DEVOIR A LA MAISON N°11. 1S1.

DEVOIR A LA MAISON N°11. 1S1.
Pour le mercredi 21 janvier 2015.
I.
1. On lance 3 fois un dé à 6 faces équilibré.
a. Quelle est la probabilité d obtenir trois 5 ?
b. Quelle est la probabilité d obtenir pour la première fois 5 au troisième lancer ?
2. Un jeu consiste à lancer 3 fois un dé à 6 faces équilibré. Le joueur gagne 7€ s il obtient pour la
première fois 5 au troisième lancer et perd 2€ sinon. On appelle X la variable aléatoire correspondant
au gain du joueur.
a. Donner la loi de probabilité de X.
b. Le jeu est-il équitable ?
c. Un joueur fait 10 parties. Calculer la probabilité qu il gagne au moins une partie. Arrondir au
centième.
II. Chaque jour, lors d un jeu radiophonique, l animateur téléphone à des personnes choisies au hasard
pour leur demander le montant de la cagnotte. Si la personne donne la bonne réponse, elle remporte la
cagnotte et le jeu s arrête ; sinon, l animateur appelle une autre personne. Il appelle au maximum 6
personnes. Seuls les auditeurs de la station connaissent la réponse. Ils représentent 15% de la population.
Compte tenu de la taille de la population, on considère que tous les appels suivent les mêmes probabilités et
sont indépendants les uns des autres.
1. Déterminer la probabilité que personne ne remporte la cagnotte.
2. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes appelées.
a. Déterminer la loi de probabilité de X (arrondir les probabilités au centième)
b. Calculer l espérance de X et interpréter.
III. Pour chercher.
Un moteur d avion tombe en panne au cours d un vol avec une probabilité p. Un avion peut continuer son
vol si la moitié au moins de ses moteurs fonctionne.
On suppose l indépendance des moteurs par rapport à la panne.
Pour quelles valeurs de p un biréacteur a-t-il une probabilité plus grande de terminer le vol qu un
quadriréacteur ? On peut utiliser le logiciel xcas pour résoudre l inéquation à laquelle on arrive, ou tracer la
courbe d une fonction sur la calculatrice pour avoir une valeur approchée des solutions.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°11. 1S1.
I.
1.
a. La probabilité d obtenir trois 5 est 1
6 1 6 1 6 1
216 .
b. La probabilité d obtenir pour la première fois 5 au troisième lancer est 5
6 5 6 1 6 25
216 .
2.
a. X prend les valeurs 7 et 2. La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
k
7
2
P(X k)
25
216
191
216
b. E(X)= 207
216 − 0,96. E(X) 0 donc le jeu n est pas équitable : il est défavorable au
joueur.
S il joue un grand nombre de parties, un joueur perdra en moyenne 96 centimes par partie.
c. A chaque partie, la probabilité que le joueur perde est 191
216 .
La probabilité qu il perde toutes les parties est donc  191
216 10. Ainsi, la probabilité qu il gagne au
moins une partie est 1  191
216 10 0,71.
II.
1. Pour chaque personne appelée, la probabilité qu elle ne remporte pas la cagnotte est 0,85.
La probabilité que personne ne remporte la cagnotte est donc 0,856 0,38.
2. On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes appelées.
a. On peut construire un arbre à 6 niveaux.
On a P(X k) 0,150,85k1 pour k entier de 1 à 5 et P(X6) 0,855. (Voir activité :
désintégration radioactive pour une idée de l arbre)
La loi de probabilité de X est donc donnée par le tableau (probabilités arrondis au centième) :
k
1
2
3
4
5
6
P(X k)
0,15
0,13
0,11
0,09
0,08
0,44
b. L’espérance de X est E(X) 4,15.
Sur un grand nombre de jours, l'animateur appelle en moyenne 4,15 personnes par jour.
III.
Pour un biréacteur :
Il peut terminer le vol tant qu il lui reste au moins un moteur. La probabilité que ses deux moteurs tombent
en panne est p² (on fait un arbre). La probabilité qu il puisse terminer le vol est donc 1 p².
Pour un quadriréacteur :
Il peut terminer le vol tant qu il lui reste au moins deux moteurs. On construit l arbre :
Moteur 1 Moteur 2 Moteur 3 Moteur 4 Termine ?
La probabilité qu il puisse terminer le vol est p²(1 p)² 6p(1 p)34 (1 p)4

On cherche donc les valeurs de p telles que
1 p² > p²(1 p)² 6p(1 p)34 (1 p)4 1 p² 3p44p31 3p44p3p20
A l aide de xcas, on résout l inéquation et on obtient 1 p 1
3
Ainsi, un biréacteur a une probabilité plus grande de terminer le vol qu un quadriréacteur lorsque p 1
3 .