SVTE S2 - Thermodynamique - TD 2

Licence SVTE – S2 – Thermodynamique TD No. 2 2016-2017
LICENCE SVTE – SEMESTRE 2
THERMODYNAMIQUE
T.D. No. 2 – Équations d'état
Exercice 1 – Coefficients calorimétriques
Pour un fluide, on définit trois coefficients thermoélastiques :
α=1
V
(
∂V
∂T
)
P
: coefficient de dilatation isobare
β=1
P
(
∂P
∂T
)
V
: coefficient d'augmentation de pression isochore
χT=− 1
V
(
∂V
∂P
)
T
: coefficient de compressibilité isotherme
(1) Montrer que
(
∂α
∂P
)
T
=−
(
∂χT
∂T
)
P
et
α
χT
=
(
∂P
∂T
)
V
. En déduire la relation entre ,
χT
et P.
(2) Calculer et
χT
pour un gaz parfait et pour un gaz de Van der Waals. La relation établie en (1)
est-elle vérifiée ?
(3) Les coefficients thermoélastiques d’un gaz sont :
α=R
PV
et
χT=RT
P2V
. Calculer  et trouver
l’équation d’état de ce gaz sachant que lorsque T tend vers 0 K et que son volume tend vers une valeur
finie b.
Exercice 2 – Équation d'état de l'azote gazeux
Dans cet exercice, on souhaite déterminer l’équation d’état de l’azote gazeux. Pour cela, on admet que la
différentielle de la pression P d’une mole d’azote est donnée par la relation suivante :
dP=−RT
V2
(
1+2A
V
)
dV +R
V
(
1+A
V
)
dT
où T et V désignent respectivement la température et le volume de l’azote, R désigne la constante des gaz
parfaits et A est une autre constante. On admettra de plus que cette expression est valide pour une gamme
de pression comprise entre 0 et 40×105 Pa.
(1) En posant que P est une fonction de V et T, rappeler l’expression de dP en fonction des dérivées
partielles
(∂ P
∂V )
T
et
(∂ P
∂T )
V
.
(2) En déduire que :
(∂ P
∂V )
T
=−RT
V2
(
1+2A
V
)
et
∂ P
∂T V
=R
V
(
1+A
V
)
P. Carrez, P. Hirel – Université de Lille 1 1/2

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(3) Déterminer alors l’équation d’état de l’azote et montrer qu’en supposant que lorsque la température T
tend vers 0 K, le produit PV tend vers 0, cette équation peut se mettre sous la forme :
PV =RT (1+A
V)
Quelle est l’unité de la constante A ?
Exercice 3 – Équation d'état de l'eau liquide
Une petite quantité d’eau liquide, sous une pression et à une température homogènes, présente des
coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme constants dans le domaine de
température et de pression que l’on envisage dans ce problème.
On donne :
α=1
V(∂V ∂T )
P
=3×10−4
K-1 et
χT=−1
V(∂V ∂ P )
T
=5×10−10
Pa-1
Le volume massique de l’eau, à la température T0 = 293 K et sous une pression P0 = 105 Pa, vaut
v0 = 10-3 m3.kg-1.
(1) Montrer que, à température constante T0, le volume massique de l’eau liquide v s’écrit :
v(P)=v0. exp ⁡
[
−χT
(
P−P0
)
]
Calculer alors le volume massique v1 de l’eau liquide pour une température T0 et sous une pression
P1 = 108 Pa.
Mathématiquement, on peut remarquer que exp(x) tend vers 1+x lorsque x tend vers 0.
Justifier et proposer alors une expression approchée du volume massique de l’eau liquide en fonction de
P et montrer que nous pouvons écrire :
(∂V
∂ P )
T
≅−v0.χT
(2) Nous cherchons maintenant à déterminer l’équation d’état de l’eau liquide considérée dans ce
problème. Donner l’expression de la différentielle dv du volume massique en fonction de dP et dT.
Sachant que
(∂V
∂ P )
T
≅−v0.χT
(cf question précédente), et en posant
(∂V
∂T )
P
≅α.v0
, réécrire
l’expression de dv en fonction des coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme, de v0,
ainsi que de dP et dT.
Montrer alors que, l’équation d’état de l’eau peut s’écrire sous la forme :
v
(
T , P
)
=v0.[1+α
(
T−T0
)
−χT
(
P−P0
)
]
P. Carrez, P. Hirel – Université de Lille 1 2/2