorphis.me 9
U
et
par Xl ’
M@me résultat
composée
étant fermés. Soit
E -
par
échangeant
en
induisent
X-~ ).
sous-
Alors les inclu-
u3L .
isomorphisme
un
applications naturelles
des deux
(3.1) (où
vertu du lemme
cn
trois
topologique, F ~ X. et )L
espace
(F u X , F)
DÉMONSTRATION. -
X
un
X. et X2
sions
est
E
LEMME. - Soient
Donc
est
a
les rôles de
F
serait
romplacé
par
F
X2 ,
u
injection sur un facteur direct,
X2 . Finalement, la suite exacte
une
Xl et
d’homologie
achève la démonstration.
(3.3) LEMME. soit
E ,
F
en
S oit
un
E
un
sous-espace de
nombre
fini,
dont
espace
E ,
aucun
dans
topologique
et soient
(i
x.
à
n’appartient
E
lequel
I)
oints sont fermés;
points distincts de
les
des
Alors les inclusions
J- ~:
DÉMONSTRATION
à
partir
(3.2),
du lemme
par récurrence
sur
le nombre dos élé-
ments de I.
4.Topologie
fonctionnelle de
(4~1)
ces
J
une
J"f0) l’ensemble
i. Notons
données
on
x. j,
désigne
... ,
par
forme
quadratique
des
conditions :
DÉMONSTRATION. -
et
E=R ~ et
Soient
E , d’indice
R~ .
tels que
bon
dégénérée
J(x)
sur
0 . Dans
~.
On considère dans
xn
R~
un
système
d’axes
rectangulaires
do
coor-
tel que
ot
les doux sous-espaces
orthogonaux engendres
par
pour
x
xn) ~ Rn ,
(x1 , ... , _
=
(Jj0)
par déformation de
(4 .2 )
Soient
u
hessien
non
et
J
une
stationnaire
l’origine (1-
nul à
e
Det
e.
désignant l’indice
DEMONSTRATION. -
D’
suffit de calculer
0
assez
petite
(4.3) LEMME. un
de forme
après
i~ ~ ~~~
Alors le lemme
Appliquons
a..(x)
Les
ce
==
signe
de
a..(0)
y1 ,
une
0 ) , ayant
=
Dans
ces
sur
un
conditions:
Au
xj ,
J
voisinage
on se
en
au
0)
non
0 ~
de
0
telles que :
conti-
vient
toutes nulles à
ramené
au cas
où
l’origine.
a..(0)
~-’-
do
voisinage
numérique g(t) , deux fois
g(0~ ~ g’ (0) == 0 ? on a
~ , . ~
différentiables,
les
il existe
(nulles
yn
... ,
fonction
g(t) =
sont
r
e .
sur
par le
(4.2),
du lemme
0 .$ t ~ 1 , satisfait à
transformation linéaire
e.
locales
résultat à
= akj.(x)
réelles définie
appliqué au cas où F J~~O ~
= ~ 0 } , il
u~ o~ 9 U. n J~~? ~ pour un vois inage ouvert U de
~4 .2 ~ résulte de ~4 . ~ ~ s en vertu du lemme suivant :
On sait que si
nûment dérivable pour
valeurs
~2 J i,j|0 ~ 0 ) .
quadratique définie
Sous les hypothèses
DÉMONSTRATION. -
fonction à
0 (1.
on
d’ où le résultat.
=
n
système de coordonnées
rétraction
ôx ôx~
~
i
une
..
=Rn ,
E
do classe
lll ,
[0 , 1] . Alors f définit
( 0) , J-(0)) sur (R1 , R1 - ( 0) ) ,
t
-
les fonctions
~0.
Par
Soit
une
forment
En
opérant
ot
comme
de coordonnées
système
un
par
récurrenco,
l’indice Qst
i . Le lemme
(4.3)
obtient
on
de coordonnées locales tel que
système
à - 1
E . J égaux
que le nombre des
est
est démontré.
~~.1~ DÉFINITION. -
Démonstration des théorèmes
L-déformation do
A ~
B ,
de
t
N , P) ; rappelons
A
S~ ~~ > N , P) . Une homotopio
Soient
longueur d’une courbeu
ht~. ~ ~ ~
sens large)
un
i , il s’ensuit
C.
une
et
locales,
e
A
et si de
plus
pour tout
a ~
(5.2) DÉMONSTRATION
h~o , ~ ~
si
B
dans
L(h(t , a))
A ~ A
est
une
que
désigne
L
-~ A
sera
là
appelée
l’ identité,
est
fonction décroissante
(au
A .
(2.1). -
du théorème
l’ensemble des
~’
Soit
géodésiques
sées qui interviennent dans le calcul do l’indice de la géodésique g
N,
I, ~’~.5~~ P est défini par la donnée de p + 1 points parcourant, les p
des boules fermées à
premiers
q
=
est
dim N
dimensions. Le
homéomorphe
à valeurs
à
une
P
au
on a
( 4 .2 ) ,
on a
ces
C ~° ,
stationnaire
ce
une
compact,
boule fermée à
on en
~ ~
L
déduit
est
une
que @
fonction
g (cf. 1, 7)
non
nul.
D’après ~I, ~’~.~~ ~
et
donc
(qui
sera
démontré
On
peut choisir
g ) de façon qu’il
existe
un
voisinage
pendant
en
hessien est
~ 03C9i .
U
boules étant
Sur
g
L-déformation de
le dernier
P)
dont la forme quahessien n’est autre que la forme quadratique Q de (I, 7).
le lemme suivant
IEMME. - Soit
de
dimensions,
boule fermée d’un
étant régulier par hypothèse,
le lemme
Or
produit
réelles de classe
dratique associée
1
n -
bri~
dans
la déformation.
6V n U
tels
au
P
ouvert
paragraphe D) :
(permettant de calculer l’indice de
U do g da,ns, ~ (M , N , P ) et ur~
que les points
de
03C1 ~ U restent fixes
n03A9j) ~
~ {g} , U ~03A9j ~ p) . liais, d’ aprè s
le premier membre est isomorphe à H ( 03A9-j ~ {g} , 03A9-j) ,et le sele
n
1
i
cond est isomorpho à H (P-(li) ~ {g} , P-(li)) , d’ où la conclusion du théorème
(2.1).
U
(U ~03A9i~{g} ,
lemme (3.1) 9
Donc
.
H
(5.3) DÉMONSTRATION
démontré
au
li
du théorème
(2.2). -
On utilise le lemme suivant
(qui
sera
paragraphe D)..
Soit
Soit
(U
Hn
la
a
valeur
une
Soit alors
mation de
Il existe
03A9( a)
une L-déformation de
la déformation donnée par le
D
dans
prise
L
par
u
W. Z
,-
puisque
lemme ;
D
et que
c
03A9
dans
(M , N , P) .
(li existe
sur 03A9
des valeurs stationnaires inférieures à
plus grande
à ’ après (1.5)).
stationnaire
non
-i
a
u
est aussi
n’
D
une
augmonte
pas les
longueurs.
L’existence de
D
montre donc que :
La suite exacte associée
montre que l’ inclusion
au
(S~ 1.~
.
triple
u
w 1. ~ ~ l~)
(~ 1. , S~ 1~ )
a
induit
un
isomorphisme
en
homologie.
Pour démontrer que l’inclusion
en
homologie,
on
(~ 1. y
~.
) -~
1~~.
(~ 1. ~ ~ .~)
1
induit
un
isomorphisme
considère le triple
dont la suite exacte associée est :
et par
conséquent :
Puisque O? . eat la réunion des Q(a)
homologie commute aux limit e s inductives,
tout i ; en particulier~ H(p7 ~ Q
.)
=
pour
on en
a
li+1 ,
déduit que
et que le foncteur
H(03A9-i+1 , 03A9i)
0 . La suite exacte associée
=0
au
pour
triple
donne alors le résultat.
(5.4)
où
g
COROLLAIRE
au
théorème
parcourt l’ ensemble
DÉMONSTRATION. REMARQUE. -
(5.4)
On
et
(5.5) DÉMONSTRATION
démonstration
ne
(2.2). -
03C9j , induisent
applique
(2.1)
le théorème
présente
une
(2 .2 )
déterminent donc
(2.4). -
du théorème
(03A9-j1 ~ {g} , 03A9-j)~
(03A9j
, 03A9-j)
1
l
1
décomposition en somme directe
Les inclusions
(3.3 ) .
ot le lemme
complètement
On utilise les lemmes
suivants,
dont la
difficulté :
aucune
00
a.
LEMME. - Soit
A == 1
A
un
étant de dimension finie. On pose
b. LEMME. - Soit
Fp(A)
tels ue
A
un
espace vectoriel différentiel
(dim A n) tn
A(t) = Z
espace vectoriel différentiel
FP(A) c Fp+1 A
E1
ct que le terme
gradué,
les
A
et
-~
gradué, filtré par
de la suite
~
des
spectrale
isso’
ciée à cette filtration soit de typo fini ; alors
(i)
est de
type fini 9
iP désigne
l’ inclusion
filtration croissante de
H(A)
FP
A .~
la
Im
i~ définissent
une
(dans
le
cas
où il y
a un
nombre infini
stationnaires)
Si l’onsemble des valeurs stationnaires
prend
grou es
telle que
On considère alors la suite d’inclusions
de valeurs
A , les
~.
est
fini ~ i ~ 0 , 1 ~ ... ~ s ~ ~ on
.
où les
i ;
a .
C t~ . )
les
de la suite
définissent
spectrale
D’après ( ~.4) , (~ ~ 1 )
E1
est de
qui tendent
notation, écrivons
par abus de
Alors,
E1
sont des nombres réels
03A9s+i
au
vers
l’infini
lieu de Q
croissant
avec
(as+i) .
C ~~ ) ~
filtration croissante de
une
en
et le terme
associée à cette filtration est
et
(~ p2 ) ,
type fini et
que m
l’existence d’une série de Morse
(t) =
Nais
= E~-(t)~
alors d’ après
implique
les lemmes
a
et
que
b,
E~(t)
C~ Q. Fo Do
REMARQUE. - L’introduction d’une suite spectrale dans l’étude des inégalités de
Morse est due à Ro DEHEUVELS
[lJ.
o
D. Démonstration des lemmes
(6.1)
(5.2)
et
(5.3).
rappelle ( cf . 1, 7) qu’étant donné un compact A c M , il existe un nombre d > 0 tel que si a et b appartiennent à A avec d(a, b)
d , il existe un arc de géodésique et un seul joignant a à b ; alors la longueur de cet are
est égale à d(a , b)
Soit y un arc de courbe tracé dans A ~ de longueur inférieure à d et T un point de l’arc
y . On pout
par une unique géodésique a ~
joindre a
dont la longueur est inférieure ou égale à celle de
l’arc â ~ de
y . Lorsque T varie de a à b, on
On
a
obtient
une
L-déformation de
sur
y
la
géodésique
ab .
( 6.2) DÉMCNSTRATION
formé par las courbes
un
(5.2). - S oit U 1 le
telles que L(u)
2L(g) .
du lemme
point
u
cette boule est
compacte. Soit
d
dans
g
03A9(M , N, P)
~0 ~ 2~ ~ u(t) est
de rayon 2L(g) . M étant complète,
positif associé à ce compact (c£ (5.1)).
P et
de la boule ferma do contre
vois inage de
le nombre
Pour
t
E
On considère alors:
~
-~
des
points
P ,
dos boules fermées
petit
assez
a.
si
b. si
à définir
coupe
Ti 1 ~
Si
1~I1 ,
’~.
i
~~i
p
... ,
(i
~~
1 ~
~
~~i
... ,
p lE
~
+
p
N
1)
sur
g
tels que
de centre
M.1 ~
d~I 1. ! M.~.+1) d ;
.
de rayon
E
pour que :
T . 1 E 03B3i , alors 0 d(Ti , Ti+ 1
Si désigne l’hypersurface passant
P 9
on un
I, ?) i
point Q1
cf.
e
alors la
et
un
d
par
pour
i = 0 , ... , p ;
+ - N ) (qui
géodésiques Ti-1 T. a. Ti+1
M. ( i p 9
l.igne polygonale de
seul qui dépend continûment
S
des
points
sert
On définit alors
n
1
1
un
et
03B3i
,
1
on
élément do
à 1’aide des
considère la
M.
,
z
S.
des
s. :
~
Pm1 m2¿
u =
R , définies
1
par
...
s.
l
des
prend
on
i
géodésique brisée
. Les fonctions
03B3i :
et des
~
m
p+1.
9
c’est
(u) = longueur
géodésique . 1. sont continues et strictement positives ct
étant un compact
03A3s(u)
= L(u) . 03A9(M , N , P) étant un espace normal,
1
de l’arc de
03A9(M , N , P) ,
tout
entier,
Soit
tl E
0
on
peut prolonger 1es
les
étant
si
(M , N , p) .
encore
On pose
on
si
t.
positives.
= s1(u1
) + . . + si(u0Us1(u) + . . sp+1(u)
+
1
N s P)
des fonctions continues sur 03A9 (M ,
strictEnlcnt
de
.,.
...
+
u
r+1
pour
i=l,..., p + 1 ,
.
0 . on
0
L©s nombres
ti
te donc
a,
un
a
o
t.
1
et les
voisinago
U
d(~.
x ~1~I.~E
i
1
A
points
dc
g
pour
on
T1
donc considérer les
peut
1
u(t.~
1
u .
Il exis-
T. ~
points
sont des f onctions continues do
o
tcl que :
uEU ,
i=0, ... ,p+1 9
Autrement dit :
+
T.
d (on rappelle que
fi ’ , longuour
Ti-1
ii
sont paramétrées proportionnellement à la longueur de
0 à 1 ) .
do l’ arc
On déforme
U
en
TJ n Q
de la
los courbes de Q
l’ arc pour
variant do
t
suivante:
façon
Première étape : Diaprés (6*1)
peut? déformer
u
PT....
par une
en
la
polygonale
seul point
former la
la
et
03B2’ ,
on
géodésique brisée
L-déformation.
Deuxième étape : Diaprés
T.
b et
03B1’,
coupe
S
la
ligne
en un
Q.. D’après (6~1)~ on peut
brisée
PT. $..
brisée
PCL
Q
dé-
...
Mais
une
et
(M , N , P)
f n C
rations
reste fixe
pendant
Tp+1 ~ ,
les doux
opé-
précédentes~
0~ Q. F. D.
(6,3)
L-déformation
Construction d’une
Toutes les courbes do
et de rayon
un
nombre
q
tel que
2a . Soit
positif qui
Q (a)
d
D. de Q ( a )
sont tracées dans la boule
le nombre
positif associe
compacte de centre P
ci compact. Soit ô ~ d
choisit un entier positif
à
déterminé dans la suite. On
sera
Q"(a) .
dans
2014
ô
.
q
Première
iq,
étape :
Si
ue
03A9(a) ,
on
appelle
T.
les
de
points
u
de
paramètre
longueur do l’arc T. T. étant inférieure à d , on peut
les
T. par une ligne polygonale de géodésiques, et il existe diaprés
(6.1) une L-déformation de u sur la géodésique brisée PT.... T .De plus,
0
joindre
q . La
i
L(PT.... T ) a
sauf si
Deuxième étape :
d(Qi-1 , Q.)
d ,
diaprés (6.1)~
Soit
Q.
il existe
ces
segment
points par
sauf si
Q
do
géodésique
un
segment
PT.... T
PT
est
l
...
une
do
T
Comme
T.. T..
géodésique unique,
T.
sur
géodésique
brisée
non
a .
Troisième étape : Diaprés (I, (9.10)),
que, si
=a .
de
une
T )a ~
longueur
avec
le milieu du
peut joindre
on
Alors
do
PT....
appartient
à la boule
il existe
compacte
nombre
un
de centre
d tel
positif r[
de rayon 2a , et si
P et
N tel que
d(Q ~ Q’)== d(N ~ (~ ;
unique point Q’ ~
de plus, l’unique géodésique joignant Q à Q’ est orthogonale à N , sa longueur est égale à d(Q , Q’) , et Q’ varie continûment avec Q . Enfin, N
étant une sous-variété do M , est munie elle aussi d’une structure riemannienne:
il existe alors un nombre positif X tel que, si a et b sont deux points do
N dans la boule de centre P et de rayon 2a ~ de distance (pour la métrique do
M ) inférieure à 03BB , il existe une unique géodésique de N , paramétrée proportionnel lement à la longueur do l’arc pour t variant de 0 à 1 , joignant a
et b . On choisit alors ô~
d) .
d(N ~ Q)
Dans
ces
T~ ~ alors il existe
un
~Q
T
conditions
conditions~
unique vérifiant
les
précédentes .
Il existe
de
conséquente
et~
il existe
un
Q’ = N
Mais
une
unique géodésique (pour
N ) joignant
Soit
T
q
q
B
la
métrique
un
point
géodésique ; lorsque B vario de
à Q’ dans le temps 1 , on obtiant uno
q
dans la
formation do la géodésique Q T
q q
..
géodésique Q q Q’
q
de cotte
T
q
De
plus,
L(PQ1
...
T)
Q
=
une géodésique non brisée et orthogonale à N ,
ce
...
sauf
Qq Tq = PQ1
a
,
Qq Qq)
mais ceci ost impossible,
car
a ;
i. e.
suivant
l’hypothèse
est contraire à
qui
Qq Q’q , avec
PQ1
Tq serait
Qq
de
...
...
laquelle
alors
a
...
est
une
S(M , N , ?) ,
valeur
non
stationnaire.
éléments qui restent fiREMARQUE 1. - Il ressort de ce qui précède que les seuls
Q (a) n S(M , N , P) .
xes dans la déformation D~ sont ceux do l’ensemble
2. - On
REMARQUE
.
a
supposé
est
N
que
une
sous-variété fermée
(6.4) Avec les notations de (6.3), désignons par
Q(a) par ~(u)=L(u)-L(D~(u)) pour u=Q(a)? ~
et, d’après la remarque 1,
désigne un ouvert
Q(M , N , P) on aie :
Si
7
LEMME. - Sur
core
sens
u)
désignée par
de 03A9’ ).
déduit que
impossible ;
a
une borne
S(M , N , P) .
stationnaires de
inf
que
inférieure strictement
=
0
pour
-~ 0
u e
U
telle que
~(u~)
positive.
il existe
Q(a) -
pour
étant semi-continue .intérieurement, et
=
en
on
ue
géodésiques
fonction continue
une
(cf. (1.5))
peut extraire de la suite précédente une autre suite (enqui converge vers une courbe u= Q~(a) (convergence au
u e Q(a) -
étant compact,
Q’(a)
est
sur
.
03A9(a) -U ,
suite
une
M .
la fonction définie
si et seulement si
contenant toutes les
DEMONSTRATION. - Supposons
alors
0
=
de
0 , donc
u e
S(M , N , P) .
E~
n
-~.
Mais
(un) ~ 0 ,
particulier
u e
on en
U . Cela est
effet :
indépendant de n ). On peut alors extraire de la suite u~ une sous-suite (encore
M
désignée par un) telle que (D1 un)(ti,n) et (D1 un)(1) convergent dans
1 , ... , q ? mais alors D1 un converge dans Q(a) . L’applicapour tout i
.
D.
est
u
une
n
géodésique brisée
en
des
points t1,n ,
=
tion
identique
étant continue,
Du
converge dans
D. un ~ D,
Mais alors
Q’(a) .
u= u
Donc
dans
Q(a) .
’" t
le
-
terme du second membre est
premier
Q’ ;
dans
-
le deuxième terme est
-
le troisième terme est
Donc
Q(a)
fermé dans
Soient
e
pour
et
U
u ~
boules ouvertes de contre
impossible,
D
car
e
u
car
a
)~(u ) -~ 0 ;
car
grand,
assez
n
Q(a) -
u
dans
U
qui
et de rayon
g.
0(a) . On
métrique de
stationnaires do
géodésiques
est le
LEMME. - II existe
plus grand indice
DÉMONSTRATION. -
(pour
e
la
tel que
leurs
images
boules pour
par
k
D.
=
1,
s)
... ,
U . Soit
existe
D.
+
2014) ~
p
a,
li
+ 03B4 2
rieure
=
déformation de
a ;
si,
6’
> 0
au
dans
Q(a)
dans
0(~.
+ 03B4 2
03A9(a) -03A9-(li 03B4 2) .
c
contraire,
dans
et de rayon
g,
soient contenues dans
une
Q(a) .
Soit
(
U .
i
restant fixes dans la déformation
1 , ... , s ; posons ô = inf
strictement positif diaprés (6.4). Je dis qu’il
soit
est
a ).
A.
il existe des boules ouvertes do contre
Dt ’
.
A. de 0(a)
L-déformation
une
g. ( k
Les
Q .
considère les
assez petit pour que ces bouges soient disjointes, et contenues dans
U l’ouvert réunion des boules précédentes. On a alors :
(6.5)
u
car
o
les
g
... ,
grand,
grand,
assez
n
pour
assez
n
pour
Q . Mais ceci est
dans
u
e
e
li
a ,
On
+
U~
u e
pour
prend
un
En
assez
pour que
la réunion do
Q(a) - U’ ;
nombre entier
ces
&
r
effet, c’est évident
d’après (6.4),
pour
petit
r
un
une
est
tel qu3
si
borne infé-
nombre entier tel
+~-.
Soit alors
a.
A.
==
si
b. si
D r+1 ~
alors,
Drt
u
~U’ ,
alors
A. répond
à la
par définition
Drt
u e
03A9(li
question.
0394t
U
+ 03B4 2) -
En effet :
EU;
JI* . Comme, par
définition,
Dt
diminue les
(6.6)
ù
de
désignée
U dans
par
les boules de centre
b il existe des
moins
au
DEMONSTRATION du lemme
nion est
a.
longueurs
(5.3). - Soit
(6.5). On peut
et de rayon
g,
L-déformations
soit 1~ identité
b..
dans Q(a) -
A, .
on a
choisir cet
assez
e
(k=l~...~s)
0(a)
déforme la boule de contre
et de rayon
g.
pour que:
soient
disjoints ;
g.
et do rayon
dans
03A9-(li) u {gk}
2e’;
b?.
petit
telles que:
dehors de la boule do centre
on
co cas
le rayon des boules dont la réu-
e
2e
do
dans
e
Bk~l ~ ... ~s/ .
e
étant ainsi
(5.3),
fixé,
de composer
L(g )
==
Soit
P
pour avoir
déformation satisfaisant
une
(6.5) (construite
du lemme
A.
Construction des
L(g. )
Si
suffit,
avec
e)
cet
et les
b).
satisfaisant à
(67)
il
prendre A..
écrivons simplement g , l ,
l’ensemble des
lemme
A,
A...
suffit de
ot
au
géodésiques
sidère le voisinage "tubulaire"
==
identité. Supposons donc que
en
supprimant tous
brisées construit dans
des éléments
u
les indices.
(6.2).
Dans
P
on con-
tels que
petit pour qu’il oxiste une L-défornation cp de 3 dans
(on déforme le long des trajectoires orthogonales des surfaces
P comme une boule d’un espace euclidien, et en appliquant un raien considérant
sonnement très proche de celui de (4.~)~.
~ étant
Soit
assez
U
le
voisinage
de
pour que la boule de centre
imago par la déformation du
puisque g reste fixe dans
En
composant
g
leme
cette
déformation
(5.2)
[0 , 1]
cherchée.
2e
e
soit contenue dans
~5,~) soit contenue
déformation).
do la boule de centre
alors, pour
A est la
et de rayon
la déformation du lemme
L-déformation
pose
On choisit alors
du
g
dans 3
et la déformation
g de rayon
2e
assez
U
(co qui
03C6 ,
on
petit
et que son
est
possible,
obtient
dans ~ _ (~ ) u ~ g };
un
on
BIBLIOGRAPHIE
[1]
DEHEUVELS (René). - Topologie d’une fonctionnelle, Annals of
t. 61, 1955, p. 13-72 (Thèse Sc. math. Paris. 1953).
[2]
SEIFERT
(H.)
Series
Math.,
2,
(W.). - Variationsrechnung im Grossen (Theorie
Morse). - Leipzig, B. G. Teubner, 1938 (Hamburger mathematische
Einzelschriften, 24). Reprinted : New York, Chelsea publishing Company, 1951.
Voir
und THRELFALL
Marston
von
Bibliographie
outre la
en
l’exposé précédent.
de
APPENDICE
ESPACES DE CHEMINS DANS
par AdrienDOUADY
r
Soit X
un
couple ~t ~ ’~)
une.application
~
est
et [t ,
On
oo[ .
+
eu
continue de
de
R
un
nombre réel?
R
dans
des chemins
l’espace
0 ~ appelé
K ’ constante
l’origine, et
appelle
D
munit l’ensemble
produit
t
topologique séparé. Un
espace
de la
Pour tout espace
T~
une
topologie induite
propriété
un
et
y
~.. ~ ~ 0~
de
par la
R
topologie
avec
la
suivante :
D
T ~
application cp :
durée du
est
l’extrémité du chemin. On
des
Cette topologie est caractérisée par la
X
les intervalles
sur
applications continues
topologie compacte-ouverte.
par
chemin dans
est continue si et seulement
si :
1° la durée de
z°
(p(6) dépend
l’application
Si X
est
un
T
espace
x
continûment de
cette
d~ ~t ~ y) , ~t’ ~ Y ’ ) )
(on peut remplacer
L’espace
D
I° C’ost
une
gine
2~
premier
X
des chemins dans
composé
application
D
sc
t’ f ~
pour durée la
jouit
avec
somme
une
par
catégorie topologique :
a
somme ,
des
sup
u~R
ou
une
distance :
d(y(u) , Y’ ~u) ) i
+
par
propriétés
~)~z
etc.).
fondamentales suivantes :
composition, définie quand l’ori1’extrémité du premier, est associative 9 le
la loi de
des durées des chemins donnés. Cette loi est
continue d’une partie fermée de
rétracte par déformation
est continue.
est définie par
topologie
=
su p
du deuxième chemin coïncide
chemin
une
le
°
définie par (p
R a X
métrique,
0 ~
sur
D
x
D
dans
D °
le sous-espace des chemins de durée
nulle,
qu’on
X . La déformation
identifie à
1
x
D
D -~
a 1 ,
0
est donnée pour
par
(a~ (t , y)) ~
y~)
at] ,
y ’a coïncide avec y sur l’intervalle
l’intervalle [at ~ + oo[ . Cette déformation
eu
3° Il est fibre
à
de
au sens
chaque chemin, fait correspondre
X
x
et
D
cas
X
où
est
par
son
variété riemannienne~
qui possèdent les mêmes propriétés.
Dans le
de
X
origine
son
l’origine
conserve
sur
une
et est constante
sur
chaque chemin.
de
l’application 03C0 qui ,
extrémité.
on va
étudier des sous-espaces
,
Soient :
l’espace
l’espace
l’espace
D.
D~
D~
des chemins
suite finie
induise
une
des chemins
dont la
,
est dit différentiable par
(to=0~t.~...~t .~t==t}
application différentiable
L’application
longueur est la
vitesse. La condition
Les espaces
D2 , D3
Ces espaces vérifient de
égale
à 1
morceaux
tangents définit
exigée
dans
D~
et
les conditions
vecteur
vitesse,
est que cette
D~
[ti,ti+1](0in).
par colle
sont munis de la topologie
façon évidente
y
[t. ~
un
chacun des intervalles
sur
s’il existe
telle que
croissante,
de chacun des intervalles
induite sur les espaces
vitesse soit constante et
est
par morceaux, de vitesse constante 1 .
géodésiques
(t , y)
chemin
X.
dans
1,
constante 1 ,
Lipschitz
de
des chemins différentiables par morceaux, de vitesse
Rappelons qu’un
une
lipschitziens dont la constante
1°
et
2~ . Montrons
qu’ils vérifient aussi la condition 3° . Cette condition est locale relativement
~ la base, clost-à-dirG qu’il suffit de montrer quo, pour tout (x , y) X x X ,
il existe des voisinages .Il de x et V de y tels que, pour tout diagramme
commutatif
(0 , p)
où
i
une
application 03C8 : In+1 ~ 03C0 (U
est
l’injection
i(p)
=
x
In
de
V)
dans
il existe
qui respecte la commutativité du dia-
gramme.
Prenons pour
y(x’
U
un
ouvert contenant
x") de U puissent être joints
, x") contenu dans U t et pour
x ~ mais tel que doux po ints quel conques
par
V
un arc
un
de
géodésique
et
un
seul
ouvert semblable contenant
y .
15-16
y (x’
dc durée
L’arc
j x" )
cons idéré
scr. c,
égala
à
longueur,
sa
D
qui dépend continuement
C ~
a
1 ~ ~ ~ In ,
p)
=
possède
Choisissons dans X
est
x
E~ ~
fibrés, on a
d’homotopie,
E
sur
qué
où
Ei =
aux
(1) L’espace
E
injections
suitos exactes
extrémité. Il
Si
Di .
Y
03A9i ~
un
p) ,
où
E
pa.r l’
on
des chomins dans
application
cst de
même do
n
ses
sont 1cs fibres de
E
.
1
X
sous-espaces
ces
divors
différentielle de la suite
de X, E(Y)
lcs
fibrés induits par
p a r les
(1).
faible.
10 fibré induit par
Lc
Le lemme des
dcs 5 appli-
d’homotopie
E(Y)
1
ont
et
E2(Y) est homéomorphe
ZISi"ùii’l, paragraphe ( 1 . 1 ) .
à
encore
l’espace
3° .
qui à
équivalences d’ homotopie
sont des
sous-espace
.
qui démontra la propriété
ce
~2 ~ ~~
03A9
chemin dc
p) , g(a , i )
,1’ isomorphisme étant
1(X) ,
=
et les
n
un
trois chemins:i
ot fibré sur X
son
d’ extrémité
définit alors
x . L’espace
do base
point
correspondre
montre que 1cs espaces
dè
un
généralement, soit
les
) Y lcs
Y , et E .1((Y)
Plus
x" . On
propriétés voulues,
lcs
contractile,
o
que chemin fait
ct
composition de
par la
x’ ,
ct de vitesse constante 1 . C’ ost
y(f(a , p) , f ( C ~ ~3 ) ) . ~(f3) .
Cette application
d’origine
x’
dc
chemin dorigine
comme un
même type d’ homotopio
Q(X,
Y,
x)
°
àc
1 ’ expo s é 1 5