MT23-Algèbre linéaire - UTC

MT23-Algèbre linéaire
Chapitre 1 : Espaces vectoriels
ÉQUIPE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES
UTC
juillet 2014
5

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
suivant Ï
2
Chapitre 1
Espaces vectoriels
1.1 Espaces vectoriels, généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
chapitre Nsection suivante Ï
3
1.1 Espaces vectoriels, généralités
1.1.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
section Nsuivant Ï
4ÏÏ
1.1.1 Groupe
Exercices :
Exercice A.1.1
Exercice A.1.2
Exemples :
Exemple B.1.1
Définition 1.1.1. Soit G un ensemble non vide, on dit que G est muni d’une loi de composition
interne, s’il existe une application de G ×G dans G.
On peut noter cette loi ˆ +:(x,y)7→ xˆ +y.
Définition 1.1.2. L’ensemble G est un groupe si G est muni d’une loi de composition interne qui
possède les propriétés suivantes :
– elle est associative :∀x,y,z∈G, (xˆ +y)ˆ +z=xˆ +(yˆ +z),
– elle admet un élément neutre :∃e∈G tel que , ∀x∈G, e ˆ +x=xˆ +e=x,
– tout élément admet un symétrique (ou opposé ou inverse qui est nécessairement unique) : ∀x∈
G, ∃˜ x∈G tel que ˜ xˆ +x=xˆ +˜ x=e.
On dit que le groupe est commutatif si la loi de composition est commutative :
∀x,y∈G,xˆ +y=yˆ +x.
On note (G,ˆ +)le groupe pour préciser l’ensemble et sa loi de composition.

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
section Nsuivant Ï
ÎÎ 5
Groupe
(ZZ,+), (Q,+) sont des groupes (commutatifs). On sait que l’addition "usuelle" est associative et
commutative, 0 est évidemment l’élément neutre de l’addition et −xest le symétrique de x.
Lorsque la loi est associative, les parenthèses sont inutiles et on peut noter sans ambigüité xˆ +yˆ +z.
Dans un groupe, il est possible de "simplifier", c’est-à-dire :
xˆ +y=xˆ +z⇒y=z,yˆ +x=zˆ +x⇒y=z.
En effet
xˆ +y=xˆ +z⇒˜ xˆ +(xˆ +y)=˜ xˆ +(xˆ +z)⇒(˜ xˆ +x)ˆ +y=(˜ xˆ +x)ˆ +z⇒y=z.
Faire une démonstration similaire pour l’autre implication. En particulier, on a :
xˆ +y=x⇒y=e,xˆ +y=y⇒x=e
Attention ! Il n’est pas possible de simplifier lorsque l’on n’a pas de structure de groupe. On a
0×3=0×5 mais 3 n’est pas égal à 5 ! (On pourra vérifier que (IR,×) n’est pas un groupe)
Proposition 1.1.1. Soit (G,ˆ +)un groupe, l’inverse de tout élément x ∈G est unique.
Démonstration – En effet, si x1et x2sont deux inverses de x, on a alors
x1ˆ +x=xˆ +x1=e,x2ˆ +x=xˆ +x2=e.
On a donc
x1=x1ˆ +e=x1ˆ +(xˆ +x2)=(x1ˆ +x)ˆ +x2=eˆ +x2=x2.