SVTE S2 - Thermodynamique - TD 2

Licence SVTE – S2 – Thermodynamique
TD No. 2
2016-2017
LICENCE SVTE – SEMESTRE 2
THERMODYNAMIQUE
T.D. No. 2 – Équations d'état
Exercice 1 – Coefficients calorimétriques
Pour un fluide, on définit trois coefficients thermoélastiques :
1 ∂V
α=
: coefficient de dilatation isobare
V ∂T P
1 ∂P
β=
: coefficient d'augmentation de pression isochore
P ∂T V
1 ∂V
χT =−
: coefficient de compressibilité isotherme
V ∂P T
( )
( )
( )
(1) Montrer que
∂ χT
( ∂∂ αP ) =−( ∂ T )
T
(2) Calculer et χT
α
∂P
=
. En déduire la relation entre , χT et P.
χT ∂ T V
P
pour un gaz parfait et pour un gaz de Van der Waals. La relation établie en (1)
et
( )
est-elle vérifiée ?
RT
. Calculer  et trouver
2
P V
l’équation d’état de ce gaz sachant que lorsque T tend vers 0 K et que son volume tend vers une valeur
finie b.
(3) Les coefficients thermoélastiques d’un gaz sont : α=
R
PV
et χT =
Exercice 2 – Équation d'état de l'azote gazeux
Dans cet exercice, on souhaite déterminer l’équation d’état de l’azote gazeux. Pour cela, on admet que la
différentielle de la pression P d’une mole d’azote est donnée par la relation suivante :
dP=
−RT
A
R
A
1+2
dV + 1+ dT
2
V
V
V
V
(
)
( )
où T et V désignent respectivement la température et le volume de l’azote, R désigne la constante des gaz
parfaits et A est une autre constante. On admettra de plus que cette expression est valide pour une gamme
de pression comprise entre 0 et 40×105 Pa.
(1) En posant que P est une fonction de V et T, rappeler l’expression de dP en fonction des dérivées
∂P
∂P
) et (
) .
partielles (
∂V T
∂T V
(2) En déduire que :
(
P. Carrez, P. Hirel – Université de Lille 1
∂P
−RT
A
) = 2 1+2
∂V T V
V
(
)
et
∂P
R
A
= 1+
∂T V V
V
( )
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2016-2017
(3) Déterminer alors l’équation d’état de l’azote et montrer qu’en supposant que lorsque la température T
tend vers 0 K, le produit PV tend vers 0, cette équation peut se mettre sous la forme :
A
PV = RT (1+ )
V
Quelle est l’unité de la constante A ?
Exercice 3 – Équation d'état de l'eau liquide
Une petite quantité d’eau liquide, sous une pression et à une température homogènes, présente des
coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme constants dans le domaine de
température et de pression que l’on envisage dans ce problème.
On donne :
α=
1 ∂V
(
) =3×10−4 K-1 et
V ∂T P
χT =
−1 ∂V
(
) =5×10−10 Pa-1
V ∂P T
Le volume massique de l’eau, à la température T0 = 293 K et sous une pression P0 = 105 Pa, vaut
v0 = 10-3 m3.kg-1.
(1) Montrer que, à température constante T0, le volume massique de l’eau liquide v s’écrit :
v (P)=v 0 . exp ⁡[− χ T ( P− P0 ) ]
Calculer alors le volume massique v1 de l’eau liquide pour une température T0 et sous une pression
P1 = 108 Pa.
Mathématiquement, on peut remarquer que exp(x) tend vers 1+x lorsque x tend vers 0.
Justifier et proposer alors une expression approchée du volume massique de l’eau liquide en fonction de
∂V
) ≅−v 0 . χ T
P et montrer que nous pouvons écrire : (
∂P T
(2) Nous cherchons maintenant à déterminer l’équation d’état de l’eau liquide considérée dans ce
problème. Donner l’expression de la différentielle dv du volume massique en fonction de dP et dT.
∂V
∂V
) ≅−v 0 . χ T (cf question précédente), et en posant (
) ≅ α .v 0 , réécrire
∂P T
∂T P
l’expression de dv en fonction des coefficients de dilatation isobare et de compressibilité isotherme, de v0,
ainsi que de dP et dT.
Sachant que (
Montrer alors que, l’équation d’état de l’eau peut s’écrire sous la forme :
v ( T , P ) =v0 .[1+α ( T −T 0 )− χ T ( P− P0 ) ]
P. Carrez, P. Hirel – Université de Lille 1
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