Module probabilité 4

Module probabilité et statistique _ partie 6
Zahra ROYER
Variables aléatoires et Lois de probabilité
• Exemple introductif - Définitions
• Caractérisation d’une variable aléatoire
• Les moments d’une variable aléatoire
→ Exemple : ce n’est qu’un exemple qui doit faire ressortir la difficulté de décrire
l’aléatoire : comme la capacité de pêche, les espèces pêchées, ou encore plus
difficile le prix de la tonne pêchée, les prix sont négociés fluctuent, ….
Cet exemple est complètement fictif
Un gros bateau de pêche rentrant en criée contient 1 tonne de sardines, 2
tonnes de maquereaux, 3 tonnes d’anchois et 10 tonnes de poissons abimés ou
destinés aux farines animales.
La tonne de sardines vaut 150€, celle de maquereaux vaut 75€, celle d’anchois
vaut 55€ et celle de la pêche non destinée aux consommateurs 10€.
On note X la valeur de la tonne ramenée à la criée :
X = xi
5€
55€ 75€ 150
€
p(X = xi) = 10/1 3/1 2/1 1/15
pi
5
5
5
On note que X est une variable aléatoire discrète car elle prend un nombre fini de
valeurs : 5, 55, 75, 150 avec les probabilités correspondantes :
10
15
3
15
2
15
1
.
15
→ Définitions : On pose comme définition d’une variable aléatoire une variable
prenant des valeurs découlant d’une expérience aléatoire. La notation est X
On note par : X : Ω → IR une variable aléatoire réelle.
Comme en statistique on est obligé de faire la différence entre :
• Variable aléatoire discrète : ensemble de valeurs fini ou dénombrable
• Variable aléatoire continue : ensemble de valeurs continues non
dénombrable.
→ Caractérisation d’ une variable aléatoire
• La fonction de répartition
• La densité
Soit X une variable aléatoire, on définit sa fonction de répartition par :
Région Pays de Loire
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1
→ FX ( x0 ) = p( X < x0 ) Où x0 est un nombre réel.
Et on définit la densité f , pour des variables aléatoires continues par :
→ La dérivée de la fonction de répartition lorsqu’elle existe
C’est une application réelle telle que :
• On peut oublier par la suite l’indice X, FX : IR → [ 0;1]
• Monotone
• F est une fonction en escalier
• Continue à gauche
• P( X > x) = 1 − P( X ≤ x ) = 1 − F ( x )
• F( − ∞ ) = 0 F( + ∞ ) = 1
• La fonction de répartition est d’une importance capitale pour appréhender
la variable X, en particulier : p( a ≤ X ≤ b ) = FX ( b ) − FX ( a )
• Ce qui peut se traduire dans le cas où la variable aléatoire admet une
densité f liée à la fonction de répartition par :
x
F( x ) =
∫
f ( t )dt
−∞
Le graphique ci-dessous résume les liens entre les deux caractéristiques de X.
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2
Remarque importante : On confond fonction de répartition et loi de probabilité
pour une variable X. La distinction entre les 2 est un concept sophistiqué qui
repose sur des connaissances de la théorie de la mesure.
→ Les moments d’une variable aléatoire :
Le premier moment d’une variable aléatoire discrète et le plus célèbre est
L’espérance définie par : E( X ) = ∑ xi p( X = xi )
i
Le second moment d’une variable aléatoire discrète et le plus célèbre est
La variance définie par : V ( X ) = E(( X − E( X ) 2 ) = E( X 2 ) − ( E( X )) 2
Le premier moment d’une variable aléatoire Continue et le plus célèbre est
L’espérance définie par : E( X ) = ∫ xdFX ( x )
IR
Le second moment d’une variable aléatoire Continue et le plus célèbre est
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3
La variance définie par : V ( X ) =
∫
IR
( x − E( X ))2 dFX ( x )
On définit l’écart type comme étant la racine carrée de la variance :
σ (X )=
V( X )
Dans ce qui suit on rappelle quelques propriétés fondamentales de la statistique
descriptive nécessaires pour aborder le reste. Si X et Y sont deux variables
aléatoires, discrètes ou continues, si a et b deux nombres :
→ Propriétés de l’espérance :
• E( aX + bY ) = aE( X ) + bE( Y )
• E( aX + b ) = aE( X ) + b
• E( a ) = a
→Propriétés de la variance :
• V ( aX ) = a 2V ( X )
• V ( aX + b ) = a 2V ( X )
• V( a ) = 0
• On a : V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) uniquement si les variables sont linéairement
indépendantes.
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4
Exercice : les demandes de services de respectifs, indépendants et différents A et B
sont décrites par deux variables aléatoires discrètes : XA et XB.
Les observations à long terme donnent l’information ci-dessous :
•
P(XA = 1) = P(XA = 2) = P(XA = 3) = P(XA = 4) = P(XA = 5) = P(XA = 6)
= 16
•
P(XB = 1) = P(XB = 2) = P(XB = 3) = P(XB = 4) = P(XB = 5) = P(XB = 6)
= 16
On admet que les deux demandes XA et XB sont indépendantes.
• Question1 : calculer la probabilité d’avoir les demandes identiques c’est
l’événement E.
• Question 2 : on note S la somme des deux demandes S = XA + XB Calculer la
probabilité d’avoir S = 8.
• Question 3 : calculer la probabilité d’avoir (au moins XA = 6 ou XB = 6,
c’est l’événement F.
• Question 4 : calculer la probabilité de l’événement G = (E ou F).
• Question 5 : on appelle H l’événement : « XB >4 » et K l’événement «XA +
XB >7 »
Indication
• Utiliser l’indépendance entre les variables
•
XA→
XB↓
1
2
3
4
5
6
•
XA
XB
P( X A = X B ) =
∑
P( X A = ketX B = k ) =
1≤ k ≤ 6
1 1 1
P( X A = k )P( X B = k ) = 6 * * =
6 6 6
1≤ k ≤ 6
∑
1
2
3
4
5
6
=
<
<
<
<
<
>
=
<
<
<
<
>
>
=
<
<
<
>
>
>
=
<
<
>
>
>
>
=
<
>
>
>
>
>
=
P( S = 8 ) =
∑
P( X A = k et
k
X B = 8 − k ) , on a le tableau qui résume les
situations possibles :
2
3
6
5
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4
4
5
5
3
6
2
P( S = 8 ) =
↓
XB
1
2
3
4
5
6
5
36
XA→ 1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
Pour les questions suivantes utiliser les tableaux ci-dessus.
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6